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Hi ich sehe diese Gleichung zum ersten Mal und frage mich, wie ich diese berechnen kann.
[mm] 4+x\equiv2mod5
[/mm]
Wie bestimme ich hier alle x?
Anika
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Danke, für die schnelle Antwort aber es bringt mich nicht bei meiner Aufgabe weiter.
Die Aufgabe war [mm] 4+x\equiv2mod5
[/mm]
Der Lösungsweg laut Musterlösung:
[mm] \overline{4+x},\overline{2}\in\IZ_{5}
[/mm]
[mm] \IZ_{5}=\{\overline{0},\overline{1},...,\overline{4}\}
[/mm]
[mm] \overline{2}=\{...,-3,2,7,12,...\}
[/mm]
[mm] \overline{4+x}=\overline{2} \gdw \overline{4}+\overline{x}=\overline{2} \gdw \overline{4}+\overline{3}=\overline{2}, [/mm] mit [mm] \overline{3}=\{...,-3,2,7,12,...\}
[/mm]
Ich hab einfach kein schimmer, wie er auf diese Zahlen kommt.
Sorry, ich hab zwar Klammern angegeben, aber irgendwie zeigt er sie nicht.
edit(reverend): Das Geheimnis der geschweiften Klammern besteht darin, dass sie nur angezeigt werden, wenn man einen backslash [mm] \blue{(\backslash)} [/mm] direkt davor schreibt. Sonst nimmt [mm] \blue{\TeX} [/mm] sie als Begrenzung eines Funktionsarguments.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Mo 21.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du denn sagen, was 2mod 5 ist. daran hängt alles.
oder weisst du, wie man das additive Inverse von einer Zahl mod 5 findet? wenn du auf beiden Seiten das Inverse von 4 addierst, hast du einen Repräsentanten der Lösung.
Beispiel :x+3=4 mod7 ich weiss 3+4=7=0mod7
also x+3+4=4+4 ; x=8mod7=1mod7 also x=1mod7
Gruss leduart
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Hi, ich verstehe es leider immernoch nicht!
An dem Beispiel aus Wikipedia verstehe ich es glaube ich.
geg. 2mod5=2
Ich stell mir die Frage wie oft die 5 in die 2 geht? Also =0 mal. Es hat ein Rest von 2.
Jetzt bei mir.
4mod7=x+3
Wie oft geht die 7 in die 4? Also =0 Mal. Est hat den Rest 4. Jetzt gibst für x gleich 4 ein und erhälst 4+3=7=0mod7.
Ab jetzt verstehe ich gar nichts mehr..
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Hallo Mikka (und hallo Anika),
Ihr solltet in der Vorlesung doch irgendetwas zu Restklassen(ringen) gemacht haben.
Im Prinzip ist die Definition einfach: alle ganzen (oder auch nur natürlichen Zahlen), die bei Teilung durch eine bestimmte Zahl - den Modul - den gleichen Rest lassen, gehören in die gleiche Restklasse. Zum Modul 9 (gelesen: modulo 9) sind das z.B. die Zahlen 19, 343, 47593 und -53. Sie alle sind darstellbar als 9a+1 mit [mm] a\in\IZ.
[/mm]
Damit sind die grundlegenden Rechenarten auch leicht herzuleiten. Im Zweifelsfall rechnet man ohne Modul und legt diesen erst am Ende an:
[mm] 7^3\mod{9}\equiv 7*7*7\mod{9} \equiv 343\mod{9} \equiv{1} [/mm] (siehe oben)
Ich hätte mit kleineren Zahlen arbeiten können, wenn ich mir [mm] 7\mod{9} \equiv-2 [/mm] zunutze gemacht hätte.
Dann ist [mm] 7^3\mod{9} \equiv(-2)^3 \mod{9} \equiv -8\mod{9} \equiv{1}
[/mm]
Im übrigen schreibt man nicht bei jeder Umformung [mm] "\mod{9}", [/mm] aber irgendwo muss es stehen. Dann ist klar, dass die ganze Äquivalenzkette zum Modul 9 betrachtet wird.
Auch steht hier kein Gleichheitszeichen, denn 343 ist eben nicht =1. Aber es gehört in die gleiche Restklasse [mm] \mod{9}.
[/mm]
Mit diesem Wissen kommt man ziemlich weit, obwohl die Restklassenrechnung viel weiter entwickelt ist und damit auch eigene Schreibweisen entwickelt hat, die einem das viele Geworte ersparen sollen. Die Grundidee bleibt aber die gleiche: es macht Sinn, eine unendliche Menge von Zahlen in einer speziellen Weise zu betrachten und z.B. auf die Restklassen [mm] \mod{23} [/mm] zu reduzieren. Das ist eine sozusagen zyklische Abbildung, weil n und n+23 und n+23*a in die gleiche Restklasse gehören, aber sie ermöglicht einem z.B. die Formulierung des schönen und weitreichenden "kleinen" Satzes von Fermat: sei p prim und [mm] a\in\IN [/mm] mit ggT(a,p)=1. Dann ist [mm] a^{p-1}\equiv 1\mod{p}.
[/mm]
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Lange Vorrede. Ich hatte den Eindruck, dass Euch das noch nicht geläufig ist.
Zum zuletzt zitierten Beispiel von Mikka:
> Hi, ich verstehe es leider immernoch nicht!
> An dem Beispiel aus Wikipedia verstehe ich es glaube ich.
> geg. 2mod5=2
> Ich stell mir die Frage wie oft die 5 in die 2 geht? Also
> =0 mal.
Das ist völlig egal, will heißen, es wird ganz außer Acht gelassen.
> Es hat ein Rest von 2.
Das ist es, worum es geht!
> Jetzt bei mir.
> 4mod7=x+3
> Wie oft geht die 7 in die 4?
> Also =0 Mal.
Egal. Siehe oben.
> Es hat den Rest 4.
Jaaa.
> Jetzt gibst für x gleich 4 ein und erhälst
> 4+3=7=0mod7.
Nein. Da steht doch nicht, dass x in die Restklasse 4 gehört, sondern x+3.
Ziehen wir also mal 3 auf beiden Seiten ab.
[mm] 4\mod{7} \equiv x+3\quad \gdw \quad 1\mod{7} \equiv{x}
[/mm]
Das ist ja noch nicht so schwierig, wenn man die Schreibweise einmal verstanden hat.
Aber wie ist es mit [mm] 4\mod{7} \equiv x+\blue{6} [/mm] ?
Was ist da die Lösung?
> Ab jetzt verstehe ich gar nichts mehr..
Probiers noch mal. Es ist bis hierher noch nicht so schwer, sogar zugänglich für die gymnasiale Mittelstufe. Nur wird da Zahlentheorie normalerweise nicht gelehrt.
got it?
lg
reverend
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Gruß
