Gleichung mit ln lösen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
| Aufgabe | | [mm]x^{1+lgx} =10^{b}[/mm], wobei b Element R |
Ja, wie löse ich das Ding oben auf?
Amsatz:
[mm]ln (x^{1+lgx}) =ln (10^{b})[/mm]
[mm](1+lgx)*ln (x) =b* ln (10)[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sam_Nat,
> [mm]x^{1+lgx} =10^{b}[/mm], wobei b Element R
> Ja, wie löse ich das Ding oben auf?
>
> Amsatz:
>
> [mm]ln (x^{1+lgx}) =ln (10^{b})[/mm]
> [mm](1+lgx)*ln (x) =b* ln (10)[/mm]
>
In der Gleichung steht im Exponenten 1+lg(x).
Wende daher auf beide Seiten der Gleichung auch lg an.
Oder wende auf die erhaltene Gleichung, die Beziehung
[mm]\operatorname{lg}\left(x\right)=\bruch{\ln\left(x\right)}{\ln\left(10\right)}[/mm]
an.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Mhm, bei deiner zweiten Variante erhalte ich dann:
b= lgx*(1+lgx).
Wie lässt sich das denn sinnvoll zusammenfassung als als Lösungsmenge angeben?
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Hallo,
> Mhm, bei deiner zweiten Variante erhalte ich dann:
>
> b= lgx*(1+lgx). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie lässt sich das denn sinnvoll zusammenfassung als als
> Lösungsmenge angeben?
Da vereinfacht sich nix mehr ...
Wenn du die Lösung unbedingt als Lösungsmange angeben musst, dann etwa so:
[mm] $\mathbb{L}=\{\lg(x)\cdot{}(1+\lg(x))\}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallöchen,
danke für die Antwort!
Dann habe ich also alles richtig gemacht?
Wäre man mit der anderen, vorgeschlagenen Umformung auf das selbe Ergebnis gekommen?
Liebe Grüße, Sam
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Da fällt mir gerade auf (in der Aufgabe steht nichts dazu): ist es wirkllich sinnvoll nach b aufzulösen? Oder sollte man nicht eigentlich nach x auflösen.
(Für b gilt element der reellen zahlen)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
Die Aufgabenstellung (und damit die Variable, nach der aufgelöst werden soll) kennt hier wohl niemand besser als Du selbst.
Wenn Du nach $x_$ umstellen möchtest, solltest Du zunächst auf beiden Seiten der Gleichung den Zehner-Logarithmus [mm] $\lg$ [/mm] anwenden.
Anschließend dann $u \ := \ [mm] \lg(x)$ [/mm] substituieren, und Du erhältst eine quadratische Gleichung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 18.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo Loddar,
danke für die Hilfe, aber wann wende ich denn den lg an? Gleich am Anfang oder jetzt?!
Ich hatte es (ausgeklammert, falls das Sinn macht) nun so:
lnx + lg(x)*ln(x) = b * ln(10)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Di 18.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
Die Anwendung des Logarithmus ist der erste Schritt. Allerdings sollst Du hier den Zehner-Logarithmus (= dekadischer Logarithmus) anwenden und nicht den natürlichen Logarithmus.
Damit erhältst Du dann:
[mm] $$\left[1+\lg(x)\right]*\lg(x) [/mm] \ = \ b$$
Nun substituieren:
$$u \ := \ [mm] \lg(x)$$
[/mm]
Damit erhältst Du:
$$(1+u)*u \ = \ b$$
Nun diese quadratische Gleichung lösen (aber auch das hatte ich schon mal geschrieben ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") )
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
ich habe noch einmal zwei Fragen:
1. warum ist der log [mm] (10^b) [/mm] = b * log(10) = b ?!
(Wegen dem dekadischen, weil der ja zur Basis 10 ist?)
2. Wenn ich substituiere, erhalte ich dann in der Gleichung ja
[mm]-\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}+b}[/mm]
Nun weiß ich irgendwie gar nicht, wie ich das mit dem Rücksubstituieren anstellen soll, weil ich ja dann hätte:
[mm]u_{1}=lg(x_{1})=-\bruch{1}{2} + \wurzel{\bruch{1}{4}+b}[/mm]
Grüße, Sam
Kann man das noch weiter auflösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mi 19.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe noch einmal zwei Fragen:
>
> 1. warum ist der log [mm](10^b)[/mm] = b * log(10) = b ?!
