Gleichung lösen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Do 21.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{n!}{(n-4)!} [/mm] - [mm] \bruch{12!}{(n-2)!} [/mm] = 0 |
Ich soll diese Gleichung lösen.
Aufgrund von (n-4)! kommen als Lösungen nur Zahlen n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 4 in Frage.
Zunächst bringe ich die Brüche auf einen Nenner:
[mm] \bruch{n!(n-2)!}{(n-4)!(n-2)!} [/mm] - [mm] \bruch{12!(n-4)!}{(n-2)!(n-4)!} [/mm] = 0
= [mm] \bruch{n!(n-2)!-12!(n-4)!}{(n-4)!(n-2)!}
[/mm]
Nun könnte ich noch das (n-2)! im Zähler expandieren um kürzen zu können:
= [mm] \bruch{n!(n-2)(n-3)(n-4)!-12!(n-4)!}{(n-4)!(n-2)!}
[/mm]
Also:
= [mm] \bruch{n!(n-2)(n-3)-12!}{(n-2)!}
[/mm]
Jetzt könnte ich noch den Bruch wieder Aufteilen und dann das n! expandieren:
Also:
[mm] \bruch{n(n-1)(n-2)!(n-2)(n-3)}{(n-2)!} [/mm] - [mm] \bruch{12!}{(n-2)!}
[/mm]
=n(n-1)(n-2)(n-3)- [mm] \bruch{12!}{(n-2)!}
[/mm]
Sofern das in irgendeiner Art und Weise sinnvoll war was ich hier gemacht habe, sehe ich spätestens jetzt nicht mehr wie es weiter geht.
|
|
| |
|
Hallo ganzir,
ich bin mir nicht sicher, ob meine Überlegungen stimmen, aber vielleicht helfen sie dir weiter:
1. Ich habe die linke Seite der Gleichung mal in einer Tabellenkalkulation eingegeben und für 4 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 20 durchrechnen lassen. Für größere n wird der Ausdruck immer größer und ich bekomme nie 0 heraus. Kann es also sein, dass es keine Lösung gibt?
2. Rechnerisch habe ich mir verschiedene Wege überlegt, die aber alle ähnlich verliefen:
[mm]\bruch{n!}{(n-4)!} - \bruch{12!}{(n-2)!} = 0[/mm] | + [mm] \bruch{12!}{(n-2)!}
[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{n!}{(n-4)!} = \bruch{12!}{(n-2)!} [/mm] | :n! *(n-2)! und kürzen
[mm]\Rightarrow (n-2)*(n-3) = \bruch{12!}{n!}[/mm]
Hier kann man direkt sehen, dass n <12 sein muss, weil links eine natürliche Zahl steht. Das heißt, dass auf der rechten Seite auf jeden Fall die 12 als Faktor in der Gesamtzahl steckt. (Also müssen links auch [mm] 2^{2} [/mm] und 3 als Primfaktoren stecken. Von den beiden Faktoren links ist aber einer gerade und einer ungerade, d.h. einer der beiden Faktoren muss die [mm] 2^{2} [/mm] enthalten. [mm] \Leftarrow [/mm] braucht man nicht mal.) Die 11 kann nicht als Faktor drin sein, denn wenn links eine der beiden Klammern die 11 als Faktor hätte, dann müsste n-2 [mm] \ge [/mm] 11 sein oder n-3 [mm] \ge [/mm] 11, was beides nicht sein kann, da n < 12 ist. Also darf auch rechts die 11 nicht als Faktor drin stecken, was bedeutet, dass die 11 herausgekürzt werden muss, also n=11 sein müsste. Dann steht dort allerdings 9*8 [mm] \ne [/mm] 12. Also gibt es keine Lösung.
Elegant ist anders - vielleicht probierst du aber mit den Ideen (Brüche aufsplitten, Primfaktoren betrachten usw.) noch ein wenig herum und findest eine schöne Lösung.
Gruß,
weightgainer
|
|
|
|
