Gleichung lokal x,y auflösen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für welche Punkte (x,y) lässt sich die Gleichung [mm] (x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2) [/mm] lokal nach x bzw nach y auflösen? |
Hallo,
[mm] f(x,y)=(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)
[/mm]
[mm] f(x,y)=x^4+2x^2y^2+y^4=2x^2-2y^2
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = [mm] 4x^2y+4y^3+4y=0
[/mm]
[mm] 4y(x^2+y^2+4)=0
[/mm]
y=0
Für y=0
x=0 oder [mm] x=\wurzel{2},-\wurzel{2}
[/mm]
überall lokal nach y-Auflösbar außer in (0,0) [mm] (+-\wurzel{2},0)
[/mm]
nach x:
[mm] \bruch{df}{dx} 4x^3+4xy^2-4x=0
[/mm]
[mm] 4x(x^2+y^2-1)=0
[/mm]
1.Fall x=0
[mm] y^4=-2y^2
[/mm]
[mm] y^4+2y^2=0
[/mm]
y=0
2.Fall [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
[mm] 1=2(x^2-y^2)
[/mm]
[mm] 1=2(1-y^2-y^2)
[/mm]
[mm] 1=2(-2y^2+1)
[/mm]
[mm] y=+-{\bruch{1}{2}}
[/mm]
überall lokal nach x-Auflösbar außer in (0,0) [mm] (+-\wurzel{{\bruch{3}{2}}},{\bruch{1}{2}})
[/mm]
ist das richtig?
Lg
|
|
| |
|
Hallo ellegance,
> Für welche Punkte (x,y) lässt sich die Gleichung
> [mm](x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)[/mm] lokal nach x bzw nach y auflösen?
> Hallo,
>
> [mm]f(x,y)=(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)[/mm]
> [mm]f(x,y)=x^4+2x^2y^2+y^4=2x^2-2y^2[/mm]
???
[mm] $f(x,y):=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$
[/mm]
Nun [mm] $\nabla [/mm] f(x,y)$ bestimmen und schauen, für welche $(x,y)$ dieser [mm] $\neq\vektor{0\\0}$ [/mm] ist ...
>
> [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = [mm]4x^2y+4y^3+4y=0[/mm]
>
> [mm]4y(x^2+y^2+4)=0[/mm]
> y=0
>
> Für y=0
> x=0 oder [mm]x=\wurzel{2},-\wurzel{2}[/mm]
> überall lokal nach y-Auflösbar außer in (0,0)
> [mm](+-\wurzel{2},0)[/mm]
>
> nach x:
>
> [mm]\bruch{df}{dx} 4x^3+4xy^2-4x=0[/mm]
> [mm]4x(x^2+y^2-1)=0[/mm]
>
> 1.Fall x=0
> [mm]y^4=-2y^2[/mm]
> [mm]y^4+2y^2=0[/mm]
> y=0
>
> 2.Fall [mm]x^2+y^2=1[/mm]
>
> [mm]1=2(x^2-y^2)[/mm]
> [mm]1=2(1-y^2-y^2)[/mm]
> [mm]1=2(-2y^2+1)[/mm]
>
> [mm]y=+-{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> überall lokal nach x-Auflösbar außer in (0,0)
> [mm](+-\wurzel{{\bruch{3}{2}}},{\bruch{1}{2}})[/mm]
>
>
> ist das richtig?
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ich habe mal jetzt eine Frage es kann doch nicht sein, dass das komplett falsch ist? so hat der Übungsleiter es gemacht bei der gleichen Aufgabe mit anderen Zahlen. ich habe es analog 1 zu 1 so übernommen.
nun bin ich verwirrt? egal welche Aufgabe er gemacht hat ist falsch sei es diese hier oder die mit dem Integral vorher.
Lg,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mo 22.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Für welche Punkte (x,y) lässt sich die Gleichung
> [mm](x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)[/mm] lokal nach x bzw nach y auflösen?
> Hallo,
>
> [mm]f(x,y)=(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)[/mm]
> [mm]f(x,y)=x^4+2x^2y^2+y^4=2x^2-2y^2[/mm]
so kann man f(x,y) nicht schreiben!
aber diese f(x,y hat du ja auch nicht abgeleitet sonderm
[mm]f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)[/mm]
> [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = [mm]4x^2y+4y^3+4y=0[/mm]
>
> [mm]4y(x^2+y^2+4)=0[/mm]
> y=0
>
> Für y=0
> x=0 oder [mm]x=\wurzel{2},-\wurzel{2}[/mm]
> überall lokal nach y-Auflösbar außer in (0,0)
> [mm](+-\wurzel{2},0)[/mm]
richtig, besser die P punkte angeben
> nach x:
>
> [mm]\bruch{df}{dx} 4x^3+4xy^2-4x=0[/mm]
> [mm]4x(x^2+y^2-1)=0[/mm]
>
> 1.Fall x=0
> [mm]y^4=-2y^2[/mm]
> [mm]y^4+2y^2=0[/mm]
> y=0
>
richtig
> 2.Fall [mm]x^2+y^2=1[/mm]
>
> [mm]1=2(x^2-y^2)[/mm]
> [mm]1=2(1-y^2-y^2)[/mm]
> [mm]1=2(-2y^2+1)[/mm]
>
> [mm]y=+-{\bruch{1}{2}}[/mm]
das ist falsch , das ist [mm] y^2 [/mm] nicht y
aber sonst richtig.
>
> überall lokal nach x-Auflösbar außer in (0,0)
> [mm](+-\wurzel{{\bruch{3}{2}}},{\bruch{1}{2}})[/mm]
wieder die schlechte Schreiberise mit +- und y falsch.
Gruss leduart
|
|
|
|
