Gleichung lösen im Komplexen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:06 Di 18.05.2010 | | Autor: | jumper |
| Aufgabe | | Lösen Sie die folgenden Gleichungen in der Menge [mm] \IC [/mm] |
Hallo
Mir fehlt absolut der ansatz! hab bis jetzt nur Aufgaben mit Potenzen zweiten grades gelöst!
Gruß jumper
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Di 18.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jumper!
Wenn Du uns auch die "folgenden Gleichungen" verrätst, können wir bestimmt auch über die Lösung derer reden ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Di 18.05.2010 | | Autor: | jumper |
Sorry!
Hier die Gleichung die in der Menge [mm] \IC [/mm] gelöst werden soll:
[mm] z^4+1=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Di 18.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jumper!
Zerlege hier gemäß binomischer Formel:
[mm] $$z^4 [/mm] +1 \ = \ 0$$
[mm] $$z^4-(-1) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$z^4-i^2 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$\left(z^2+i\right)*\left(z^2-i\right) [/mm] \ = \ 0$$
Kommst Du damit nun weiter? Denn nun sind es "nur" noch quadratische Gleichungen, die es zu lösen gilt.
Alternativ kannst Du hier auch gleich mit der  Moivre-Formel vorgehen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:39 Di 18.05.2010 | | Autor: | jumper |
Ich komme leider nicht drauf!
Über weitere hilfe wäre ich dankbar!
ich habe schon mal eine Funktion der form [mm] ax^2+bx+c [/mm] alle lösungen der Menge [mm] \IC [/mm] bestimmt!Dies hilft mir gerade jedoch nicht weiter!
|
|
|
| |
|
Hallo Jumper,
> Ich komme leider nicht drauf!
Wieso nicht?
> Über weitere hilfe wäre ich dankbar!
>
> ich habe schon mal eine Funktion der form [mm]ax^2+bx+c[/mm] alle
> lösungen der Menge [mm]\IC[/mm] bestimmt!Dies hilft mir gerade
> jedoch nicht weiter!
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wir sind in einem Körper [mm] ($\IC$), [/mm] also ist [mm] $(z^2+i)(z^2-i)=0\gdw z^2+i=0 [/mm] \ [mm] \text{oder} [/mm] \ [mm] z^2-i=0$
[/mm]
Untersuche getrennt - mit dem was du oben sagst, hast du hier speziell:
$a=1, b=0, [mm] c=\pm [/mm] i$
Gruß
schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 19.05.2010 | | Autor: | jumper |
Sommit ist die Lösung z1=i
und z2=-i
Richtig????
Das Verfahren gibt es doch auch im [mm] \IR [/mm] oder?
Wie nennt sich dieses Verfahren?
[mm] (x^2+1)*(x^2-1)=0
[/mm]
-->
[mm] (x^2+1)=0--->x=-1
[/mm]
[mm] x^2-1)=0--->x=+1
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jumper!
> Sommit ist die Lösung z1=i und z2=-i
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber in [mm] $\IC$ [/mm] gibt es hier 4 Lösungen!
> Das Verfahren gibt es doch auch im [mm]\IR[/mm] oder?
> Wie nennt sich dieses Verfahren?
Prinzip des Nullproduktes
> [mm](x^2+1)*(x^2-1)=0[/mm] -->
> [mm](x^2+1)=0--->x=-1[/mm]
Das ist falsch!!! Diese Teilgleichung hat keine reellen Lösungen.
> [mm]x^2-1)=0--->x=+1[/mm]
Und hier fehlt noch eine reelle Lösung.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mi 19.05.2010 | | Autor: | jumper |
Ich weiß zwar das es sehr simpel ist, aber ich komme leider nicht auf die Lösungen sowohl bei der Aufage im [mm] \IC [/mm] als auch der Aufgabe im [mm] \IR
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Ich weiß zwar das es sehr simpel ist, aber ich komme
> leider nicht auf die Lösungen sowohl bei der Aufage im [mm]\IC[/mm]
> als auch der Aufgabe im [mm]\IR[/mm]
Hallo,
es sollten doch alle Lösungen der Gleichung [mm] z^4+1=0 [/mm] ermittelt werden, und zwar in [mm] \IC.
