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Gleichung auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Do 29.03.2018
Autor: David90

Aufgabe
Löse die folgende Gleichung:
[mm] x^7-x^4-16x^3+16=0 [/mm]

Hallo zusammen,

jemand einen Ansatz wie ich die Gleichung lösen könnte?

Viele Grüße

        
Bezug
Gleichung auflösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Do 29.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Löse die folgende Gleichung:
> [mm]x^7-x^4-16x^3+16=0[/mm]
> Hallo zusammen,

>

> jemand einen Ansatz wie ich die Gleichung lösen könnte?

Ja. Dazu wäre es aber schön gewesen, wenn du die eine oder andere Überlegung selbst angestellt hättest.

Ist dir klar, dass man solche algebraischen Gleichungen ab der 5. Ordnung i.a. nicht auflösen kann? Das ist durchaus kein 'unnützes Wissen': wenn nämlich (gerade im schulischen Bereich) die Auflösung einer solchen Gleichung dennoch verlangt wird, dann gibt es entweder einen Trick, der nicht allzu schwer ersichtlich sein sollte, oder aber es liegt ein Fehler vor (oder drittens: in Wirklichkeit soll die Gleichung näherungsweise per TR gelöst werden).

So, nun zu deiner Frage: der Trick heißt Faktorisieren (wie so oft beim Lösen solcher und anderer Gleichungen).

Betrachte mal die ersten beiden Summanden und die letzten beiden getrennt und überlege dir, was man aus den beiden Differenzen jeweils ausklammern könnte. Hat man das gesehen, dann war es das eigentlich schon.

Die einzige Frage wäre noch, ob die Gleichung über [mm] \IR [/mm] oder über [mm] \IC [/mm] gelöst werden soll.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Gleichung auflösen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 20:03 Do 29.03.2018
Autor: Al-Chwarizmi

gut beantwortet, ohne die Lösung im Detail zu verraten

Bezug
                
Bezug
Gleichung auflösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:28 Fr 30.03.2018
Autor: David90

Ah ja, danke für den Denkanstoß.
Umgeformt sieht die Gleichung folgendermaßen aus:
[mm] (x^3-1)(x^4-16)=0 [/mm]

Damit ergibt sich [mm] x_{1}=1; x_{2}=2, x_{3}=-2. [/mm]
Danke für die Hilfe.

Bezug
                        
Bezug
Gleichung auflösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 So 01.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ah ja, danke für den Denkanstoß.
>  Umgeformt sieht die Gleichung folgendermaßen aus:
>  [mm](x^3-1)(x^4-16)=0[/mm]
>  
> Damit ergibt sich [mm]x_{1}=1; x_{2}=2, x_{3}=-2.[/mm]

Auch wenn das stimmt… als Korrektor hätte ich erwartet, dass du die zweite Klammer noch ein bisschen mehr aufdröselst mit Hilfe binomischer Formeln.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Gleichung auflösen: Schikane?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mo 02.04.2018
Autor: Diophant


> > Damit ergibt sich [mm]x_{1}=1; x_{2}=2, x_{3}=-2.[/mm]

>

> Auch wenn das stimmt… als Korrektor hätte ich erwartet,
> dass du die zweite Klammer noch ein bisschen mehr
> aufdröselst mit Hilfe binomischer Formeln.

Was aber völlig unnötig ist. Solange die Gleichung über [mm] \IR [/mm] betrachtet wird, sind die Lösungsmöglichkeiten* der Gleichung

[mm] x^n=c [/mm] ; c>0

elementarstes Schulwissen.

Eine weitere Faktorisierung würde nur dann Sinn ergeben, wenn man die Gleichung über [mm] \IC [/mm] betrachtet (und auf die geometrischen Deutungen der Rechenarten in der Gaußschen Ebene verzichtet).

*je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist.

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