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Gleichschenkliges Dreieck: Aufgabe und Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Fr 10.04.2015
Autor: Gijulya

Aufgabe
Ein gleichschenkliges Dreieck hat den Umfang 30cm. Wie lang müssen die Seiten sein, damit seine Fläche möglichst groß ist?
Stelle zunächst eine Vermutung auf und berechne dann die Optimalen Seitenlängen.

Ich denke/vermute, dass wenn die beiden Schenkel des Dreiecks ungefähr so lang sind wie die Grundseite, dass das Dreieck dann den größtmöglichen Flächeninhalt hat.
Da ich das aber leider rechnerisch nicht belegen kann, wäre es lieb, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich da vorgehen muss.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichschenkliges Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Fr 10.04.2015
Autor: leduart

Hallo
nenne die Grundseite g, berechne  h mit Pythagoras, bilde A=g*h/2
ersetzt g durch 30-2s;   g/2=15-s
wenn A am größten ist dann auch [mm] A^2 [/mm]
jetz kannst du  a) differenzieren was nach deiner Klallseenstufe wohl nicht so ist
oder b) du setzest deine Vermutung s=10 ein und zeigst, dass A oder [mm] A^2 [/mm]  für s=11 oder s=10 kleiner ist.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Gleichschenkliges Dreieck: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Fr 10.04.2015
Autor: Gijulya

Dankeschön,
Aber mein Problem ist, dass ich nichts gegeben habe... Nur den Umfang 30cm. Und ich verstehe nicht, wie ich jetzt die anderen Maße herausfinden soll.
Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Gleichschenkliges Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Fr 10.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Dankeschön,
> Aber mein Problem ist, dass ich nichts gegeben habe... Nur
> den Umfang 30cm. Und ich verstehe nicht, wie ich jetzt die
> anderen Maße herausfinden soll.
> Liebe Grüße  

1. Skizze. Beachte Leduarts Bezeichnung:

    Grundseite(nlänge) [mm] $g\,$ [/mm]

    die gleich Seiten (haben die Länge) [mm] $s\,$ [/mm]

2. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks ist dann

    [mm] $U=g+2*s\.$ [/mm]

3. Die Höhe steht senkrecht auf die Grundseite, nenne sie (bzw. ihre
Länge) [mm] $h\,.$ [/mm]

4. Der Flächeninhalt [mm] $A\,$ [/mm] berechnet sich zunächst nach der Formel

    [mm] $A=(g*h)/2\,.$ [/mm]

Schlecht sind dabei zwei Dinge:

I) Dort taucht nicht [mm] $s\,$ [/mm] auf!

II) Dort stehen zwei Variablen: [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $h\,.$ [/mm]

möglicher Lösungsweg:
Die Vorgabe [mm] $U=30\text{cm}=2*s+g$ [/mm] bringt uns eine Abhängigkeit der Art
[mm] $g=g(s)\,,$ [/mm] was gut ist:

Es folgt [mm] $30\text{cm}=2*s+g$ [/mm] und damit [mm] $g=30\text{cm}-2*s$ [/mm] (Leduart rechnet halt "einheitengelöst")
und das setzen wir in $A=(g*h)/2$ ein und erhalten erstmal

    (I)    [mm] $A=\frac{g}{2}*h=\frac{30\text{cm}-2*s}{2}*h\,.$ [/mm]

Das [mm] $A\,$ [/mm] hängt jetzt sowohl von [mm] $s\,$ [/mm] als auch von [mm] $h\,$ [/mm] ab; das ist für Euch immer
noch nicht gut, zumal, wie Leduart sagte, eh [mm] $h\,$ [/mm] und [mm] $s\,$ [/mm] wegen des gegebenen
Umfangs in Beziehung zueinander stehen:

Es gilt nämlich

    [mm] $\left(\frac{g}{2}\right)^2+h^2=s^2$ [/mm] mit (s.o.) [mm] $g\,=\,30\text{cm}-2*s\,,$ [/mm]

also

    (II)    [mm] $\left(\frac{30\text{cm}-2*s}{2}\right)^2+h^2=s^2\,.$ [/mm]

Löse diese Gleichung nach [mm] $h\,$ [/mm] auf, so dass Du $h=h(s)$ siehst; beachte dabei,
dass wir *keine negativen Längen benutzen*, also $h [mm] \ge [/mm] 0$ gelten soll!
Das Ergebnis für [mm] $h\,$ [/mm] (berechnet mithilfe von (II)) setzt Du in (I) ein!

