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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei [mm] B_m [/mm] das Ereignis, dass genau m der Ereignisse [mm] A_1, [/mm] ..., [mm] A_n [/mm] eintreten.
Zeige: [mm] P(B_m)=\summe_{I \subseteq \{1, ..., n\}, |I|\ge m}^{}\vektor{|I| \\ m}*(-1)^{|I|-m}P(\bigcap_{i \in I}^{}A_i) [/mm] |
Hi!
Ich komme hier leider nicht weiter. Erstmal habe ich das mangels Inspiration mit Induktion nach lösen wollen, habe das aber schnell verworfen. Der Induktionsanfang ist für n=1 leicht gezeigt, aber dann im Induktionsschritt damit rumzurechnen war zu kompliziert.
Dann wollte ich [mm] B_m [/mm] mal aufschreiben.
Es ist ja [mm] B_m=\bigcup_{I \subseteq \{1, ..., n\}, |I|=m}^{}\left(\left[\bigcap_{i \in I}^{}A_i\right]\cap\left[\bigcap_{i \notin I}^{}A_i^c\right]\right)=\bigcup_{I \subseteq \{1, ..., n\}, |I|=m}^{}\left(\left[\bigcap_{i \in I}^{}A_i\right]\backslash\left[\bigcup_{i \notin I}^{}A_i\right]\right).
[/mm]
Dies ist eine disjunkte Vereinigung von Mengen, denn in je 2 verschiedenen Mengen gibt es ein k, sodass in einer Menge [mm] A_k [/mm] und in der anderen [mm] A_k^c [/mm] vorkommt.
Daher ist [mm] P(B_m)=\summe_{I \subseteq \{1, ..., n\}, |I|= m}^{}P\left(\left[\bigcap_{i \in I}^{}A_i\right]\cap\left[\bigcap_{i \notin I}^{}A_i^c\right]\right), [/mm] aber damit bin ich noch recht weit von der zu zeigenden Form entfernt. Weiß jemand, wie ich da vernünftig rangehen kann?
Ferner gibt es natürlich noch das Inklusions-Exklusions-Prinzip (Siebformel), aber wie (bzw. ob) ich die darauf anwenden kann, ist mir auch noch schleierhaft.
Kann mir da jemand helfen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich habe eine Beweisidee, die aber noch ausformuliert werden muss.
Der Ansatz beruht darauf, die Fälle, in denen [mm] B_m [/mm] eintritt, direkt abzuzählen, ähnlich wie mit der Siebformel.
Um sich nicht in Indizes und Summationszeichen zu verheddern, nehme ich mal ein (so allgemein wie möglich gehaltenes) Beispiel : sei etwa n=12 und m=7.
(7)
Man betrachte zunächst die Schnitte von jeweils 7 Mengen, also |I|=7. Ein solcher Schnitt, etwa [mm] A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_7 [/mm] kann genau auf eine Art erzeugt werden, [mm] \vektor{|I| \\ m}=\vektor{7 \\ 7}=1.
[/mm]
In diesen 7-er Schnitten sind aber auch die Fälle mitgezählt, in denen mehr als 7 (nämlich 8, 9, ... 12) der Ereignisse [mm] A_1 [/mm] ... [mm] A_n [/mm] eintreten, und zwar sogar mehrfach. das muss durch geeignete Addition/Subtraktion korrigiert werden.
(8)
Die 8-er Schnitte etwa [mm] A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_7 \cap A_8 [/mm] sind sooft zuviel gezählt worden, wie es Möglichkeiten gibt, einen 7-er Schnitt daraus auszuwählen, multipliziert mit der bei (7) ausgerechneten Anzahl, also [mm] \vektor{8 \\ 7}*\vektor{7 \\ 7} [/mm] = 8 = [mm] \vektor{8 \\ 7}. [/mm] Sooft müssen sie also subtrahiert werden.
(9)
Für die 9-er Schnitte, etwa [mm] A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_8 \cap A_9 [/mm] gilt, dass sie bei (7) zuoft mitgezählt wurden, nämlich [mm] \vektor{9 \\ 7}*\vektor{7 \\ 7} [/mm] mal und bei (8) zuoft subtrahiert wurden, nämlich [mm] \vektor{9 \\ 8}*\vektor{8 \\ 7} [/mm] mal.
Sie müssen also noch [mm] \vektor{9 \\ 7}*\vektor{7 \\ 7} [/mm] - [mm] \vektor{9 \\ 8}*\vektor{8 \\ 7} [/mm] = 36 - 72 = -36 mal subtrahiert werden, d.h. 36 = [mm] \vektor{9 \\ 7} [/mm] mal addiert werden.
