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| Aufgabe | | So die aufgabe: [mm] 2sin(2x)+2\wurzel{3sin(x)}=0 [/mm] , die gleichung lösen und die lösung in bogenmaß |
Ich hab schon einiges durchprobiert, komm aber nich auf die lösung.
ein weg war dieser:
[mm] 2sin(2x)+2\wurzel{3sin(x)}=0
[/mm]
[mm] 4sin^{2}(2x)+4*3sin(x)=0 [/mm]
[mm] 4sin^{2}(2x)+12sin(x)=0 [/mm]
[mm] sin^{2}(2x)+3sin(x)=0 [/mm]
aber da häng ich nun wegen der: [mm] sin^{2}(2x) [/mm] , also wegen der 2x
weiß jemand rat?
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> So die aufgabe: [mm]2sin(2x)+2\wurzel{3sin(x)}=0[/mm] , die
> gleichung lösen und die lösung in bogenmaß
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> Ich hab schon einiges durchprobiert, komm aber nich auf die
> lösung.
>
> ein weg war dieser:
also wenn ich a+b=0 habe, kann ich nicht quadrieren, dass [mm] a^2+b^2=0 [/mm] dabei rauskommt
links erhälst du doch ein binom!
bring einen von beiden termen doch mal auf die andere seite und dann kann man ja nochmal übers quadrieren nachdenken!
>
> [mm]2sin(2x)+2\wurzel{3sin(x)}=0[/mm]
>
> [mm]4sin^{2}(2x)+4*3sin(x)=0[/mm]
>
> [mm]4sin^{2}(2x)+12sin(x)=0[/mm]
>
> [mm]sin^{2}(2x)+3sin(x)=0[/mm]
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> aber da häng ich nun wegen der: [mm]sin^{2}(2x)[/mm] , also wegen
> der 2x
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> weiß jemand rat?
gruß tee
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ja bring ich das eine vorher rüber, hab ich im endeffekt doch wieder das selbe da stehn:
[mm] 2sin(2x)=-2\wurzel{3sin(x)}
[/mm]
[mm] sin(2x)=-\wurzel{3sin(x)}
[/mm]
[mm] sin^{2}(2x)=-3sin(x)
[/mm]
nun komm ich da aber trotzdem nicht weiter
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Hallo haxenpeter,
> ja bring ich das eine vorher rüber, hab ich im endeffekt
> doch wieder das selbe da stehn:
>
> [mm]2sin(2x)=-2\wurzel{3sin(x)}[/mm]
>
> [mm]sin(2x)=-\wurzel{3sin(x)}[/mm]
>
> [mm]sin^{2}(2x)=-3sin(x)[/mm]
Hmm, wenn du die Gleichung darüber quadrierst, kommt doch [mm]\sin^2(2x)=\red{+}3\sin(x)[/mm] raus ...
>
> nun komm ich da aber trotzdem nicht weiter
Wie schon sooft vorher, helfen hier die Additionstheoreme weiter:
[mm]\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)[/mm]
Also hier der Spezialfall [mm]\sin(2x)=\sin(x+x)=2\sin(x)\cos(x)[/mm]
Damit [mm]\sin^2(2x)=4\sin^2(x)\cos^2(x)[/mm]
Und [mm]\cos^2(x)[/mm] kannst du wegen [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1[/mm] schreiben als
[mm]\cos^2(x)=1-\sin^2(x)[/mm]
Damit [mm]\sin^2(2x)-3\sin(x)=0[/mm]
[mm]\gdw \ldots[/mm]
Geht's damit weiter?
Gruß
schachuzipus
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nun gut ich versuchs mal
wenn ich das so benutze, dann hät ich
[mm] 4sin^{2}(x)*cos^{2}(x)=3sin(x)
[/mm]
[mm] 4sin^{2}(x)*(1-sin^{2}(x))=3sin(x)
[/mm]
[mm] 4sin^{2}(x)-4sin^{4}(x))=3sin(x)
[/mm]
??
dann wäre das:
[mm] 4sin^{2}(x)-4sin^{4}(x))-3sin(x)=0
[/mm]
das ganze durch 4 geteilt:
[mm] sin^{2}(x)-sin^{4}(x))-\bruch{3}{4}sin(x)=0
[/mm]
soweit richtig? oder is da schon nen fehler? weil soweit war ich heute nachmitag schonmal.
wenn das richtig is würd ich mir ja eine nullstelle raus suche
und ne polynmdivision machen? oder?
