Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 So 10.02.2013 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle Wurzeln (Lösungen) der Gleichung [mm] z^4=8(1-i*\wurzel{3}). [/mm] |
[mm] z^4=8(1-i*\wurzel{3})=16(1/2-i*(\wurzel{3}/2)
[/mm]
In der MuLö wird dann im nächsten Schritt folgendes gemacht:
[mm] z^4=16e^{-i*\pi/3}
[/mm]
Wie kommt man auf diesen Schritt, ich dann das beim besten Willen nicht nachvollziehen.
LG
Amicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 10.02.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Bestimmen sie alle Wurzeln (Lösungen) der Gleichung
> [mm]z^4=8(1-i*\wurzel{3}).[/mm]
> [mm]z^4=8(1-i*\wurzel{3})=16(1/2-i*(\wurzel{3}/2)[/mm]
>
> In der MuLö wird dann im nächsten Schritt folgendes
> gemacht:
>
> [mm]z^4=16e^{-i*\pi/3}[/mm]
>
> Wie kommt man auf diesen Schritt, ich dann das beim besten
> Willen nicht nachvollziehen.
die komplexe Zahl wurde in ihre Polarform überführt. Wie das funktioniert findest Du im Skript oder Buch. Ist aber auch ganz intuitiv verständlch, wenn man in der komplexen Zahlenebene Polarkoordinaten einführt.
>
> LG
> Amicus
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 10.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Amicus,
weisst Du, wie der nächste Schritt geht (dem Auflösen nach z)?
Wenn nicht, so kann ich Dir sagen, dass Du zuerst die vier vierten
Einheitswurzeln bestimmen musst [mm] $(\exp(\frac{2\cdot\pi\cdot i\cdot j}{4}))$, [/mm] als da wären $1, i, -1$ und $-i$.
Die vierte Wurzel aus 16 ist 2 und die vierte Wurzel
aus [mm] \exp(\frac{-i\cdot \pi}{3}) [/mm] ist [mm] \exp(\frac{-i\cdot \pi}{12}) $\Rightarrow$ [/mm] Daraus erhältst Du dann
für z.B. die vierte Einheitswurzel : [mm] $-2\cdot i\cdot \exp(\frac{-i\cdot \pi}{12}))$
[/mm]
Gruß
Kai
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