Gleichung mit komplexer Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Finden sie alle Lösungen der folgenden Gleichung (ohne Verwendung von Gleitkommazahlen):
[mm] 2x^2 [/mm] + jx - 3 = 0 |
Hallo da draussen!
Ich gruebele gerade an Aufgaben bezgl. komplexer Zahlen. Ich muss dazu sagen, dass ich das Thema vorher nie behandelt habe.
Leider habe ich keine Ahnung, wie man an eine solche Aufgabe rangeht. Was ich mir dachte, war es, die p-q-Formel anzuwenden, womit ich dann auf Folgendes komme:
[mm] x^2+\bruch{jx}{2}-\bruch{3}{2}=0
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{4}j\pm\wurzel{(\bruch{\bruch{-j}{2}}{2})^2+\bruch{3}{2}} [/mm] (Die ^2 gilt hier fuer den gesamten mittleren Bruch, bekomme das mit den Klammern allerdings nicht so hin)
[mm] -\bruch{1}{4}j\pm\wurzel{\bruch{1}{16}+\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x1 = [mm] \wurzel{\bruch{25}{16}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}j
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x2 = [mm] -\wurzel{\bruch{25}{16}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}j
[/mm]
Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob man eine solche Aufgabe ueberhaupt auf diese Art loesen kann und wenn nein, wie man es machen wuerde.
Waere um Hilfe dankbar.
Viele Gruesse,
Eumetazoa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mi 22.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Finden sie alle Lösungen der folgenden Gleichung (ohne
> Verwendung von Gleitkommazahlen):
> [mm]2x^2[/mm] + jx - 3 = 0
> Hallo da draussen!
>
> Ich gruebele gerade an Aufgaben bezgl. komplexer Zahlen.
> Ich muss dazu sagen, dass ich das Thema vorher nie
> behandelt habe.
> Leider habe ich keine Ahnung, wie man an eine solche
> Aufgabe rangeht. Was ich mir dachte, war es, die p-q-Formel
> anzuwenden, womit ich dann auf Folgendes komme:
>
> [mm]x^2+\bruch{jx}{2}-\bruch{3}{2}=0[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{4}j\pm\wurzel{(\bruch{\bruch{-j}{2}}{2})^2+\bruch{3}{2}}[/mm]
> (Die ^2 gilt hier fuer den gesamten mittleren Bruch,
> bekomme das mit den Klammern allerdings nicht so hin)
>
> [mm]-\bruch{1}{4}j\pm\wurzel{\bruch{1}{16}+\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x1 = [mm]\wurzel{\bruch{25}{16}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}j[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x2 = [mm]-\wurzel{\bruch{25}{16}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}j[/mm]
>
> Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob man eine solche
> Aufgabe ueberhaupt auf diese Art loesen kann und wenn nein,
> wie man es machen wuerde.
Kann man schon. Denke aber daran, dass [mm] j^2=-1 [/mm] gilt.
Ein anderer Ansatz wäre, dass du für z=x+iy ansetzt. Der auf der linken Seite entstehende Term wird Null, wenn sowohl sein Realteil als auch sein Imaginärteil Null sind.
Gruß Abakus
> Waere um Hilfe dankbar.
>
> Viele Gruesse,
> Eumetazoa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Vielen Dank fuer die schnelle Antwort, Abakus.
[mm] j^2 [/mm] habe ich auch gleich -1 gesetzt, das quadriert und dann als Ergebnis eben [mm] \bruch{1}{16} [/mm] herausbekommen.
Freut mich schonmal zu hoeren, dass der Loesungsweg so moeglich ist.
Allerdings ist mir noch nicht klar, wie ich hier mit der kartesischen Form arbeiten sollte und was ich genau "ansetzen" kann.
Den Bruch in die kartesische Forum zu ueberfuehren waere nicht das Problem, nur wie geht es dann weiter? Alle Realteile auf eine Seite ueberfuehren, die Imaginaerteile auf die andere und dann nach x aufloesen?
Viele Gruesse,
Eumetazoa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Eumatazao,
was abakus meinte, ist, dass Du mit Hilfe von z = x + iy die Gleichung umschreiben kannst in eine Gleichung, die sowohl Real- als auch Imaginärteil enthält. Da Du die Lösungen suchst, die Null ergeben und eine komplexe Null nichts weiter ist als 0 + j0, kannst Du Real- und Imaginärteil der Gleichung zu Null setzen und hast damit zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten x und y.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mi 22.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank fuer die schnelle Antwort, Abakus.
>
> [mm]j^2[/mm] habe ich auch gleich -1 gesetzt, das quadriert und dann
> als Ergebnis eben [mm]\bruch{1}{16}[/mm] herausbekommen.
> Freut mich schonmal zu hoeren, dass der Loesungsweg so
> moeglich ist.
Wieso denn nochmal Quadrieren? Der erste Summand unter der Wurzel muss -[mm]\bruch{1}{16}[/mm] sein.
>
> Allerdings ist mir noch nicht klar, wie ich hier mit der
> kartesischen Form arbeiten sollte und was ich genau
> "ansetzen" kann.
> Den Bruch in die kartesische Forum zu ueberfuehren waere
> nicht das Problem, nur wie geht es dann weiter? Alle
> Realteile auf eine Seite ueberfuehren, die Imaginaerteile
> auf die andere und dann nach x aufloesen?
>
> Viele Gruesse,
> Eumetazoa
|
|
|
| |
|
Du hast recht, es muss negativ sein.
Ich habe einen Fehler in meiner p-q-Formel gemacht und ein zweites neg. Vorzeichen hinzugefuegt!
Dann muesste das Ergebnis so aussehen, wenn ich mich nicht nochmal verrechnet habe:
[mm] \Rightarrow [/mm] x1 = [mm] \bruch{21}{16}j
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x2 = [mm] -\bruch{29}{16}j
[/mm]
Auch danke fuer deine Erklaerung, Infinit.
Ich werde dann ausprobieren, welcher Rechenweg sich bei dieser Aufgabe einfacher gestaltet.
Viele Gruesse,
Eumetazoa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Eumetasoa,
jetzt ist durch das teilweise Abarbeiten so einiges verloren gegangen.
Wie abakus bereits sagte, ist der erste Summand unter der Wurzel -1/16, so dass man auf die Wurzel aus 23/16 kommt, der Imaginärteil sind die -j/4 aus dem ersten Anteil der p,q-Formel.
Oder, etwas anders geschrieben:
$$ [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{j}{4} \pm \wurzel{\bruch{-1}{16} + \bruch{24}{16}} \, [/mm] . $$
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
