Gleichung von Parabel finden < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 09.08.2012 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | a) Berechne die Gleichung der Parabel 3.Ordnung, welche die Parabel
mit der Gleichung y = [mm] 1/4x^2 [/mm] im Ursprung schneidet und in H
(5/6,25) ihren Ursprung hat.
b) Berechne den Inhalt, der von beiden Kurven eingeschlossen wird. |
Guten Abend, ihr Lieben !
Ich habe bei dieser Aufgabe leider keinen blassen Schimmer, wie die Lösung aussieht :(
Was ist mit "Parabel dritter Ordnung" gemeint ??? Und was bringt es mir zu wissen, dass die gesuchte Parabel einen Hochpunkt hat ?
Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich hier vorgehen soll ?
Ich danke euch !!!
Eure liebe Fee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Do 09.08.2012 | | Autor: | Fee |
Entschuldigt, die Gesuvhte Parabel hat in H einen Hochpunkt, KEINEN Ursprung !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Do 09.08.2012 | | Autor: | abakus |
> a) Berechne die Gleichung der Parabel 3.Ordnung, welche
> die Parabel
> mit der Gleichung y = [mm]1/4x^2[/mm] im Ursprung schneidet und
> in H
> (5/6,25) ihren Ursprung hat.
>
>
>
> b) Berechne den Inhalt, der von beiden Kurven
> eingeschlossen wird.
> Guten Abend, ihr Lieben !
>
> Ich habe bei dieser Aufgabe leider keinen blassen Schimmer,
> wie die Lösung aussieht :(
>
> Was ist mit "Parabel dritter Ordnung" gemeint ??? Und was
Damit ist eine Polynom dritten Grades gemeint, die gesuchte Funktion hat also die Form [mm] $f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d$.
[/mm]
> bringt es mir zu wissen, dass die gesuchte Parabel einen
> Hochpunkt hat ?
An der bewussten Stelle ist also die erste Ableitung [mm] ($3a*x^2+2*b*x+c$) [/mm] gleich Null.
>
> Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich hier vorgehen soll
> ?
Ist noch eine weitere Bedingung bekannt?
Bisher haben wir nur
f(0)=0
f(5)=6,25 und
f'(5)=0.
Mit diesen drei Gleichungen kann man nicht alle 4 unbekannten Parameter a, b, c und d eindeutig ermitteln.
Gruß Abakus
>
> Ich danke euch !!!
>
> Eure liebe Fee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 12.08.2012 | | Autor: | Fee |
Ich hab jetzt versucht eine Lösung für diese Aufgabe zu finden :
Wir haben drei Gleichungen :
I. f(0) = 0
II. f(5) = 6,25
III. f'(5) = 0
I. 0 = a* [mm] 0^3 [/mm] + b* [mm] 0^2+ [/mm] c* 0 + d
0 = d
II'. 6,25 = [mm] a*5^3 [/mm] + b* [mm] 5^2 [/mm] + c* 5 l : 5
1,25 = 25a + 5b +c l - c
1,25 - c = 25a + 5b l - 1,25
c = 1,25 - 25a -5b
III'. 0 = [mm] 3*a*5^2 [/mm] + 2b*5 + 1,25 - 25a - 5b
0 = 75a +10b +1,25 -25a -5b
0 = 50a + 5b + 1,25 l - 1,25
- 1,25 = 50a +5b l : 5
- 0,25 = 10a + b l - 10a
- 0,25 - 10a = b
Und jetzt setzt man b und c in Gleichung II ein.
II''. 1,25 = 25a + ((-1,25) + 50a) + 1,25 - 25a - 5((-0,25) - 10a)
+ ( 1,25 - 25a - 5b)
1,25 = 25a - 1,25 + 50a + 1,25 - 25a - ((-1,25) - 50a)
1,25 = 25a - 1,25 + 50a + 1,25 - 25a + 1,25 + 50a
1,25 = 100a + 1,25 l -1,25
0 = 100a l :100
0 = a
b = -0,25 -10a
b = (-0,25)
c = 1,25 - 25a - 5b
c = 1,25 - 25*0 - 5 (-0,25)
c = 2,5
Die Gleichung beträgt also : (- [mm] 0,25x^2) [/mm] +2,5
Ist das richtig ? Hab ich wo Fehler gemacht ? Vielen Dank !!!
