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Gleichmäßige Stetigkeit: Noch eine Aufgabe fürs Sommerl
Status: (Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe Status (unbefristet) 
Datum: 10:11 Mi 12.09.2012
Autor: fred97

Aufgabe
Sei [mm] $\alpha \in [/mm] (0, [mm] \bruch{\pi}{2})$, [/mm]  sei [mm] $S_{\alpha}:=\{z \in \IC:0<|z| \le 1, |Arg(z)| \le \alpha \}$ [/mm] und [mm] $f(z):=e^{- \bruch{1}{z}}.$ [/mm]

Man zeige, dass f auf [mm] S_{\alpha} [/mm] gleichmäßig stetig ist.

Wie üblich, bitte ich einen der Mod. um entsprechende kennzeichnung der Aufgabe.

Gruß FRED

        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Dummyfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:39 Mi 12.09.2012
Autor: Loddar

Dummyfrage!


Bezug
        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:04 Do 13.09.2012
Autor: fred97

Schade, dass sich noch niemand an dieser Aufgabe versucht hat.

Sind Hinweise erwünscht ?

FRED

Bezug
        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 08:09 Fr 14.09.2012
Autor: Helbig

$f$ läßt sich stetig in 0 fortsetzen. Diese Fortsetzung ist stetig auf dem Kompaktum [mm] $S_\alpha\cup\{0\}$ [/mm] und damit gleichmäßig stetig.

Gruß,
Wolfgang

Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:25 Fr 14.09.2012
Autor: fred97


> [mm]f[/mm] läßt sich stetig in 0 fortsetzen.


Hallo Wolfgang,

Das ist richtig und nicht richtig.

f ist zunächst auf [mm] \IC \setminus \{0\} [/mm] definiert und hat in 0 eine wesentliche Singularität. Daher hat f keine stetige Fortsetzung auf [mm] \IC. [/mm]

Aber die Einschränkung von f auf [mm] S_\alpha [/mm] lässt sich stetig auf den Abschluß von [mm] S_\alpha [/mm] fortsetzen. Das mußt Du noch zeigen.

> Diese Fortsetzung ist
> stetig auf dem Kompaktum [mm]S_\alpha\cup\{0\}[/mm] und damit
> gleichmäßig stetig.

Das stimmt dann.

Gruß



FRED

>  
> Gruß,
>  Wolfgang


Bezug
                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: zweiter Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Fr 14.09.2012
Autor: Helbig

Hallo Fred,
tatsächlich dachte ich, die stetige Fortsetzbarkeit von $f$ in $0$ sei trivial. Dem ist aber nicht so! Hier mein zweiter Versuch:

Sei [mm] $f\colon S_\alpha\to \IC,\; z\mapsto e^{-1/z}$. [/mm] Ich zeige, daß $f$ in $0$ stetig fortgesetzt werden kann. Das genügt, denn dann ist die Fortsetzung stetig auf dem Kompaktum [mm] $S_\alpha\cup\{0\}$ [/mm] und damit auch gleichmäßig stetig.

Für $z=x+iy = [mm] |z|*e^{i\varphi} \in S_\alpha$ [/mm] ist $\ x>0$ und [mm] $|\varphi|\le \alpha$. [/mm]

Es folgt [mm] $\left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2}*\left|e^{iy/|z|^2}\right|=e^{-x/|z|^2}$ [/mm]

und

[mm] $-\frac [/mm] {x} [mm] {|z|^2} [/mm] = [mm] -\frac [/mm] {x} [mm] {x^2+y^2} [/mm] = [mm] -\frac [/mm] {x} [mm] {x^2(1+\tan^2\varphi)} [/mm] = [mm] -\frac [/mm] 1 [mm] {x(1+\tan^2\varphi)}$ [/mm] ( wegen [mm] $\tan\varphi [/mm] = [mm] \frac [/mm] y x$)

