Gleichung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe hier eine Gleichung, da wird u.a. folgender Schritt vollzogen:
2 * [mm] 2^{m-1} [/mm] * [mm] 2^{-m-k} [/mm] = [mm] 2^{-k} [/mm]
Wie kommt man denn auf = [mm] 2^{-k} [/mm] ??
Ich hätte eher an 2 * [mm] 2^{-k} [/mm] gedacht, wo ist mein Denkfehler?
Danke,
Anna
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 20.01.2008 | | Autor: | Biboo |
Hallo!
Allgemein gilt: [mm] a^{m}\*a^{n} [/mm] = [mm] a^{m+n}
[/mm]
Daraus ergibt sich bei dir:
[mm] 2^{1}\*2^{m-1} [/mm] = [mm] 2^{m-1+1} [/mm] = [mm] 2^{m}
[/mm]
also: [mm] 2^{m}\*2^{-m-k}=2^{-m-k+m} =2^{-k}
[/mm]
Grüße
Biboo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 20.01.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Biboo,
na klar....logisch. Vielen DANK!
Gruß,
Anna
|
|
|
| |
|
Hallo,
es sei m die kleinste Zahl, so dass [mm] |u_0| [/mm] + 2 [mm] \le 2^{m-1} [/mm] und [mm] |v_0|+2 \le 2^{m-1}
[/mm]
Wie kommt man dann davon auf:
Für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt dann
[mm] |u_k| \le |u_k [/mm] - x| + |x - [mm] u_0 [/mm] | + [mm] |u_0| \le [/mm] 2 + [mm] |u_0| \le 2^{m-1}
[/mm]
und
|y| [mm] \le [/mm] |y - [mm] v_0| [/mm] + [mm] |v_0| \le [/mm] 1 + [mm] |v_0| \le 2^{m-1}
[/mm]
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> es sei m die kleinste Zahl, so dass [mm]|u_0|[/mm] + 2 [mm]\le 2^{m-1}[/mm]
> und [mm]|v_0|+2 \le 2^{m-1}[/mm]
>
> Wie kommt man dann davon auf:
>
> Für alle k [mm]\in \IN[/mm] gilt dann
> [mm]|u_k| \le |u_k[/mm] - x| + |x - [mm]u_0[/mm] | + [mm]|u_0| \le[/mm] 2 + [mm]|u_0| \le 2^{m-1}[/mm]
Hallo,
das geht mit der Dreiecksungleichung:
[mm] |u_k| =|u_k-x+x-u_0+u_0| [/mm] dann die Dreiecksungleichung.
Ich weiß nichts über diese x. Sie scheinen so zu sein, daß [mm] |u_k[/mm] [/mm] - x| und |x - [mm]u_0[/mm] | kleiner als 1 sind.
Unten dann entsprechend.
Gruß v. Angela
>
> und
> |y| [mm]\le[/mm] |y - [mm]v_0|[/mm] + [mm]|v_0| \le[/mm] 1 + [mm]|v_0| \le 2^{m-1}[/mm]
>
> Danke,
> Anna
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
na klar, die Dreiecksgleichung - dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin :-(
Danke!!
> >
> > es sei m die kleinste Zahl, so dass [mm]|u_0|[/mm] + 2 [mm]\le 2^{m-1}[/mm]
> > und [mm]|v_0|+2 \le 2^{m-1}[/mm]
> >
> > Wie kommt man dann davon auf:
> >
> > Für alle k [mm]\in \IN[/mm] gilt dann
> > [mm]|u_k| \le |u_k[/mm] - x| + |x - [mm]u_0[/mm] | + [mm]|u_0| \le[/mm] 2 + [mm]|u_0| \le 2^{m-1}[/mm]
>
> > und
> > |y| [mm]\le[/mm] |y - [mm]v_0|[/mm] + [mm]|v_0| \le[/mm] 1 + [mm]|v_0| \le 2^{m-1}[/mm]
Noch eine Frage dazu.
Für alle k [mm] \in \IN [/mm] erhält man:
[mm] |u_{m+k} [/mm] * [mm] v_{m+k} [/mm] -xy| [mm] \le |u_{m+k} [/mm] * [mm] (v_{m+k} [/mm] - y) + y * [mm] (u_{m+k} [/mm] - x)|
Wie kommt man denn auf diese Abschätzung, ich meine mich irritiert das zweite
"y *" ?
