Gleichung nach rechnen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Rechnen sie folgende Gleichung nach.
[mm]
1^2 = 1^3
(1+2)^2 = 1^3 + 2^3
(1+2+3)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3
(1+2+3+4)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3
[/mm]
(ii) Finden Sie das erste n [mm] \in \IN, [/mm] für das die Gleichung
[mm]
(1+2+3+4+ ... +n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... + n^3
[/mm]
nicht mehr gilt, oder beweisen Sie, dass ein solches n nicht existiert. |
Hey Leute,
aller Anfang ist schwer und ich häng mich gerade rein. Beim ersten denk ich mir er will einfach nur das ich ein paar mal die Gleichung fortführe aber was hat das für einen sinn? Mann kann seine dann ja einfach ergänzen mit 5 in der Klammer und 5² auf der reichten seite usw..
Beim 2. einfach durch probieren? Also weitermachen und zahlen einsetzen und dann irgendwann einfach eine extrem hohe zahl um zu beweisen das ein solches n nicht existiert oder wie?
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Hallo Blackpearl,
> (i) Rechnen sie folgende Gleichung nach.
> [mm]1^2 = 1^3 (1+2)^2 = 1^3 + 2^3 (1+2+3)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 (1+2+3+4)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3[/mm]
>
> (ii) Finden Sie das erste n [mm]\in \IN,[/mm] für das die
> Gleichung
> [mm](1+2+3+4+ ... +n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... + n^3[/mm]
>
> nicht mehr gilt, oder beweisen Sie, dass ein solches n
> nicht existiert.
> Hey Leute,
>
> aller Anfang ist schwer und ich häng mich gerade rein.
> Beim ersten denk ich mir er will einfach nur das ich ein
> paar mal die Gleichung fortführe aber was hat das für
> einen sinn?
Du sollst für die ersten paar n einfach beide Seiten ausrechnen und schauen, ob die Gleichheit gilt.
> Mann kann seine dann ja einfach ergänzen mit 5
> in der Klammer und 5² auf der reichten seite usw..
>
> Beim 2. einfach durch probieren? Also weitermachen und
> zahlen einsetzen und dann irgendwann einfach eine extrem
> hohe zahl um zu beweisen das ein solches n nicht existiert
> oder wie?
Wenn du die ersten paar Dinger oben ausrechnest und vergleichst, siehst du, dass man das wohl verallgemeinern kann auf die Aussage:
[mm]1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2[/mm]
Dies solltest du dann per vollst. Induktion beweisen.
Evtl. kennst du schon eine Formel für die Summe der ersten n nat. Zahlen:
[mm]1+2+3+\ldots+n=\Box[/mm]
Damit könntest du die Klammer rechterhand und damit den Induktionsbeweis vereinfachen ...
Gruß
schachuzipus
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Was ist bitte induktion inder Mathematik? Wie funktioniert das?
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Hallo blackpearl,
ich vermute, dass das genau Euer nächstes Thema ist. Die Aufgabe soll Euch dahin führen...
Die Grundideee ist folgende. Da wird eine Gleichung behauptet, die für alle [mm] n\in\IN [/mm] gelten soll, manchmal auch mit der Einschränkung [mm] n\ge{a},\ a\in\IN [/mm] (hier aber nicht). Diese mögliche Einschränkung lassen wir für jetzt mal beiseite.
Wenn man nun 2 Dinge zeigen kann, ist die gesamte Behauptung bewiesen:
1) Die behauptete Gleichung gilt für n=1.
2) Wenn die behauptete Gleichung für ein bestimmtes n gilt, gilt sie auch für n+1.
Das ist schon alles. Wenn man das zeigen kann, dann gilt die behauptete Gleichung für alle natürlichen Zahlen, will sagen: für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Überleg mal, warum das so ist.
Ein einfacheres Beispiel ist dies: [mm] \summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n(n+1)}{2}.
[/mm]
Diese Summe ist auch als "Dreiecksformel" bekannt, oder häufiger als Darstellung der "Dreieckszahlen": 1,3,6,10,15,21,28...
Grüße
reverend
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