Gleichung Komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] x^3 [/mm] -i = 0 und zeichnen Sie die Lösungen in die Gaußesche Zahlenebene ein. |
hey,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bräuchte einen Tipp, wie ich mit der Aufgabe beginnen kann. Folgendes habe ich mir bisher überlegt, man könnte den Term nach x = [mm] \wurzel[3]{i} [/mm] umformen, aber ich glaube das ist der falsche Ansatz bzw. ich komme an dieser Stelle nicht weiter.
Viele Grüße
Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mo 01.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]x^3[/mm] -i = 0 und
> zeichnen Sie die Lösungen in die Gaußesche Zahlenebene
> ein.
> hey,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich bräuchte einen Tipp, wie ich mit der Aufgabe beginnen
> kann. Folgendes habe ich mir bisher überlegt, man könnte
> den Term nach x = [mm]\wurzel[3]{i}[/mm] umformen, aber ich glaube
> das ist der falsche Ansatz bzw. ich komme an dieser Stelle
> nicht weiter.
Schau Dir das mal an:
http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m1/komplex/wurzel-1.pdf
FRED
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
> Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]x^3[/mm] -i = 0 und
> zeichnen Sie die Lösungen in die Gaußesche Zahlenebene
Eine Alternative zu Freds Vorschlag:
Man sieht auf einen Blick, dass [mm]x=-i[/mm] die Gleichung [mm]x^3-i=0[/mm] löst.
Mache Polynomdivision:
[mm](x^3-i):(x-(-i))=(x^3-i):(x+i)=x^2-ix-1[/mm]
Und die Lösungen von [mm]x^2-ix-1=0[/mm] lassen dich doch recht schnell per quadratischer Ergänzung finden ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
ich kann dem Lösungsvorschlag soweit folgen, ich weiß auch wie die Lösung der quadratischen Ergänzung aussehen soll:
[mm] (x-1/2i)^2 [/mm] = 3/4
aber ich habe leider keine Ahnung wie ich auf diese Quadratischeergänzung komme?
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> hey,
>
> ich kann dem Lösungsvorschlag soweit folgen, ich weiß
> auch wie die Lösung der quadratischen Ergänzung aussehen
> soll:
>
> [mm](x-1/2i)^2[/mm] = 3/4
>
> aber ich habe leider keine Ahnung wie ich auf diese
> Quadratischeergänzung komme?
Woher weißt du denn dann, wie die Lösung der Ergänzung aussieht?
Ist die vom Himmel gefallen?
Es ist [mm]x^2-ix-1=x^2-2\cdot{}\frac{1}{2}ix-1=x^2-2\cdot{}\frac{1}{2}ix\red{+\left(\frac{1}{2}i\right)^2-\left(\frac{1}{2}i\right)^2}-1[/mm]
[mm]=\underbrace{x^2-2\cdot{}\frac{1}{2}i\cdot{}x+\left(\frac{1}{2}i\right)^2}_{\text{2. binomische Formel}}-\left(\frac{1}{2}i\right)^2-1[/mm]
Geht es nun weiter?
>
> Viele Grüße
>
>
> Marcel
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
>
>
> > Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]x^3[/mm] -i = 0 und
> > zeichnen Sie die Lösungen in die Gaußesche
> Zahlenebene
>
> Eine Alternative zu Freds Vorschlag:
>
> Man sieht auf einen Blick, dass [mm]x=-i[/mm] die Gleichung [mm]x^3-i=0[/mm]
> löst.
>
hey,
wieso sieht man das auf einen Blick, das macht mir Sorgen ich komm da nicht drauf, denn ich rechne ja dann [mm] -i^{3}-i= [/mm] 0
aber das ist doch nicht gleich null oder?
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Man sieht auf einen Blick, dass [mm]x=-i[/mm] die Gleichung [mm]x^3-i=0[/mm]
> > löst.
> >
>
> hey,
>
> wieso sieht man das auf einen Blick, das macht mir Sorgen
> ich komm da nicht drauf, denn ich rechne ja dann [mm]-i^{3}-i=[/mm]
> 0
>
> aber das ist doch nicht gleich null oder?
Doch. Denn es ist
[mm] i^3=i*i^2=i*(-1)=-i
[/mm]
und damit
[mm] (-i)^3=-i^3=i,
[/mm]
das ist eine Möglichkeit, dies einzusehen.
Die zweite Möglichkeit, und die ist in meinen Augen mindestens ebenso wichtig: du machst dir klar, was die elementaren Rechenoperationen in der Gauß'schen Ebene für Wirkungen haben. Eine Multiplikation mit i bspw. dreht eine gegebene Zahl z um 0 um den Winkel [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] nach links (also in positiver Drehrichtung). Daraus kann man sich leicht klarmachen, dass sich für eine komplexe Zahl ungleich 0 durch Potenzieren ihr Argument entsprechend verfielfacht. Also gilt bspw.
[mm] arg(z^3)=3*arg(z).
[/mm]
Und damit sieht man das ganze dann noch schneller ein.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