Und dann was ich erst recht nicht nachvollziehen kann, von
[mm] |u_{m+k} [/mm] * [mm] (v_{m+k} [/mm] - y) + y * [mm] (u_{m+k} [/mm] - x)| [mm] \le [/mm] 2 * [mm] 2^{m-1} [/mm] * [mm] 2^{-m-k}
[/mm]
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
> Noch eine Frage dazu.
> Für alle k [mm]\in \IN[/mm] erhält man:
> [mm]|u_{m+k}[/mm] * [mm]v_{m+k}[/mm] -xy| [mm]\le |u_{m+k}[/mm] * [mm](v_{m+k}[/mm] - y) + y *
> [mm](u_{m+k}[/mm] - x)|
>
> Wie kommt man denn auf diese Abschätzung, ich meine mich
> irritiert das zweite
> "y *" ?
Hallo,
das sind so die Dinge, über die man tausendmal staunt, bis man sie dann beim 1001.Mal selbst anwendet.
Aufgepaßt:
uv-xy= uv-uy+uy-xy=uv-uy+yu-yx=u(v-y)+y(u-x). Einfach, oder?
>
> Und dann was ich erst recht nicht nachvollziehen kann, von
> [mm]|u_{m+k}[/mm] * [mm](v_{m+k}[/mm] - y) + y * [mm](u_{m+k}[/mm] - x)| [mm]\le[/mm] 2 *
> [mm]2^{m-1}[/mm] * [mm]2^{-m-k}[/mm]
Hier unten wohl die Dreicksungleichung:
[mm] |u_{m+k}* (v_{m+k}- [/mm] y) + y [mm] *(u_{m+k} [/mm] - x)| [mm] \le |u_{m+k}* (v_{m+k}- [/mm] y) | + |y [mm] *(u_{m+k} [/mm] - x)|
[mm] =|u_{m+k}|* |(v_{m+k}- [/mm] y) | + |y| [mm] *|(u_{m+k} [/mm] - x)| nun die Informationen von oben
[mm] \le 2^{m-1} |(v_{m+k}- [/mm] y) | + [mm] 2^{m-1}|(u_{m+k} [/mm] - x)| [mm] =2^{m-1}( |(v_{m+k}- [/mm] y) | [mm] +|(u_{m+k} [/mm] - x)|),
ich nehme an, daß man für den Rest Informationen über die beiden Folgen braucht, die ich nicht habe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Antwort!
> > Für alle k [mm]\in \IN[/mm] erhält man:
> > [mm]|u_{m+k}[/mm] * [mm]v_{m+k}[/mm] -xy| [mm]\le |u_{m+k}[/mm] * [mm](v_{m+k}[/mm] - y) +
> y *
> > [mm](u_{m+k}[/mm] - x)|
> >
> > Wie kommt man denn auf diese Abschätzung, ich meine mich
> > irritiert das zweite
> > "y *" ?
>
> das sind so die Dinge, über die man tausendmal staunt, bis
> man sie dann beim 1001.Mal selbst anwendet.
>
> Aufgepaßt:
>
> uv-xy= uv-uy+uy-xy=uv-uy+yu-yx=u(v-y)+y(u-x). Einfach,
> oder?