> (Wegen dem dekadischen, weil der ja zur Basis 10 ist?)
Ja
> 2. Wenn ich substituiere, erhalte ich dann in der
> Gleichung ja
> [mm]-\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}+b}[/mm]
>
> Nun weiß ich irgendwie gar nicht, wie ich das mit dem
> Rücksubstituieren anstellen soll, weil ich ja dann
> hätte:
> [mm]u_{1}=lg(x_{1})=-\bruch{1}{2} + \wurzel{\bruch{1}{4}+b}[/mm]
>
> Grüße, Sam
>
> Kann man das noch weiter auflösen?
[mm] x_1 [/mm] = [mm] 10^{lg(x_1)}= 10^{-\bruch{1}{2} + \wurzel{\bruch{1}{4}+b}}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort. Ich nehme aber richtig an, dass es nicht noch weiter zu kürzen geht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mi 19.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Weiter vereinfachen kann man das nicht. Aber überlege mal, was für b gelten muss, damit man überhaupt Lösungen für u (und damit dann auch für x) erhält.
Es gilt ja:
[mm] (1+u)\cdot{}u=b
[/mm]
[mm] \gdw u^{2}+u-b=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] u_{1;2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+b}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Naja, auf jeden Fall kjann b nicht kleiner als 1/4 sein sonst geht das mit der Wurzel nich...
Nachfrage:
Ich habe ja aufgelöst, was u ist. U rücksubstitiuiert ist der lg x. Aber der lgx ist doch nicht gleich b, oder? Ich seh grad nicht durch, aber ist b nicht wenn shon, dann der lgx * (1+lgx), also müsste ich dann nicht quasi das 10^... schreiben?
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> Naja, auf jeden Fall kjann b nicht kleiner als 1/4 sein
> sonst geht das mit der Wurzel nich...
Hallo,
so ist es.
Für [mm] b<-\bruch{1}{4} [/mm] hat die Gleichung keine Lösung.
>
> Nachfrage:
> Ich habe ja aufgelöst, was u ist. U rücksubstitiuiert
> ist der lg x. Aber der lgx ist doch nicht gleich b, oder?
> Ich seh grad nicht durch, aber ist b nicht wenn shon, dann
> der lgx * (1+lgx), also müsste ich dann nicht quasi das
> 10^... schreiben?
Mannomann - ich hoffe, daß Du niemals Bedienungsanleitungen schreiben wirst,
ein Meister der klaren und verständlichen Darstellung scheinst Du nämlich nicht gerade zu sein...
Ich kapiere jedenfalls nicht, was Du willst, und das Wort "quasi" ist mir grundsätzlich verdächtig...
Lassen wir Revue passieren, was getan wurde:
Zu lösen war die Gleichung [mm] x^{1+log(x)}=10^b.
[/mm]
Logarithmieren ergab (1+log(x))*log(x)=b.
Du hattest substituiert u=log(x), und die sich ergebende Gleichung [mm] u^2+u=b [/mm] gelöst.
Ergebnis der Bemühungen: die Gleichung ist lösbar nur für [mm] b\ge -\bruch{1}{4}, [/mm] und die Lösungen sind
[mm] u_1=-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b} [/mm] und [mm] u_2=-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+b}.
[/mm]
Wir hatten substituiert u=log(x), müssen nun also zu unseren beiden Lösungen noch die zugehörigen x finden. (Rücksubstituieren)
Wir wissen [mm] log(x_1)=-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b} [/mm] und [mm] log(x_2)=-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+b},
[/mm]
also erhalten wir ( "10 hoch" rechnen!)
[mm] x_1=10^{-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b}} [/mm] und [mm] x_2=10^{-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+b}}.
[/mm]
Soweit der Stand der Dinge.
(Diese Zusammenstellung wäre eigentlich Deine Aufgabe gewesen...)
Vielleicht kannst Du jetzt nochmal Deine Frage stellen - falls es noch eine Frage ist.
Hast Du denn schonmal probiert, ob die beiden errechneten Lösungen die Gleichung wirklich lösen?
Es könnte ja auch sein, daß Dir die lustigen Helfer einen Bären aufgebunden haben...
Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo!
> Mannomann - ich hoffe, daß Du niemals
> Bedienungsanleitungen schreiben wirst,
> ein Meister der klaren und verständlichen Darstellung
> scheinst Du nämlich nicht gerade sein...