(10)
Für die 10-er Schnitte, etwa [mm] A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_9 \cap A_{10} [/mm] geht es jetzt analog so weiter : Subtrahieren sooft wie man 7 aus 10 auswählen kann multipliziert mit dem Faktor bei (7), addieren sooft wie man 8 aus 10 auswählen kann multipliziert mit dem Faktor bei (8), subtrahieren sooft wie man 9 aus 10 auswählen kann, multipliziert mit dem Faktor bei (9) :
[mm] \vektor{10 \\ 7}*\vektor{7 \\ 7} [/mm] - [mm] \vektor{10 \\ 8}*\vektor{8 \\ 7} [/mm] + [mm] \vektor{10 \\ 9}*\vektor{9 \\ 7} [/mm] = 120 - 360 + 360 = 120 = [mm] \vektor{10 \\ 7}.
[/mm]
(11)
[mm] \vektor{11 \\ 7}*\vektor{7 \\ 7} [/mm] - [mm] \vektor{11 \\ 8}*\vektor{8 \\ 7} [/mm] + [mm] \vektor{11 \\ 9}*\vektor{9 \\ 7} [/mm] - [mm] \vektor{11 \\ 10}*\vektor{10 \\ 7}= [/mm] 330 - 1320 + 1980 - 1320 = -330 = [mm] -\vektor{11 \\ 7}.
[/mm]
(12)
[mm] \vektor{12 \\ 7}*\vektor{7 \\ 7} [/mm] - [mm] \vektor{12 \\ 8}*\vektor{8 \\ 7} [/mm] + [mm] \vektor{12 \\ 9}*\vektor{9 \\ 7} [/mm] - [mm] \vektor{12 \\ 10}*\vektor{10 \\ 7} [/mm] + [mm] \vektor{12 \\ 11}*\vektor{11 \\ 7} [/mm] = 792 - 3960 + 7920 - 7920 + 3960 = 792 = [mm] \vektor{12 \\ 7}.
[/mm]
Dass das mit den Binomialkoeffizienten immer so hinhaut ist entweder trivial oder muss noch bewiesen werden.
Gruß Sax.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:59 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort.
Das klingt erstmal ganz gut, das erklärt auch gut, woher die Binomialkoeffizienten kommen. Aber irgendwie weiß ich noch nicht, wie ich das jetzt vernünftig aufschreiben könnte. Und ich weiß auch nicht, wieso das dann auch mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten einfach so klappt (die Durchschnitte sind ja nicht disjunkt, sodass man einfach die [mm] $\sigma-$Additivität [/mm] ausnutzen könnte).
Ich muss da nochmal drüber gucken und berichte morgen nochmal, ob sich was ergeben hat.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Do 21.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also ich habe mal etwas weitergemacht.
Ich habe ja schon so angefangen:
Sei [mm] N=\{1, ..., n\}.
[/mm]
[mm] B_m=\bigcup_{I \subseteq N, |I|=m}^{}\left(\left[\bigcap_{i \in I}^{}A_i\right]\cap\left[\bigcap_{i \notin I}^{}A_i^c\right]\right)
[/mm]
Da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt [mm] P(B_m)=\summe_{I \subseteq N, |I|=m}^{}P\left(\left[\bigcap_{i \in I}^{}A_i\right]\cap\left[\bigcap_{i \notin I}^{}A_i^c\right]\right)=\summe_{I \subseteq N, |I|=m}^{}(1-P\left(\left[\bigcup_{i \in I}^{}A_i^c\right]\cup\left[\bigcup_{i \notin I}^{}A_i\right]\right))=\summe_{I \subseteq N, |I|=m}^{}1-\summe_{I \subseteq N, |I|=m}^{}(P\left(\left[\bigcup_{i \in I}^{}A_i^c\right]\cup\left[\bigcup_{i \notin I}^{}A_i\right]\right))
[/mm]
Nun wollte ich die Siebformel auf den rechten Summanden anwenden, aber das zeigt sich auch recht widerspenstig.
Sei [mm] C_i=\begin{cases} A_i^c, & \mbox{} i \in I \mbox{} \\ A_i, & \mbox{} i \notin I \mbox{} \end{cases}. [/mm] Dann ist
[mm] \summe_{I \subseteq N, |I|=m}^{}1-\summe_{I \subseteq N, |I|=m}^{}(P\left(\left[\bigcup_{i \in I}^{}A_i^c\right]\cup\left[\bigcup_{i \notin I}^{}A_i\right]\right))=\summe_{I \subseteq N, |I|=m}^{}1-\summe_{I \subseteq N, |I|=m}^{}\summe_{J \subseteq N, |J|\ge 1}^{}(-1)^{|J|+1}(P\left(\bigcap_{j \in J}^{}C_i\right))
[/mm]
Weiß jemand, wie man da weitermachen könnte?
(Die Siebformel ist [mm] P\left(\bigcup_{k \in K}^{}A_k\right)=\summe_{I \subseteq K, |I|\ge 1}^{}(-1)^{|I|+1}P\left(\bigcap_{i \in I}^{}A_i\right))
[/mm]
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 24.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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