Dann bekommst Du [mm] $A=A(s)\,$ [/mm] (also den Flächeninhalt nur noch in Abhängigkeit
einer Variablen).

Ich rechne es gleich mal durch. Und Leduart sagte zwar, dass Du [mm] $A^2$ [/mm] maximieren
kannst, aber soweit ich das gerade auf die Schnelle überblicke, wird $A=A(s)$
der Bauart [mm] $as^2+b*s+c$ [/mm] sein - das würde ich dann nicht nochmal quadrieren
wollen.


Edit des Edits: Irgendwo verrechne ich mich gerade dauernd, dauert also noch
ein wenig ^^


P.S. Ich schreibe Dir gleich mal, wie meine Funktion [mm] $A=A(s)\,$ [/mm] aussieht!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Gleichschenkliges Dreieck: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 Fr 10.04.2015
Autor: Gijulya

Vielen, vielen Dank...
Ihr habt mir wirklich sehr geholfen 😊.
Liebe Grüße Gijulya

Bezug
                                
Bezug
Gleichschenkliges Dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:41 Fr 10.04.2015
Autor: Marcel

Hallo!

(Bemerkung:Wurde (mehrfach) editiert; Stand von ca. 18.00 Uhr sollte
passen!)


Hier zur Kontrolle: Ich erhalte

    [mm] $A^{\red{2}}(s)=30*s^3-1125*s^2+13500*s-50625$ [/mm]

Dabei ist [mm] $0\; \le\; [/mm] s [mm] \;\le\; [/mm] 15$ (bzw. [mm] $0\text{cm}\;\le\;s\;\le\;15\text{cm}$). [/mm]

Das kann man natürlich ableiten, um (lokale) Extrema bzw. *lokales Monotonieverhalten*
der Funktion herauszubekommen. Aber um erstmal auf das zu kommen,
was Leduart sagt: Lass Dir mal

    $x [mm] \longmapsto (30*x^3-1125*x^2+13500*x)/10000$ [/mm]

plotten - warum habe ich da die Konstante entfernt und warum macht die
Division durch 10000 *skalierungsmäßig einen Sinn*, ohne dass sie die
Extremstellen verändert?

P.S. Jetzt sollte das passen

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Gleichschenkliges Dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 Fr 10.04.2015
Autor: Marcel

Hallo Leduart,

> Hallo
>  nenne die Grundseite g, berechne  h mit Pythagoras, bilde
> A=g*h/2
>  ersetzt g durch 30-2s;   g/2=15-s
>  wenn A am größten ist dann auch [mm]A^2[/mm]
>  jetz kannst du  a) differenzieren was nach deiner
> Klallseenstufe wohl nicht so ist
>  oder b) du setzest deine Vermutung s=10 ein und zeigst,
> dass A oder [mm]A^2[/mm]  für s=11 oder s=10 kleiner ist.

Du meinst am Ende nicht nochmal [mm] $s=10\,,$ [/mm] sondern sicher [mm] $s=9\,.$ [/mm]

Die Vermutung kann man vielleicht auch anders bestätigen: Für $0 [mm] \le [/mm] h [mm] \le [/mm] 5$ vergleicht
man [mm] $A^2(10)$ [/mm] mit [mm] $A^2(10+h)\,.$ [/mm] (Wichtig: $h [mm] \le [/mm] 5$ wegen $g [mm] \ge [/mm] 0$; es ist ja hier [mm] $s=10+h\,$!) [/mm]

Für $0 [mm] \le [/mm] h [mm] \le [/mm] 10$ vergleicht man [mm] $A^2(10)$ [/mm] mit [mm] $A^2(10-h)\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

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