Eure liebe Fee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 So 12.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ich hab jetzt versucht eine Lösung für diese Aufgabe zu
> finden :
>
> Wir haben drei Gleichungen :
>
> I. f(0) = 0
>
> II. f(5) = 6,25
>
> III. f'(5) = 0
Die Bedingungen sind korrekt.
>
> I. 0 = a* [mm]0^3[/mm] + b* [mm]0^2+[/mm] c* 0 + d
> 0 = d
>
> II'. 6,25 = [mm]a*5^3[/mm] + b* [mm]5^2[/mm] + c* 5 l : 5
> 1,25 = 25a + 5b +c l - c
> 1,25 - c = 25a + 5b l - 1,25
>
> c = 1,25 - 25a -5b
>
> III'. 0 = [mm]3*a*5^2[/mm] + 2b*5 + 1,25 - 25a - 5b
> 0 = 75a +10b +1,25 -25a -5b
> 0 = 50a + 5b + 1,25 l - 1,25
> - 1,25 = 50a +5b l : 5
> - 0,25 = 10a + b l - 10a
>
> - 0,25 - 10a = b
>
> Und jetzt setzt man b und c in Gleichung II ein.
>
> II''. 1,25 = 25a + ((-1,25) + 50a) + 1,25 - 25a -
> 5((-0,25) - 10a)
> + ( 1,25 - 25a - 5b)
> 1,25 = 25a - 1,25 + 50a + 1,25 - 25a - ((-1,25) - 50a)
> 1,25 = 25a - 1,25 + 50a + 1,25 - 25a + 1,25 + 50a
> 1,25 = 100a + 1,25 l -1,25
> 0 = 100a l :100
> 0 = a
>
> b = -0,25 -10a
> b = (-0,25)
>
>
> c = 1,25 - 25a - 5b
> c = 1,25 - 25*0 - 5 (-0,25)
> c = 2,5
>
> Die Gleichung beträgt also : (- [mm]0,25x^2)[/mm] +2,5
Die Berechnung so geht leider nicht. Du hast vier Parameter zu bestimmen, aber nur drei Gleichungen. Du bekommst also eine Funktionenschar als Lösung, bei der ein Parameter bleibt.
Dich hätte schn die Tatsache, dass deine Lösung eine Parabel 2. Grades ist, in der Aufgabe aber eine Funktion 3. Grades gesucht ist, stuzig machen sollen.
Du hast:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
und
f'(x)=3ax²+2bx+c
Damit bekommst du also folgende drei Gleichungen
[mm]f(5)=6,25\Rightarrow125a+25b+5c+d=6,25[/mm]
[mm]f'(5)=0\Rightarrow75a+10b+c=0[/mm]
[mm]f(0)=0\Rightarrow d=0[/mm]
Mit d=0 ergibt sich also folgendes Gleichungssystem
[mm] \begin{vmatrix}125a+25b+5c=6,25\\75a+10b+c=0\end{vmatrix}
[/mm]
Dieses Gleichungssystem muss man, da zwei Gleichungen und drei Variablen vorhanden sind, parameterabhängig lösen.
Setzen wir also Beispielweise [mm] c=\lambda, [/mm] ergibt sich
[mm] \begin{vmatrix}125a+25b=6,25-5\lambda\\75a+10b=-\lambda\end{vmatrix}
[/mm]
Gleichung 2 mit 2,5 Multiplizieren
[mm] \begin{vmatrix}125a+25b=6,25-5\lambda\\187,5a+25b=-2,5\lambda\end{vmatrix}
[/mm]
Gleichung 1-Gleichung 2:
[mm] \begin{vmatrix}125a+25b=6,25-5\lambda\\-62,5a=6,25-2,5\lambda\end{vmatrix}
[/mm]
Gleichung 2 durch -62,5
[mm] \begin{vmatrix}125a+25b=6,25-5\lambda\\a=-0,12+0,04\lambda\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] a=-0,12+0,04\lambda [/mm] in Gleichung 1 eingesetzt, ergibt
[mm] 125\cdot(-0,12+0,04\lambda)+25b=6,25-5\lambda
[/mm]
Berechne daraus nun noch b (in Abhängigkeit von[mm]\lambda[/mm])
Schau dir aber auch nochmal die Lösbarkeit von Gleichugssystemen an, ich empfehle da ![[]](/images/popup.gif) Poenitz-net und Arndt Brünner
Marius
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