[/mm]
Wenden wir uns aber zunächst den Lösungen in [mm] \IR [/mm] zu:
es gibt keine! [mm] z^4 [/mm] ist doch immer [mm] \ge [/mm] 0, also ist [mm] z^4+1\ge [/mm] 1.
Das Problem ist also abgehakt.
Gehen wir nun in die komplexen Zahlen.
Meiner Erinnerung nach war die Sache mindestens so weit gediehen, daß dastand
[mm] z^4+1=0
[/mm]
<==>
[mm] (z^2-i)*(z^2+i)=0.
[/mm]
Der Satz vom Nullprodukt sagt:
[mm] (\*) [/mm] es muß also [mm] z^2-i=0 [/mm] oder [mm] z^2+i=0 [/mm] gelten.
Um die Lösungen von [mm] z^4+1=0 [/mm] zu finden, sind also diese beiden Gleichungen zu lösen.
Leider gibt es wenig Lösungsansatz von Dir zu sehen, so daß mir nicht ganz klar ist, was in der Vorlesung dran war und was nicht.
Ganz sicher weißt Du, daß man jede Komplexe Zahl z schreiben kann als x+iy mit [mm] x,y\in \IR.
[/mm]
Es sei also z:=x+iy mit [mm] x,y\in \IR.
[/mm]
Die beiden Gleichungen bei [mm] (\*) [/mm] gehen damit über in
[mm] (x+iy)^2-i=0 [/mm] und [mm] (x+iy)^2+i=0.
[/mm]
Löse die Klammern auf, sortiere so, daß Du (...)+ (...)*i=0 dastehen hast.
Dies ist nur zu erfüllen, wenn beide Klammern =0 sind.
Für welche x,y dies der Fall ist, mußt Du dann ausrechnen.
---
Achso, mit "im [mm] \IR [/mm] " war wohl diese Gleichung gemeint:
$ [mm] (x^2+1)\cdot{}(x^2-1)=0 [/mm] $.
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, daß [mm] x^2+1=0 [/mm] oder [mm] x^2-1=0 [/mm] gelten muß.
Die erste dieser Gleichungen hat keine Lösung, für die zweite mußt Du Dir überlegen, welche reellen Zahlen quadriert 1 ergeben.
(Alternativ: bedenke, daß [mm] x^2-1=(x-1)*(x+1) [/mm] und wende den Satz vom Nullprodukt an.)
Wenn Du das hast, ist Deine Gleichung gelöst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:07 Mi 19.05.2010 | | Autor: | jumper |
Also ich hätte [mm] z^2+i=0 [/mm] und [mm] (z^2-i)=0 [/mm] jeweils mit der Mitternachtsformel bzw p/q formel gelöst und komme dann aber nur auf die Ergebnisse -i und +i
Ist das soweit ok? Komme ich auf die zwei weiteren Ergenisse auch mit der Mitternachtsformel?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jumper!
Wie schon mehrfach geschrieben: nein, das ist nicht okay soweit, da ja insgesamt 4 Lösungen gesucht sind. Und wenn man es ordentlich macht, erhält man diese 4 Lösungen auch mit der Mitternachtsformel.
Bitte rechne mal hier vor, was Du wie gerechnet hast.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:11 Mi 19.05.2010 | | Autor: | jumper |
[mm] z=0+\bruch{\wurzel{^-4*1*i}}{2*1}=
[/mm]
[mm] \bruch{-4*1*i}{4}
[/mm]
Kürzen(darf ich dass?)
=-i
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jumper!