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Hallo nochmal,
> nun gut ich versuchs mal
>
> wenn ich das so benutze, dann hät ich
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> [mm]4sin^{2}(x)*cos^{2}(x)=3sin(x)[/mm]
>
> [mm]4sin^{2}(x)*(1-sin^{2}(x))=3sin(x)[/mm]
>
> [mm]4sin^{2}(x)-4sin^{4}(x))=3sin(x)[/mm]
>
> ??
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> dann wäre das:
>
> [mm]4sin^{2}(x)-4sin^{4}(x))-3sin(x)=0[/mm]
>
> das ganze durch 4 geteilt:
>
> [mm]sin^{2}(x)-sin^{4}(x))-\bruch{3}{4}sin(x)=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das sieht stimmig aus ...
>
> soweit richtig? oder is da schon nen fehler? weil soweit
> war ich heute nachmitag schonmal.
Ok, ich würde nun erstmal [mm]\sin(x)[/mm] ausklammern, damit hast du schonmal eine NST
Beim verbleibenden Restterm könntest du mal [mm]u:=\sin(x)[/mm] substituieren, dann hast du eine Gleichung [mm]-u^3+u-\frac{3}{4}=0[/mm] bzw. [mm]u^3-u+\frac{3}{4}=0[/mm]
Das hat eine reelle Lösung, die näherungsweise bei [mm]u=-1.2625[/mm] liegt.
Das ist also keine weitere Lösung der Ausgangsgleichung (da [mm]|u|=|\sin(x)|\le 1[/mm] gilt)
Beachte außerdem, dass die Ausgangsgleichung nur für Intervalle definiert ist, in denen [mm]\sin(x)\ge 0[/mm] ist (wegen der Wurzel)
Du kannst dir das ja mal zeichnen lassen, auf www.funkyplot.de gibt's einen kostenlosen und sehr guten Plotter.
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> wenn das richtig is würd ich mir ja eine nullstelle raus
> suche
> und ne polynmdivision machen? oder?
>
Gruß
schachuzipus
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so nochmal ganz kurz daz, wenn ich sin(x) rauszieh, hab ich schon eine nullstelle? die 3/4?
weil ein nullstelle wäre ja auch =0 wenn ich das richtig seh.
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Hallo,
> so nochmal ganz kurz daz, wenn ich sin(x) rauszieh, hab
> ich schon eine nullstelle? die 3/4?
Wieso sollte das eine Nst sein?
Schreibe doch mal die Zeile mit dem ausgeklammerten [mm]\sin(x)[/mm] hier auf!
>
> weil ein nullstelle wäre ja auch =0 wenn ich das richtig
> seh.
Ja, bzw. alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]\sin(x)=0[/mm] sind NST(en)
Welche sind das?
Gruß
schachuzipus
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[mm] sin(x)[sin(x)-sin^{3}(x)-\bruch{3}{4}]=0
[/mm]
so würde das aussehn, aber, das 0 eine nullstelle is hat man ja schon vorher gesehn.
Nst =0 ist in bogenmaß 0,Pi und 2Pi
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Hallo,
> [mm]sin(x)[sin(x)-sin^{3}(x)-\bruch{3}{4}]=0[/mm]
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> so würde das aussehn, aber, das 0 eine nullstelle is hat
> man ja schon vorher gesehn.
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> Nst =0 ist in bogenmaß 0,Pi und 2Pi
Das ist etwas schlampig formuliert, vllt. besser NST liegt vor bei [mm] $x=k\cdot{}\pi$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$ [/mm] o.ä.
Für den anderen Faktor in der eckigen Klammer kannst du mal die o.e. Substitution ansetzen, ist aber hässlich, da du die einzige weitere reelle NST (der substituierten Gleichung) nur näherungsweise bestimmen kannst.
Zeige vllt. mit Stetigkeitsargumenten, dass sie echt kleiner als $-1$ ist.
Damit ist sie wegen der Beschränktheit des Sinus keine NST der Gleichung [mm] $\sin(x)-\sin^{3}(x)-\bruch{3}{4}=0$
[/mm]
Lass es lieber plotten
Gruß
schachuzipus
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Hier doch ein Bildchen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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