Ja, das ist es wirklich. Im Grunde weiß man es und sieht es doch nicht. Na ich hoffe, dass sich das bei mir noch ändert. Ich warte dann auf mein 1001. Mal 
>
> >
> > Und dann was ich erst recht nicht nachvollziehen kann, von
> > [mm]|u_{m+k}[/mm] * [mm](v_{m+k}[/mm] - y) + y * [mm](u_{m+k}[/mm] - x)| [mm]\le[/mm] 2 *
> > [mm]2^{m-1}[/mm] * [mm]2^{-m-k}[/mm]
>
> Hier unten wohl die Dreicksungleichung:
>
> [mm]|u_{m+k}* (v_{m+k}-[/mm] y) + y [mm]*(u_{m+k}[/mm] - x)| [mm]\le |u_{m+k}* (v_{m+k}-[/mm]
> y) | + |y [mm]*(u_{m+k}[/mm] - x)|
>
> [mm]=|u_{m+k}|* |(v_{m+k}-[/mm] y) | + |y| [mm]*|(u_{m+k}[/mm] - x)| nun
> die Informationen von oben
>
> [mm]\le 2^{m-1} |(v_{m+k}-[/mm] y) | + [mm]2^{m-1}|(u_{m+k}[/mm] - x)|
> [mm]=2^{m-1}( |(v_{m+k}-[/mm] y) | [mm]+|(u_{m+k}[/mm] - x)|),
>
> ich nehme an, daß man für den Rest Informationen über die
> beiden Folgen braucht, die ich nicht habe.
Ok, das konnte ich jetzt dank Deiner Hilfe soweit gut nachvollziehen. Aber ich überlege wirklich wie man vor allen Dingen auf die [mm] 2^{-m-k} [/mm] kommt, wie kommt auf einmal ein k da rein? Im Grund ging es darum, dass gezeigt wurde, dass [mm] u_{m+k} [/mm] * [mm] v_{m+k} [/mm] eine schnell gegen xy konvergierende Folge ist, und schnell im Sinne von
( [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN) [/mm] |x - [mm] u_k [/mm] | [mm] \le 2^{-k} [/mm] mit x = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} u_k
[/mm]
Über [mm] u_k [/mm] , [mm] v_k [/mm] kann ich auch nicht mehr sagen, außer dass sie eine Folge rationaler Zahlen in Dualnotation sind und es um x*y = [mm] u_k [/mm] * [mm] v_k [/mm] geht.
Kannst Du daran erkennen, wie die auf diesen letzten Abschätzungsschritt gekommen sind?
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
> > Hier unten wohl die Dreicksungleichung:
> >
> > [mm]|u_{m+k}* (v_{m+k}-[/mm] y) + y [mm]*(u_{m+k}[/mm] - x)| [mm]\le |u_{m+k}* (v_{m+k}-[/mm]
> > y) | + |y [mm]*(u_{m+k}[/mm] - x)|
> >
> > [mm]=|u_{m+k}|* |(v_{m+k}-[/mm] y) | + |y| [mm]*|(u_{m+k}[/mm] - x)| nun
> > die Informationen von oben
> >
> > [mm]\le 2^{m-1} |(v_{m+k}-[/mm] y) | + [mm]2^{m-1}|(u_{m+k}[/mm] - x)|
> > [mm]=2^{m-1}( |(v_{m+k}-[/mm] y) | [mm]+|(u_{m+k}[/mm] - x)|),
> >
> > ich nehme an, daß man für den Rest Informationen über die
> > beiden Folgen braucht, die ich nicht habe.
>
> Ok, das konnte ich jetzt dank Deiner Hilfe soweit gut
> nachvollziehen. Aber ich überlege wirklich wie man vor
> allen Dingen auf die [mm]2^{-m-k}[/mm] kommt, wie kommt auf einmal
> ein k da rein? Im Grund ging es darum, dass gezeigt wurde,
> dass [mm]u_{m+k}[/mm] * [mm]v_{m+k}[/mm] eine schnell gegen xy konvergierende
> Folge ist, und schnell im Sinne von
> ( [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN)[/mm] |x - [mm]u_k[/mm] | [mm]\le 2^{-k}[/mm]
Hallo,
wenn für alle K [mm] \in \IN [/mm] gilt |x - [mm] u_K[/mm] [/mm] | [mm] \le 2^{-K},
[/mm]
dann gilt das natürlich auch für K:= m+k.
Also ist [mm] |(u_{m+k}[/mm] [/mm] - x)| [mm] \le 2^{-(m+k)}=2^{-m-k}.
[/mm]
Ich nehme an, daß Vergleichbares auch für die beiden anderen Buchstaben gilt, und dann hast Du insgesamt
[mm] 2^{m-1}( |(v_{m+k}- [/mm] y) | [mm][mm] +|(u_{m+k}- [/mm] x)|) [mm] \le 2^{m-1}(2^{-m-k}+2^{-m-k}) =2^{m-1}2^{-m-k}*2, [/mm]
und das ist das Ergebnis, welches Du willst.