Natürlich darf man in Brüchen auch kürzen ... aber: wo ist denn die Wurzel urplötzlich hin?
Gruß
Loddar
PS: bitte stelle Rückfragen auch als "Fragen" ein und nicht nur als "Mitteilung".
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Mi 19.05.2010 | | Autor: | jumper |
Unten und oben Quadriert!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Okay, das mit dem unten (man sagt dazu auch "Nenner") Quadrieren verstehe ich, um es unter die Wurzel ziehen zu können.
Aber nochmal: wo ist die Wurzel hin? Die kann doch nicht einfach so verschwinden!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 19.05.2010 | | Autor: | jumper |
Wenn ich doch den zähler und den nenner Quadriere wird aus der 2 im Nenner eine 4 und im Zähler verschwindet die Wurzel!
Gruß Jumper (am verzweifeln )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jumper!
Und warum "darfst" Du einfach so Quadrieren? Damit veränderst Du doch den Wert des Termes!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 19.05.2010 | | Autor: | jumper |
Die Wurzel bezieht sich doch nur auf den Zähler!oder?
ich habe doch nichts anders gemacht wie z.B. hier
[mm] \bruch{\wurzel{9}}{3}=1 [/mm] //Zähler und Nenner quadrieren!
9/9=1
|
|
|
| |
|
> Die Wurzel bezieht sich doch nur auf den Zähler!oder?
>
> ich habe doch nichts anders gemacht wie z.B. hier
>
> [mm]\bruch{\wurzel{9}}{3}=1[/mm] //Zähler und Nenner
> quadrieren!
Hallo,
wenn Du [mm] \bruch{\wurzel{9}}{3} [/mm] umformen möchtest zu 1, dann wird nichts quadriert.
Entweder rechnest Du [mm] \bruch{\wurzel{9}}{3}=\bruch{3}{3}=1,
[/mm]
oder meinetwegen auch
[mm] \bruch{\wurzel{9}}{3}=\bruch{\wurzel{9}}{\wurzel{9}}=\wurzel{\bruch{9}{9}}=\wurzel{1}=1.
[/mm]
Nun zu der Gleichung, um die es hier geht.
Du hattest geschreiben:
> $ [mm] z=0+\bruch{\wurzel{^-4\cdot{}1\cdot{}i}}{2\cdot{}1}= \bruch{-4\cdot{}1\cdot{}i}{4} [/mm] $.
Das ist falsch.
Richtig wäre:
[mm] $z=\bruch{\wurzel{^-4\cdot{}1\cdot{}i}}{2\cdot{}1}= \bruch{\wurzel{^-4\cdot{}1\cdot{}i}}{\wurzel{4}}=\wurzel{\bruch{-4i}{4}}=\wurzel{-i}.
[/mm]
An dieser Stelle muß man nun darüber nachdenken, was [mm] z=\wurzel{-i} [/mm] ist.
Es ist die (oder sind's gar mehrere...) komplexe Zahl z=x+iy, mit [mm] x,y\in \IR, [/mm] welche quadriert -i ergibt.
Also ist [mm] (x+iy)^2= [/mm] -i
<==>
[mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] + i( 1+2xy)=0
Hieraus ergibt sich wieder ähnlich wie von mir heute schonmal beschrieben ein Gleichungssystem, nämlich
[mm] x^2-y^2=0
[/mm]
1+2xy=0,
welches zu lösen ist.
Man könnte an [mm] z=\wurzel{-i} [/mm] auch noch anders herangehen, ich habe das angeregt, wofür man eine Minimalausstattung an Kenntnissen benötigt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
keine beantworteten Fragen kommentarlos auf "nicht beantwortet" umstellen!
Wir erwarten, daß Du Dich eingehend mit den Antworten beschäftigst und bei Rückfragen Dich konkret (!) darauf beziehst, uns also sagst, wie weit Du folgen kannst und was Du weshalb nicht verstehst.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