[mm] $\le -\frac 1{x(1+\tan^2\alpha)}$ [/mm] (aus [mm] $|\varphi|\le\alpha$ [/mm] folgt [mm] $\tan^2\varphi \le \tan^2\alpha$). [/mm]

Für [mm] $z\in S_\alpha, z\to [/mm] 0$ strebt $x$ von oben gegen 0 und damit [mm] $-\frac [/mm] 1 [mm] {x(1+\tan^2\varphi)}$ [/mm] gegen [mm] $-\infty$. [/mm]

Mit der Einschließung

[mm] $0\le \left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2} \le e^{-1/x(1+\tan^2\varphi)}$ [/mm] und [mm] $\lim_{t\to-\infty} e^t=0$ [/mm] folgt [mm] $\lim_{z\to 0} [/mm] f(z) = 0$.


Bezug
                                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:37 So 16.09.2012
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  tatsächlich dachte ich, die stetige Fortsetzbarkeit von [mm]f[/mm]
> in [mm]0[/mm] sei trivial. Dem ist aber nicht so! Hier mein zweiter
> Versuch:
>  
> Sei [mm]f\colon S_\alpha\to \IC,\; z\mapsto e^{-1/z}[/mm]. Ich
> zeige, daß [mm]f[/mm] in [mm]0[/mm] stetig fortgesetzt werden kann. Das
> genügt, denn dann ist die Fortsetzung stetig auf dem
> Kompaktum [mm]S_\alpha\cup\{0\}[/mm] und damit auch gleichmäßig
> stetig.
>  
> Für [mm]z=x+iy = |z|*e^{i\varphi} \in S_\alpha[/mm] ist [mm]\ x>0[/mm] und
> [mm]|\varphi|\le \alpha[/mm].
>  
> Es folgt
> [mm]\left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2}*\left|e^{iy/|z|^2}\right|=e^{-x/|z|^2}[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]-\frac {x} {|z|^2} = -\frac {x} {x^2+y^2} = -\frac {x} {x^2(1+\tan^2\varphi)} = -\frac 1 {x(1+\tan^2\varphi)}[/mm]
> ( wegen [mm]\tan\varphi = \frac y x[/mm])
>  
> [mm]\le -\frac 1{x(1+\tan^2\alpha)}[/mm] (aus [mm]|\varphi|\le\alpha[/mm]
> folgt [mm]\tan^2\varphi \le \tan^2\alpha[/mm]).
>
> Für [mm]z\in S_\alpha, z\to 0[/mm] strebt [mm]x[/mm] von oben gegen 0 und
> damit [mm]-\frac 1 {x(1+\tan^2\varphi)}[/mm] gegen [mm]-\infty[/mm].


Hallo Wolfgang,

oben meinst Du wohl [mm]-\frac 1 {x(1+\tan^2\alpha)}[/mm]


>  
> Mit der Einschließung
>  
> [mm]0\le \left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2} \le e^{-1/x(1+\tan^2\varphi)}[/mm]
> und [mm]\lim_{t\to-\infty} e^t=0[/mm] folgt [mm]\lim_{z\to 0} f(z) = 0[/mm].


prima gemacht


Gruß FRED

>  
>  


Bezug
                                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 So 16.09.2012
Autor: Helbig

Hallo FRED,

> >
> > Für [mm]z\in S_\alpha, z\to 0[/mm] strebt [mm]x[/mm] von oben gegen 0 und
> > damit [mm]-\frac 1 {x(1+\tan^2\varphi)}[/mm] gegen [mm]-\infty[/mm].
>  

>  
> oben meinst Du wohl [mm]-\frac 1 {x(1+\tan^2\alpha)}[/mm]

Ja, und unten auch:

> > Mit der Einschließung
>  >  
> > [mm]0\le \left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2} \le e^{-1/x(1+\tan^2\varphi)}[/mm]
> > und [mm]\lim_{t\to-\infty} e^t=0[/mm] folgt [mm]\lim_{z\to 0} f(z) = 0[/mm].


Danke für Aufgabe und Korrektur!

Gruß,
Wolfgang


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