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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mi 06.11.2013 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | | [mm]z^2+|z|=0[/mm] |
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Hallo ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe. Bis jetzt bin ich soweit gekommen.
Also sei [mm]z=a+bi[/mm]
dann erhalte ich mit [mm]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/mm]
[mm]a^2-b^2+2abi+\sqrt{a^2+b^2}=0[/mm]
nun teile ich in imgainär und realteil auf und dann hapert es bei mir:
Imaginärteil: [mm]2ab=0[/mm]
Realteil: [mm]a^2-b^2+\sqrt{a^2+b^2}=0[/mm]
und wie mach ich jetzt weiter??
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Hallo,
> [mm]z^2+|z|=0[/mm]
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> Hallo ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe. Bis
> jetzt bin ich soweit gekommen.
> Also sei [mm]z=a+bi[/mm]
> dann erhalte ich mit [mm]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/mm]
> [mm]a^2-b^2+2abi+\sqrt{a^2+b^2}=0[/mm]
> nun teile ich in imgainär und realteil auf und dann
> hapert es bei mir:
> Imaginärteil: [mm]2ab=0[/mm]
> Realteil: [mm]a^2-b^2+\sqrt{a^2+b^2}=0[/mm]
> und wie mach ich jetzt weiter??
Schau dir mal den Imaginärteil an: Wann ist denn ein Produkt zweier Zahlen Null? Offensichtlich wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
Betrachte also die Fälle:
i) a=0, [mm] b\not=0
[/mm]
ii) [mm] a\not=0, [/mm] b=0
iii) a=0, b=0 (trivialer Fall)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 06.11.2013 | | Autor: | Frisco |
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Danke für deinen Tipp, ich rechne es hier mal runter und vielleicht kannst du es mir ja korrigieren?!
1.)[mm]a=0, b \neq 0: [/mm] einsetzen in Realteil folgt: [mm]-b^2+\sqrt{b^2}=0[/mm] [mm]\Rightarrow -b^2+b=0 \Rightarrow b(-b+1)=0 \Rightarrow b=1[/mm] also ist die erste Lösung [mm]z_1=i[/mm]
2.)[mm]a \neq 0, b = 0[/mm]: einsetzen in Reatiel folgt: [mm]a^2+\sqrt{a^2}=0 \Rightarrow a^2+a=0 \Rightarrow a(a+1)=0 \Rightarrow a=-1[/mm], also ist die Lösung [mm]z_2=-1[/mm]
und die triviale Lösung [mm]z_3=0[/mm] für [mm]a=b=0[/mm]
Stimmt das so??
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Hallo Frisco,
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> Danke für deinen Tipp, ich rechne es hier mal runter und
> vielleicht kannst du es mir ja korrigieren?!
> 1.)[mm]a=0, b \neq 0:[/mm] einsetzen in Realteil folgt:
> [mm]-b^2+\sqrt{b^2}=0[/mm] [mm]\Rightarrow -b^2+b=0 \Rightarrow b(-b+1)=0 \Rightarrow b=1[/mm]
> also ist die erste Lösung [mm]z_1=i[/mm]
Hier gibt es noch eine zweite Lösung.
> 2.)[mm]a \neq 0, b = 0[/mm]: einsetzen in Reatiel folgt:
> [mm]a^2+\sqrt{a^2}=0 \Rightarrow a^2+a=0 \Rightarrow a(a+1)=0 \Rightarrow a=-1[/mm],
> also ist die Lösung [mm]z_2=-1[/mm]
[mm]z_2=-1[/mm] ist keine Lösung.
> und die triviale Lösung [mm]z_3=0[/mm] für [mm]a=b=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das so??
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 06.11.2013 | | Autor: | Frisco |
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Leider verstehe ich nicht wieso [mm]z_2=-1[/mm] keine Lösung ist, kannst du mir da einen Tipp geben??
bei [mm]z_1=i[/mm]:
Ja klar gäbe es da noch eine zweite Lösung [mm]b=0[/mm], aber die wurde doch am anfang schon ausgeschlossen?!
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Hallo Frisco,
> Leider verstehe ich nicht wieso [mm]z_2=-1[/mm] keine Lösung ist,
> kannst du mir da einen Tipp geben??
Rechne doch mal nach: [mm] (-1)^2+|(-1)|=\?
[/mm]
> bei [mm]z_1=i[/mm]:
> Ja klar gäbe es da noch eine zweite Lösung [mm]b=0[/mm], aber die
> wurde doch am anfang schon ausgeschlossen?!
Die ist auch nicht gemeint. Kleiner Tipp: [mm] \wurzel{b^2}=|b|.
[/mm]
Das schreit nach einer weiteren kleinen Fallunterscheidung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mi 06.11.2013 | | Autor: | Frisco |
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Oh danke ich hab das übersehen, klar dann ist [mm] b= \pm 1[/mm] die Lösung.
Wie sieht es dann aber mit dem Fall [mm]a \neq 0 , b=0[/mm] aus?
Ich habe doch keinen Rechenfehler gemacht weiter oben?! Wo ist da mein Denkfehler?
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Hallo Frisco,
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> Oh danke ich hab das übersehen, klar dann ist [mm]b= \pm 1[/mm]
> die Lösung.
> Wie sieht es dann aber mit dem Fall [mm]a \neq 0 , b=0[/mm] aus?
> Ich habe doch keinen Rechenfehler gemacht weiter oben?! Wo
> ist da mein Denkfehler?
Unter der Voraussetzung, daß [mm]a \ge 0[/mm] ist,gilt:
[mm]\wurzel{a^{2}}=+a[/mm]
Damit ergeben sich die Lösungen a=0 und a=.-1.
Unter der genannten Voraussetzung ist a=-1 keine Lösung.
Gruss
MathePower
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