Gleichung lösen, DGL, Integral < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Do 09.12.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung [mm] \integral_{0}^{1}{y(tx)dt}=\bruch{1}{2}y(x).
[/mm]
Hinweis: y genügt einer DGL erster Ordnung |
Also ich habe mir überlegt, dass man beide Seiten diffenrenzieren könnte damit man irgendwie auf eine Gleichung der Form y'...=y.... kommt, aber ich weiß nicht wie ich das machen soll?
Dann habe ich einfach mal rumprobiert und für y(tx) t*x, damit wäre y(x)=x, oder) eingesetz und das Integral ausgerechnet und komme auf [mm] \bruch{1}{2}x, [/mm] damit wäre die Gleichung schon gelöst, oder?
Ich weiß leider nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll?
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die Gleichung
> [mm]\integral_{0}^{1}{y(tx)dt}=\bruch{1}{2}y(x).[/mm]
> Hinweis: y genügt einer DGL erster Ordnung
> Also ich habe mir überlegt, dass man beide Seiten
> diffenrenzieren könnte damit man irgendwie auf eine
> Gleichung der Form y'...=y.... kommt, aber ich weiß nicht
> wie ich das machen soll?
> Dann habe ich einfach mal rumprobiert und für y(tx) t*x,
> damit wäre y(x)=x, oder) eingesetz und das Integral
> ausgerechnet und komme auf [mm]\bruch{1}{2}x,[/mm] damit wäre die
> Gleichung schon gelöst, oder?
>
> Ich weiß leider nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen
> soll?
Substituiere beim Integral [mm] \integral_{0}^{1}{y(tx)dt} [/mm] mal z=tx
und denke an: [mm] $(\integral_{a}^{x}{f(z) dz})' [/mm] = f(x)$
FRED
> DANKE
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Hallo!
Ich muss auch diese Aufgabe bearbeiten und habe deine Ideen mal angewendet.
Substitution z=tx => [mm] dt=\bruch{dz}{x}, [/mm] zudem muss man integralgrenzen mitsubstituieren, also z(0)=0 und z(1)=x
[mm] \bruch{1}{x}\integral_{0}^{x}{y(z) dz}=\bruch{1}{2}y(x)
[/mm]
=> [mm] \bruch{1}{x}y(x)=\bruch{1}{2}y'(x)
[/mm]
Das ist eine homogene Dgl, die man lösen kann. Daraus bekomme ich letztendlich
y(x)=x^2d [mm] [d\in\IR]
[/mm]
Mit y(1)=1 => [mm] y(x)=x^2
[/mm]
So, hab y(x) mal in die erste Gleichung eingesetzt und dann haben beide Seiten übereingestimmt, jedoch macht mich stützig, dass man zum Beispiel auch y(x)=2x in die erste Gleichung einsetzen kann und dies ebenfalls stimmt(Das Ergebnis hatte ich zuerst raus, wo ich die Grenzen noch nicht mitsubstituiert hatte und ein wenig anders gerechnet)
Kann mir wer bei meinen Überlegungen mal helfen?
PS: Ist nicht y=1 auch eine (konstante) Lösung?
So wie die Aufgabe gestellt ist, muss man meiner Meinung nach alle Lösungen angeben. Da steht ja nur, dass man die Gleichung lösen soll und reicht es da nicht aus, eine Lösung anzugeben?
Vielen lieben Dank
TheBozz-mismo
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Hallo,
da muss man ein wenig besser aufpassen. [mm] x^{2} [/mm] ist übrigens keine Lösung, wie man beim Einsetzen schnell feststellt (links steht dann [mm] \bruch{1}{3}x^{2} [/mm] und rechts [mm] \bruch{1}{2}x^{2}).
[/mm]
Problem nach der Substitution:
[mm] \bruch{1}{x}\integral_{0}^{x}{y(z) dz}=\bruch{1}{2}y(x)
[/mm]
Jetzt willst du die Gleichung differenzieren - nach x.... und wo steht diese Varibale noch, außer rechts und im Integral? Richtig, VOR dem Integral steht noch ein verschämtes [mm] \bruch{1}{x}.
[/mm]
So wie es da steht, wäre die Ableitung doof, weil man wegen der Produktregel dann das Integral nicht wegbekommt. Also mit x multiplizieren und dann differenzieren:
[mm]y(x) = \bruch{1}{2}*(x*y(x))'[/mm]
[mm]y(x) = \bruch{1}{2}* \links(y(x) + x*y'(x)\rechts)[/mm]
Das ist dann also wieder "Standard", die DGL kann man recht einfach lösen und bekommt:
[mm]y(x) = c*x[/mm]
Das klappt dann auch beim Einsetzen.
[Anmerkung: Wenn man ohne Rechnen mal genau hinschaut, kann man die Lösung erahnen: rechts steht ein Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vor y(x) und links steht im wesentlichen auch y(x), multipliziert mit einem Integral über t. Das Integral von 0 bis 1 muss also praktisch den Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ergeben. Und das funktioniert eben bei einer Integration von t.
Das hab ich aber auch erst gesehen, nachdem ich das Ergebnis vor mir liegen hatte  ]
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mache auch diese aufgabe und hab das jetzt auch soweit alles verstanden aber beim lösen der DGL komme ich nicht auf y(x)=x*c
und jetzt wollte ich mal nachfragen wo hier mein fehler ist :
y(x) = [mm] \bruch{1}{2}\cdot{} \links(y(x) [/mm] + [mm] x\cdot{}y'(x)\rechts)
[/mm]
y(x)= [mm] \bruch{1}{2}y(x)+\bruch{1}{2}xy'(x)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}y(x)=\bruch{1}{2}xy'(x)
[/mm]
y(x)=xy'(x)
[mm] \bruch{y'(x)}{y(x)}=x
[/mm]
integrieren..
[mm] y(x)=\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
danke schonmal...
gruß,
kekschen
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> mache auch diese aufgabe und hab das jetzt auch soweit
> alles verstanden aber beim lösen der DGL komme ich nicht
> auf y(x)=x*c
> und jetzt wollte ich mal nachfragen wo hier mein fehler
> ist :
>
> y(x) = [mm]\bruch{1}{2}\cdot{} \links(y(x)[/mm] +
> [mm]x\cdot{}y'(x)\rechts)[/mm]
>
> y(x)= [mm]\bruch{1}{2}y(x)+\bruch{1}{2}xy'(x)[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}y(x)=\bruch{1}{2}xy'(x)[/mm]
> y(x)=xy'(x)
> [mm]\bruch{y'(x)}{y(x)}=x[/mm]
aus y' wird dy/dx, danach TdV
> integrieren..
> [mm]y(x)=\bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
> danke schonmal...
> gruß,
> kekschen
gruß tee
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oh stimmt! jetzt hab ichs auch gesehen! Danke!!
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