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| Aufgabe | | [mm] (det(A))^{4} [/mm] = 16, wobei A [mm] \in GL(4,\IC) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin bei einer Aufgabe auf folgende Gleichung gekommen. Wir sollen die Lösungen in [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] bestimmen. Dass es in [mm] \IR \pm [/mm] 2 ergibt ist klar aber wie löse ich das im Komplexen? Habe schon versucht det(a) mit a + bi zu ersetzen und dann auszumultiplizieren aber auf eine Lösung komme ich dann auch nicht.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Fr 16.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Gleichung [mm] z^4 [/mm] = 16 hat im Komplexen die Lösungen
$2, -2, 2i$ und $-2i$
FRED
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Danke für die Antwort aber mir fehlt noch der Rechenweg.
lg Marcel
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Hallo,
Die Determinante einer Matrix ist ja nur eine Zahl. Sei [mm] z\in\IC [/mm] diese Zahl. Dann gilt ja [mm] z^4=16. [/mm]
Jetzt ziehen wir die Wurzel: [mm] \Rightarrow \wurzel{z^4}=\wurzel{16} \gdw z^2=\red{\pm}4, [/mm] also [mm] z_1^2=\red{+}4, z_2^2=\blue{-}4.
[/mm]
Aus [mm] z_1 [/mm] ergeben sich die Lösungen 2 und -2. Aus [mm] z_2 [/mm] kommst du auf die Lösung 2i und -2i.
Die ersten beiden Lösung brauchen sicherlich keiner weiterer Erklärung, aber vllt die letzten beiden:
[mm] z^2=-4 \gdw |z|=\wurzel{-4}=i\wurzel{4}=i*\pm2.
[/mm]
lg Kai
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Dankeschön. Jetzt habe ich es verstanden. :)
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> [mm] \wurzel{z^4}=\wurzel{16} \gdw |z^2|=\red{\pm}4,[/mm] [/mm]
Hallo,
das ist Unfug, der Betrag einer Zahl kann nicht negativ sein.
Richtig wäre [mm] |z^2|=4 [/mm] ==> [mm] z^2=4 [/mm] oder [mm] z^2=-4.
[/mm]
Und dann weiter.
Gruß v. Angela
> Der Betrag von
> also [mm]z_1^2=\red{+}4, z_2^2=\blue{-}4.[/mm]
>
> Aus [mm]z_1[/mm] ergeben sich die Lösungen 2 und -2. Aus [mm]z_2[/mm] kommst
> du auf die Lösung 2i und -2i.
>
> Die ersten beiden Lösung brauchen sicherlich keiner
> weiterer Erklärung, aber vllt die letzten beiden:
>
> [mm]z^2=-4 \gdw |z|=\wurzel{-4}=i\wurzel{4}=i*\pm2.[/mm]
>
> lg Kai
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Was ich mich jetzt noch gefragt habe:
Gibt es nur Lösungen bei denen nur der Imaginär- oder nur der Realteil auftritt? Gibt es keine Lösungen mit Imaginär- UND Realteil? Wenn in diesem Fall nicht, wann gäbe es dann so eine Lösung?
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Hallo Marcel,
> Was ich mich jetzt noch gefragt habe:
>
> Gibt es nur Lösungen bei denen nur der Imaginär- oder nur
> der Realteil auftritt?
Natürlich, zB. hat [mm] $z^2=-4$ [/mm] nur die rein imaginären Lösungen [mm] $z=\pm [/mm] 2i$ und [mm] $z^2=+4$ [/mm] die rein reellen Lösungen [mm] $z=\pm [/mm] 2$
> Gibt es keine Lösungen mit Imaginär- UND Realteil?
Selbstverständlich gibt es die, schaue dir zB. mal die Lösungen von [mm] $(z+1)^2=-4$ [/mm] an ...
>Wenn in diesem Fall nicht, wann gäbe es dann
> so eine Lösung?
Bei deiner Aufgabe stand das reine [mm] $z^2$ [/mm] bzw. [mm] $z^4$; [/mm] wenn du das nur leicht in [mm] $(z+1)^2$ [/mm] abänderst bekommst du eine Lösung mit Real- und Imaginärteil
LG
schachuzipus
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> Was ich mich jetzt noch gefragt habe:
>
> Gibt es nur Lösungen bei denen nur der Imaginär- oder nur
> der Realteil auftritt? Gibt es keine Lösungen mit Imaginär-
> UND Realteil? Wenn in diesem Fall nicht, wann gäbe es dann
> so eine Lösung?
Hallo,
Du könntest auch mal [mm] z^5=1 [/mm] lösen.
Gruß v. Angela
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