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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Gleichung lösen
Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gleichung lösen: in den komplexen Zahlen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Di 26.02.2008
Autor: Kreide

Aufgabe
[mm] z^4\overline{z}+3z²-4=0 z\in \IC [/mm]

[mm] (x+iy)^3(x-iy)+3(x+iy)²-4=0 [/mm]
(x+iy)²(x+iy)(x-iy)+3(x+iy)²-4=0
(x²+2xyi-y²)(x²+y²)+3x²+6xyi-3y²-4=0
[mm] x^{4}+2x^3yi-y²x²+x²y²+2xy^3i-y^4+3x²+6xyi-3y²-4=0 [/mm]
[mm] x^{4}+2x^3yi+2xy^3i-y^4+3x²+6xyi-3y²-4=0 [/mm]

Aufteilen in Imaginär und realteil:

Real:
[mm] x^4+3x³-y^4-3y²-4=0 [/mm]

Imaginär:
[mm] 2x^{3}y+2xy^{3}+6xy=0 [/mm]
xy(2x²+2y²+6)=0
[mm] \Rightarrow [/mm]
1)x=0 oder
2)y=0 oder
3)2x²+2y²+6=0 (bzw [mm] x=\wurzel{-3-y²}) [/mm]
-------------------
das x jeweils in den realteil einsetzen und dann nach y umformen:
zu1)
[mm] -y^4-3y²-4=0 [/mm]
y²(-y²-3)=4
BESITZT KEINE RELLEN LÖSUNGEN

zu 2)
[mm] x^4+3x²-4=0 [/mm]
BESITZT KEINE RELLEN LÖSUNGEN

zu 3)
[mm] (-3-y)²+3(-3-y²)-y^4-3y²-4=0 [/mm]
[mm] 9+6y²+y^4-9-3y²-y^4-3y²-4=0 [/mm]
-4=0
FALSCHE AUSSAGE

[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt keine Lösung...

das kann aber nicht sein, aber ich sehe nicht, was ich falsch gemacht hab... :(




        
Bezug
Gleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:37 Di 26.02.2008
Autor: Kreide

hab grad nen tippfehler entdeckt in der aufgabenstellung....

da soll keine 4 sondern eine 3 stehen

Bezug
        
Bezug
Gleichung lösen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Di 26.02.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Kreide!


> [mm](x+iy)^3(x-iy)+3(x+iy)²-4=0[/mm]
> (x+iy)²(x+iy)(x-iy)+3(x+iy)²-4=0
> (x²+2xyi-y²)(x²+y²)+3x²+6xyi-3y²-4=0
> [mm]x^{4}+2x^3yi-y²x²+x²y²+2xy^3i-y^4+3x²+6xyi-3y²-4=0[/mm]
> [mm]x^{4}+2x^3yi+2xy^3i-y^4+3x²+6xyi-3y²-4=0[/mm]

[ok]

  

> Aufteilen in Imaginär und realteil:
>  
> Real:
> [mm]x^4+3x³-y^4-3y²-4=0[/mm]

[notok] Wohl Tippfehler: [mm] $$x^4+3*x^{\red{2}}-y^4-3*y^2-4 [/mm] \ = \ 0$$

  

> Imaginär:
> [mm]2x^{3}y+2xy^{3}+6xy=0[/mm]

[ok]


> xy(2x²+2y²+6)=0
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> 1)x=0 oder
> 2)y=0 oder
> 3)2x²+2y²+6=0 (bzw [mm]x=\wurzel{-3-y²})[/mm]

[ok]


> das x jeweils in den realteil einsetzen und dann nach y umformen:

[ok]


> zu1)
> [mm]-y^4-3y²-4=0[/mm]
> y²(-y²-3)=4
>  BESITZT KEINE RELLEN LÖSUNGEN

[ok]

  

> zu 2)
> [mm]x^4+3x²-4=0[/mm]
> BESITZT KEINE RELLEN LÖSUNGEN

[notok] Hier solltest Du nochmal nachrechnen. Ich erhalte: [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 1$ .

  

> zu 3)
> [mm](-3-y)²+3(-3-y²)-y^4-3y²-4=0[/mm]
> [mm]9+6y²+y^4-9-3y²-y^4-3y²-4=0[/mm]
>  -4=0

[ok]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Di 26.02.2008
Autor: Kreide

Danke für's nachschauen!!!!


> [notok] Wohl Tippfehler: [mm]x^4+3*x^{\red{2}}-y^4-3*y^2-4 \ = \ 0[/mm]
>  

ja war wohl nen tippfehler :)

> > zu 2)
>  > [mm]x^4+3x²-4=0[/mm]

>  > BESITZT KEINE RELLEN LÖSUNGEN

>  
> [notok] Hier solltest Du nochmal nachrechnen. Ich erhalte:
> [mm]x_{1/2} \ = \ \pm \ 1[/mm] .
>  

ja, hast recht...


die lösung wären dann also die Zahlenpaare (1,0) und (-1,0) stimmt's`?


Bezug
                        
Bezug
Gleichung lösen: stimmt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Di 26.02.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Kreide!


[daumenhoch] Das stimmt ...


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
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