Gleichung - Komplexezahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Fr 26.06.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Guten abend..
..habe hier eine Gleichung mit komplexen Zahlen gelöst und bin unsicher ob ich es richtig gemacht habe..wäre froh wenn mir jemand die lösung bestätigen könnte..
hier ist die gegebene Gleichung:
BETRAG[ (z - 1 )/z ] [mm] \ge [/mm] 3
jetzt habe ich das mal als BETRAG[1 - 1/z] geschrieben, dann für z "x+yi" eingesetzt.. dann habe ich 1/z getielt in dem ich mit der konjugierten erweitert habe.. dann habe ich real und imaginärteil getrent und dann sahs folgendermassen aus: ( [mm] \bruch{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{yi}{x^2+y^2})^2 \ge [/mm] 9
(9 weil es ja z betrag war, das heisst ja wurzel ziehen, dann habe ich gleich quadriert..)
nacher hatte ich den imaginärteil = 0 gestzt, das ist okay oder? und den anderen gleich 9. Beim immaginärteil [mm] \bruch{-y}{(x^2+y^2)^2} [/mm] gabs für y = 0, also imaginärteil = 0? und bei x bekam ich ne quadratische gleichung; x = 4 oder -2, also ist die lösung x [mm] \le [/mm] -2 oder x [mm] \ge [/mm] 4
stimmts?
gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Fr 26.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Guten abend..
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> ..habe hier eine Gleichung mit komplexen Zahlen gelöst und
> bin unsicher ob ich es richtig gemacht habe..wäre froh wenn
> mir jemand die lösung bestätigen könnte..
>
> hier ist die gegebene Gleichung:
>
> BETRAG[ (z - 1 )/z ] [mm]\ge[/mm] 3
>
> jetzt habe ich das mal als BETRAG[1 - 1/z] geschrieben,
Gut, das bedeutet "übersetzt": Der Abstand zwischen der komplexen Zahl 1 und der komplexen Zahl 1/z ist größer oder gleich 3. Die komplexe Zahl 1/z liegt damit auf dem Rand oder außerhalb des Kreises um 1 mit dem Radius 3. Die reziproken Werte all dieser unendlich vielen komplexen Zahlen bilden die gesuchte Lösungsmenge für alle möglichen Zahlen z.
Gruß Abakus
> dann für z "x+yi" eingesetzt.. dann habe ich 1/z getielt in
> dem ich mit der konjugierten erweitert habe.. dann habe ich
> real und imaginärteil getrent und dann sahs folgendermassen
> aus: ( [mm]\bruch{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2})^2[/mm] -
> [mm](\bruch{yi}{x^2+y^2})^2 \ge[/mm] 9
>
> (9 weil es ja z betrag war, das heisst ja wurzel ziehen,
> dann habe ich gleich quadriert..)
>
> nacher hatte ich den imaginärteil = 0 gestzt, das ist okay
Der von dir genannte Term besitzt gar keinen Imaginärteil, da [mm] i^2=-1 [/mm] gilt.
Was willst du also Null setzen?
> oder? und den anderen gleich 9. Beim immaginärteil
> [mm]\bruch{-y}{(x^2+y^2)^2}[/mm] gabs für y = 0, also imaginärteil =
> 0? und bei x bekam ich ne quadratische gleichung; x = 4
> oder -2, also ist die lösung x [mm]\le[/mm] -2 oder x [mm]\ge[/mm] 4
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> stimmts?
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> gruss
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:50 Fr 26.06.2009 | | Autor: | qsxqsx |
..ja danke..man sollte sich eigentlich öfters überlegen was man eigentlich rechnet anstelle immer blind mit anwendungen draufloszurechnen..einleuchtend mit dem kreis..ABER wie stell ich das jetzt als lösungsmenge dar? so z elemet C ohne kreisinneres?!: S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Fr 26.06.2009 | | Autor: | qsxqsx |
ich meine wenn es ja keinen immaginärteil da im Betrag drin gibt, dann bekomm ich ja auch nicht zwei gleichungen mit denen ich x als auch den immaginärteil y ausrechnen könnte.. also als polargleichung könnte man einfach r [mm] \ge [/mm] 3 und den winkel als element R schreiben, nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:33 Sa 27.06.2009 | | Autor: | abakus |
> ich meine wenn es ja keinen immaginärteil da im Betrag drin
> gibt, dann bekomm ich ja auch nicht zwei gleichungen mit
> denen ich x als auch den immaginärteil y ausrechnen
> könnte.. also als polargleichung könnte man einfach r [mm]\ge[/mm] 3
> und den winkel als element R schreiben, nicht?
Hallo, der beschriebene Kreis und sein Außengebiet ist ja nicht der geometrische ort für z, sondern für 1/z.
Bei Bilden des Reziproken einer komplemen Zahl passiert zweierlei:
(1) Der Punkt z wird am Einheitskreis gespiegelt
(2) Der gespiegelte Punkt wird an der x-Achse gespiegelt.
Bei der Inversion am Einheitskreis entsteht aus Kreisen je nach Lage eine Gerade oder wieder ein Kreis wird (hier ist es ein Kreis). Das Äüßere des Originalkreises wird auf das Innere des Bildkreises abgebildet.
Zu deinen Gleichungen: Da als Gebietsbegrenzung ein Kreis zu erwarten ist, müssen deine Umformungen auf eine Kreisgleichung der Form [mm] (x-c)^2+(y-d)^2=r^2 [/mm] führen.
Es ist also gar nicht zu erwarten, dass du eine der beiden Variablen los wirst.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mi 01.07.2009 | | Autor: | qsxqsx |
..hallooo..
kapier leider (doch) immer noch nicht wie ich das jetzt als lösungsmenge darstellen soll? hab ein paar nächte drüber geschlafen, aber hat nichts gebracht; )
gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> ..hallooo..
>
> kapier leider (doch) immer noch nicht wie ich das jetzt als
> lösungsmenge darstellen soll? hab ein paar nächte drüber
> geschlafen, aber hat nichts gebracht; )
>
> gruss
Mit z = x+iy ergibt sich (nachrechnen !)
[mm] $|\bruch{z-1}{z}|>3$ \gdw x^2+\bruch{1}{4}x+y^2<1/8 \gdw (x+1/8)^2+y^2<\bruch{9}{64}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Mi 01.07.2009 | | Autor: | qsxqsx |
DANKE ! ..hehe ja jetz isses klar......ja werd ich natürlich nachrechnen, ich wills ja verstehn..morgen is test..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 28.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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