Ähm... ja :(
> Wir wissen [mm]log(x_1)=-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b}[/mm]
> und [mm]log(x_2)=-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+b},[/mm]
> also erhalten wir ( "10 hoch" rechnen!)
Ich glaube den Schritt verstehe ich nicht!
> [mm]x_1=10^{-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b}}[/mm] und
> [mm]x_2=10^{-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+b}}.[/mm]
Gut, du setzt damit aber einfach u=log(x)=b und das ist ein Sacherverhalt den ich nich ganz raffe!!!
Denn (und das schriebst du ja) u=logx und b=(1+u)u. Wie kann dann u=b sein und wie kannst du dann für [mm] 10^b [/mm] (Ausgangsgleichung) einfach [mm] 10^u [/mm] setzen. DAS ist meine Frage/Problem!
> Soweit der Stand der Dinge.
> (Diese Zusammenstellung wäre eigentlich Deine Aufgabe
> gewesen...)
Ich dachte (und bis obigem Schritt ist es ja auch so), dass ich den Rest verstanden habe. Dann muss ich ja nich alles kleinschritlich aufschreiben...
> Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser...
Willst du damit etwas andeuten? Ich habe noch nicht versucht irgendwas zu lösen, einfach weil ich für mich persönlich die Gleichung noch nich gelöst habe!
Grüße, Sam
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> > Wir wissen [mm]log(x_1)=-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b}[/mm]
> > und [mm]log(x_2)=-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+b},[/mm]
> > also erhalten wir ( "10 hoch" rechnen!)
> Ich glaube den Schritt verstehe ich nicht!
>
> > [mm]x_1=10^{-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b}}[/mm] und
> > [mm]x_2=10^{-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+b}}.[/mm]
> Gut, du setzt damit aber einfach u=log(x)=b und das ist
> ein Sacherverhalt den ich nich ganz raffe!!!
Hallo,
ich auch nicht...
Es wurde doch substituiert u=log(x).
Wo nimmst Du dieses "=b" her?
Es hat doch niemand gesagt, daß log(x)= b ist. Oder?
> Denn (und das schriebst du ja) u=logx und b=(1+u)u.
Ersteres ist die Substitution, und dann ersetze ich in der mir vorliegenden Gleichung (1+log(x))*log(x)= b jedes log(x) durch u.
> Wie
> kann dann u=b sein
Gar nicht.
> und wie kannst du dann für [mm]10^b[/mm]
> (Ausgangsgleichung) einfach [mm]10^u[/mm] setzen. DAS ist meine
> Frage/Problem!
Das hab' ich doch gar nicht getan.
Ich hatte eben den Ablauf doch nochmal zusammengefaßt.
Studier den nochmal genau.
> > Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser...
> Willst du damit etwas andeuten
Nö, das ist bloß eine der allgemeinen Weisheiten, die ich im Leben gesammelt habe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
> Wo nimmst Du dieses "=b" her?
> Es hat doch niemand gesagt, daß log(x)= b ist. Oder?
In der Ausgangsgleichung steht [mm] 10^b. [/mm] Das, was ich für u ermittelt habe, nänlich -1/2 plusminsu Wurzel usw. setzt du KOMPLETT so bei b ein!
Ich versuch jetzt mal zu sagen, was mein gedachtes Ergenis wäre:
b=(1+u)u
->
[mm]b=(1+lg(\bruch{-1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+b}))*(\bruch{-1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+b})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mi 19.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Wo nimmst Du dieses "=b" her?
> > Es hat doch niemand gesagt, daß log(x)= b ist. Oder?
> In der Ausgangsgleichung steht [mm]10^b.[/mm] Das, was ich für u
> ermittelt habe, nänlich -1/2 plusminsu Wurzel usw. setzt
> du KOMPLETT so bei b ein!
Unsinn !
> Ich versuch jetzt mal zu sagen, was mein gedachtes Ergenis
> wäre:
> b=(1+u)u
> ->
> [mm]b=(1+lg(\bruch{-1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+b}))*(\bruch{-1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+b})
[/mm]
Unsinn !
