Gleichseitiges Dreieck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mi 17.11.2010 | | Autor: | jolek |
| Aufgabe | Es sei (A,B,C) ein euklidisches Dreieck mit den Seitenlängen a,b,c. Bestimmen Sie die Menge der Punkte [mm] X\in\IR^{2} [/mm] mit
[mm] (\parallel(X-C)\parallel)^{2}=(\parallel(X-A)\parallel)^{2}+(\parallel(X-B)\parallel)^{2}
[/mm]
a) für den Fall das (A,B,C) gleichseitig ist , und
b) für den Fall das (A,B,C) gleichschenklig mit [mm] a=\parallel(C-A)\parallel=\parallel(C-B)\parallel=b [/mm] ist.
c) Bei welchem Seitenverhältnis [mm] \bruch{b}{c}(=\bruch{a}{c}) [/mm] gehört der Schwerpunkt S des Dreiecks zu dieser Menge? |
Hier Meine Überlegungen:
Ich habe das Dreieck O.B.d.A mit [mm] A(-1,0)^{T}, B(1,0)^{T} [/mm] und [mm] C(0,c)^{T}in [/mm] ein Koordinatensystem gelegt.
Danach habe ich C über den Satz des Pythagoras berechnet.
[mm] \Rightarrow C(0,\wurzel{3})^{T}
[/mm]
Da im gleichseitigem Dreieck der Umkreismittelpunkt gleich dem Schwerpunkt ist folgt für den Umkreismittelpunkt [mm] M(0,\bruch{1}{\wurzel{3}})^{T}.
[/mm]
Dann habe ich den Radius r über [mm] \parallelM-A\parallel [/mm] berechnet.
[mm] \Rightarrow r=\bruch{2}{\wurzel{3}}
[/mm]
Eine Kreisgleichung wäre ja [mm] (r)^{2}=(\parallel(X-M)\parallel)^2
[/mm]
Wenn ich das jetzt mit meinen Werten ausrechne erhalte ich
[mm] \bruch{4}{3}=x1^{2}+x2^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}+\bruch{1}{3}
[/mm]
Ich hab zeichnerisch herausgefunden bzw. denke mir das die Punkte X auf dem Kreissektor vom Umkreis zwischen A und B liegen.
1.Ist das soweit ok oder bin ich auf dem völlig falschem Weg?
2. Wie zeige ich, dass die Punkte so liegen wie ich das vermute (muss ja irgendwie noch die Bedingung ins Spiel bringen) und wie gebe ich die Punkte dann an?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mi 17.11.2010 | | Autor: | jolek |
Die Kreisgleichung heißt natürlich so:
$ [mm] \bruch{4}{3}=x1^{2}+x2^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}x2+\bruch{1}{3} [/mm] $
und den Radius habe ich dann auch so berechnet:
[mm] r=(\parallel(A-M)\parallel)^2 [/mm]
sorry ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mi 17.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Die Kreisgleichung heißt natürlich so:
>
> [mm]\bruch{4}{3}=x1^{2}+x2^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}x2+\bruch{1}{3}[/mm]
>
> und den Radius habe ich dann auch so berechnet:
>
> [mm]r=(\parallel(A-M)\parallel)^2[/mm]
>
> sorry ;)
Hallo,
das kann man ja nicht ansehen. Tiefstellungen kannst du mit x _ 1 schreiben; ich verwende mal lieber x und y.
[mm]\bruch{4}{3}=x^{2}+y^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}y+\bruch{1}{3}[/mm]
Vorausgesetzt, das stimmt (habe nicht nachgerechnet), dann solltest du jetzt mal auf [mm] y^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}y [/mm] die quadratische Ergänzung loslassen:
[mm] y^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}y=y^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}y +\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3}
[/mm]
Na sowas! Der benötigte Bruch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] war ja sowieso schon vorhanden!
Dann wird es noch einfacher:
[mm]\bruch{4}{3}=x^{2}+(y-\bruch{1}{\wurzel{3}})^2[/mm]
Reicht dir das als Kreisgleichung?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Do 18.11.2010 | | Autor: | jolek |
Ja danke die Kreisgleichung ist ok!
Ich hab das ganze mal mit Geogebra gezeichnet und dabei ist mir aufgefallen das die Punkte X mit der gegebenen Bedingung gar nicht auf dem Umreis liegen!
Meiner Meinung nach gilt die Bedingung nur wenn X=A oder X=B!
Kann das stimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh gar nicht, was du mit dem Kreis willst
du hast doch gegeben für X:
$ [mm] (\parallel(X-C)\parallel)^{2}=(\parallel(X-A)\parallel)^{2}+(\parallel(X-B)\parallel)^{2} [/mm] $
setz doch da einfach X=(x,y) A,B,C dann solltest du den geometrischen Ort finden! Und das ist kein Kreis
Gruss leduart
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