Gruß v. Angela
mit x =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} u_k[/mm]
>
> Über [mm]u_k[/mm] , [mm]v_k[/mm] kann ich auch nicht mehr sagen, außer dass
> sie eine Folge rationaler Zahlen in Dualnotation sind und
> es um x*y = [mm]u_k[/mm] * [mm]v_k[/mm] geht.
>
> Kannst Du daran erkennen, wie die auf diesen letzten
> Abschätzungsschritt gekommen sind?
>
> Danke,
> Anna
>
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
vielen DANK! Jetzt habe ich das endlich nachvollziehen können.
Nun überlege ich gerade, ob es auch möglich wäre statt mit xy mit x+y
auf dieses Ergebnis zu kommen?
Also
[mm] u_{m+k} [/mm] + [mm] v_{m+k} [/mm] - x + y [mm] \le 2^{-k}
[/mm]
Ist das auch möglich, denn hier fehlt mir ja die Multiplikation wodurch ich
die Exponenten addieren könnte.
Danke,
Anna
> > > Hier unten wohl die Dreicksungleichung:
> > >
> > > [mm]|u_{m+k}* (v_{m+k}-[/mm] y) + y [mm]*(u_{m+k}[/mm] - x)| [mm]\le |u_{m+k}* (v_{m+k}-[/mm]
> > > y) | + |y [mm]*(u_{m+k}[/mm] - x)|
> > >
> > > [mm]=|u_{m+k}|* |(v_{m+k}-[/mm] y) | + |y| [mm]*|(u_{m+k}[/mm] - x)| nun
> > > die Informationen von oben
> > >
> > > [mm]\le 2^{m-1} |(v_{m+k}-[/mm] y) | + [mm]2^{m-1}|(u_{m+k}[/mm] - x)|
> > > [mm]=2^{m-1}( |(v_{m+k}-[/mm] y) | [mm]+|(u_{m+k}[/mm] - x)|),
> > >
> > > ich nehme an, daß man für den Rest Informationen über die
> > > beiden Folgen braucht, die ich nicht habe.
> >
> > Ok, das konnte ich jetzt dank Deiner Hilfe soweit gut
> > nachvollziehen. Aber ich überlege wirklich wie man vor
> > allen Dingen auf die [mm]2^{-m-k}[/mm] kommt, wie kommt auf einmal
> > ein k da rein? Im Grund ging es darum, dass gezeigt wurde,
> > dass [mm]u_{m+k}[/mm] * [mm]v_{m+k}[/mm] eine schnell gegen xy konvergierende
> > Folge ist, und schnell im Sinne von
> > ( [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN)[/mm] |x - [mm]u_k[/mm] | [mm]\le 2^{-k}[/mm]
>
> Hallo,
>
> wenn für alle K [mm]\in \IN[/mm] gilt |x - [mm]u_K[/mm][/mm] | [mm]\le 2^{-K},[/mm]
>
> dann gilt das natürlich auch für K:= m+k.
>
> Also ist [mm]|(u_{m+k}[/mm][/mm] - x)| [mm]\le 2^{-(m+k)}=2^{-m-k}.[/mm]
>
> Ich nehme an, daß Vergleichbares auch für die beiden
> anderen Buchstaben gilt, und dann hast Du insgesamt
>
> [mm]2^{m-1}( |(v_{m+k}-[/mm] y) | [mm][mm]+|(u_{m+k}-[/mm] x)|) [mm]\le 2^{m-1}(2^{-m-k}+2^{-m-k}) =2^{m-1}2^{-m-k}*2,[/mm]
> mit x =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} u_k[/mm]
>
> Über [mm]u_k[/mm] , [mm]v_k[/mm] kann ich auch nicht mehr sagen, außer dass
> sie eine Folge rationaler Zahlen in Dualnotation sind und
> es um x*y = [mm]u_k[/mm] * [mm]v_k[/mm] geht.
>
> Kannst Du daran erkennen, wie die auf diesen letzten
> Abschätzungsschritt gekommen sind?
>
> Danke,
> Anna
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mi 23.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