Von vorne:
gesucht ist x mit: (*) $ [mm] x^{1+lgx} =10^{b} [/mm] $
(Um es deutlich zu sagen: gesucht ist nicht b !! )
Mit der Substitution $u:= lgx$ bekamen wir:
[mm] $u_{1/2}= \bruch{-1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+b}$
[/mm]
Gie Gleichung (*) hat also die beiden Lösungen:
[mm] $x_1= 10^{u_1}$ [/mm] und [mm] $x_2= 10^{u_2}$
[/mm]
Fertig !
Machen wir die Probe:
[mm] $x_1^{1+lgx_1}= (10^{u_1})^{1+u_1}= 10^{u_1(1+u_1)}=10^b$
[/mm]
Bingo !!!
Mit [mm] x_2 [/mm] gehts genauso.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo!
> Gie Gleichung (*) hat also die beiden Lösungen:
> [mm]x_1= 10^{u_1}[/mm] und [mm]x_2= 10^{u_2}[/mm]
Könnte mir jemand bitte mal in naiver Weise erklären, WIESO ich mein x/u, wie auch immer in den Exponenten reinbekomme?
Also am Anfang steht da x^(1+lgx). Das x in der basis interessiert ja eigentlich nicht, weil ich das ja haben möchte. Also muss ich aber das ganze oben dran wegbekommen.
Wie mache ich das?
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Hallo, die Substitution war doch:
u:=lg(x)
[mm] 10^{u}=10^{lg(x)}
[/mm]
[mm] 10^{u}=x
[/mm]
somit [mm] x_1=10^{u_1} [/mm] und [mm] x_2=10^{u_2}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
danke für die Antwort.
Wenn du mir jetzt noch sagen würdest, wo das:
> [mm]10^{u}=10^{lg(x)}[/mm]
steht, ist mir geholfen. Bei mir steht da nach wie vor nur [mm] 10^b [/mm] und das ist ja wie gesagt nich [mm] 10^u.
[/mm]
Vielleicht versteht nun jemand mein Problem?
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Hallo, wir logarithmieren die gesamte Gleichung, weiterhin
[mm] a^{log_a(b)}=b
[/mm]
also
[mm] 10^{log_1_0(x)}=x
[/mm]
kurz geschrieben
[mm] 10^{lg(x)}=x
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo Steffi,
du bist wohl die erste, die mein Problem richtig versteht!
Daher schonmal danke für das Aufschreiben der Umformung. Aber ich verstehe immer noch nicht ganz, wie es dazu kommt.
Könntest du mir wohl die erste Zeile der Aufabe [mm] x^{1+lgx}=10^b [/mm] so umformen (also sicher nach x), dass mir das klar wird...?!
Wäre superlieb!
Sam
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Hallo,
also [mm] x^{1+lg(x)} [/mm] soll ja mal [mm] 10^{b} [/mm] sein, wir haben uns ja nicht verrechnet
kümmern wir uns zunächst um [mm] x_1
[/mm]
[mm] x_1^{1+lg(x_1)}
[/mm]
[mm] lg(x_1) [/mm] hatten wir Substitution gemacht da kommt [mm] u_1 [/mm] hin
[mm] x_1^{1+u_1}
[/mm]
weiterhin hatten wir [mm] 10^{u}=x [/mm] also für [mm] x_1 [/mm] bekommst du [mm] 10^{u_1}=x_1 [/mm] setze also für die Basis [mm] x_1 [/mm] den Term [mm] 10^{u_1} [/mm] ein
[mm] (10^{u_1})^{1+u_1}
[/mm]
wird eine Potenz potenziert, so werden die Exponenten multipliziert
[mm] 10^{u_1*(1+u_1)}
[/mm]
jetzt kümmern wir uns intensiv um den Exponenten
[mm] u_1*(1+u_1)=u_1+u_1^{2}
[/mm]
[mm] u_1=-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b}
[/mm]
also
[mm] u_1+u_1^{2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b}+(-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b})^{2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b}+\bruch{1}{4}-\wurzel{\bruch{1}{4}+b}+\bruch{1}{4}+b
[/mm]
=b
damit haben wir den Exponenten b, also die Probe für [mm] x_1 [/mm] gemacht
deine Lösungen sind also
[mm] x_1=10^{-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+b}}
[/mm]
[mm] x_2=10^{-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+b}}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo Steffi,
superlieb! Danke du bist ein Schatz.
Jetzt und so ausführlich beschrieben, kapierer auch ich es langsam!
Danke!!!!
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