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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:34 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | 2.1. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung:
[mm] (x+1/x)^2-12=x+1/x
[/mm]
Die Grundmenge ist die Menge der reellen Zahlen. |
Diese Aufgabe treibt mich in den Wahnsinn. Ich habe mindestens schon 15 Anläufe gehabt, aber ich schaffe es einfach nicht die Gleichung zu lösen. Definitionsmenge sind die Reellen zahlen ohne Null, da ja nichts durch Null geteilt werden darf.
Kann mir hier bitte Jemand helfen oder wenigstens einen Anstoss geben, ich weiss einfach nicht was ich falsch mache.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Dann poste doch wenigstens einen Deiner zahlreichen Ansätze. so können wir Dir natürlich nicht sagen, was Du evtl. falsch machst.
Der Definitionsbereich scheint korrekt.
Meinst Du hier eigentlich:
[mm] $$\left(x+\bruch{1}{x}\right)^2-12 [/mm] \ = \ [mm] x+\bruch{1}{x}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\left(\bruch{x+1}{x}\right)^2-12 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+1}{x}$$
[/mm]
Oder noch etwas anderes?
Löse zunächst die Klammer auf und multipliziere die Gleichung anschließend mit dem Hauptnenner [mm] $x^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
die erste Gleichung ist gemeint und das mit [mm] x^2 [/mm] habe ich auch durchgeführt. Aber Danke ich probiers nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> die erste Gleichung ist gemeint und das mit [mm]x^2[/mm] habe ich
> auch durchgeführt. Aber Danke ich probiers nochmal
es ist also
$$ [mm] \left(x+\bruch{1}{x}\right)^2-12 [/mm] \ = \ [mm] x+\bruch{1}{x}$$
[/mm]
nach [mm] $x\,$ [/mm] aufzulösen. Neben Loddars (selbstverständlich korrektem) Tipp kann man hier auch erstmal ein wenig anders vorgehen:
Substituiert man [mm] $y:=x+\frac{1}{x}\,,$ [/mm] so ist
$$ [mm] \left(x+\bruch{1}{x}\right)^2-12 [/mm] \ = \ [mm] x+\bruch{1}{x}$$
[/mm]
äquivalent zu
[mm] $$y^2-12=y$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$y^2-y-12=0\,.$$
[/mm]
Damit erhälst Du zwei Lösungen in der Variablen [mm] $y\,,$ [/mm] und weiter geht's mit der Resubstitution [mm] $y=x+\frac{1}{x}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:29 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Wenn Du bei
$$ [mm] \left(x+\bruch{1}{x}\right)^2-12 [/mm] \ = \ [mm] x+\bruch{1}{x}$$
[/mm]
zunächst ausmultiplizierst und mit dem Hauptnenner [mm] ($x^2$) [/mm] durchmultiplizierst, wird es evtl. unschön:
[mm] $$(\star)\;\;\;x^4-x^3-10x^2-x+1=0$$
[/mm]
wäre dann die zu lösende Gleichung. Eine "schöne Substitution" erscheint mir bzgl. [mm] $(\star)$ [/mm] nicht mehr ersichtlich (wenn Du in die von mir oben vorgeschlagene Substitution guckst, kommst Du vll. auch hier auf eine Idee, welche Substiution denn sinnvoll bzw. gehbar wäre). Generell, wenn man eine Gleichung der Art [mm] $(\star)$ [/mm] zu lösen hätte und keine Substitution erkennt, kann man versuchen, zwei Lösungen von [mm] $(\star)$ [/mm] zu "raten" und dann weiter mit Polynomdivision zu verfahren. Aber hier ist das nicht sinnvoll... also substituiere lieber sofort [mm] $y=x+\frac{1}{x}$ [/mm] in der Ausgangsgleichung und verfahre so, wie ich in der obigen Antwort vorgeschlagen habe.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Vielen Dank, habs jetzt geschafft.
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