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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Ares1804 |
| Aufgabe | Wenn p eine Primzahl ist und a,b natürliche (d.h. positive ganze ~) Zahlen sind, dann folgt aus
[mm] 2^p+3^p=a^n [/mm] , dass n=1 gilt
b) Für welche Werte aus [mm] \IZ [/mm] hat die Gleichung
[mm] x^2+axy+y^2=1
[/mm]
unendlich viele Lösungen in [mm] \IZ [/mm] |
Hallo,
Mal wieder möchte ich hiermit um Hilfe bitten, denn ich habe leider gerade keine Idee für einen Ansatz.
Ich bedanke mich im Vorraus für jeden Tipp!
MfG
M.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:50 So 20.05.2007 | | Autor: | Ares1804 |
Oh, ich vergaß: Bei der b) sind die Werte für a aus [mm] \IZ [/mm] gesucht
Aber ich komm irgendwie nicht weiter....
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zu Aufgabe b):
Für a=0 ergibt sich die Gleichung: [mm] x^{2}+y^{2}=1
[/mm]
Das wäre ein Kreis, auf dem unendlich viele Punkte liegen.
Für a=1 ergibt sich die Gleichung: [mm] x^{2}+xy+y^{2}=1
[/mm]
Diese Gleichung ist erfüllt für [mm] x=y=\wurzel\bruch{1}{3}
[/mm]
Wenn x einen Tick kleiner ist als [mm] \wurzel\bruch{1}{3}, [/mm] gibt es dann auch noch einen y-Wert?
Für a=-1 ergibt sich die Gleichung: [mm] x^{2}-xy+y^{2}=1
[/mm]
Diese Gleichung ist erfüllt für x=y=1
Wenn x einen Tick kleiner ist als 1, gibt es dann auch noch einen y-Wert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 20.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Für alle a gilt: wenn x=0, dann ist y=1 und y=-1
Was geschieht, wenn x einen Tick von Null abweicht?
Lässt sich daraus etwas erkennen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 So 20.05.2007 | | Autor: | wauwau |
bzgl a)
p=2 folgt n=1
daher ist p eine ungerade Primzahl
betrachte die Glg. modulo5
und zerlege die linke seite
[mm] 2^p+3^p=5(2^{p-1}-2^{p-2}3+2^{p-3}3^2-+......-2*3^{p-2}+3^{p-1}) [/mm]
der zweite Faktor ist [mm] \equiv p*2^{p-1} [/mm] mod 5,
da jedoch 5 mindestens bei n>1 in mehrfachen Potenzen auftreten muss, muss der zweite Faktor ebenfalls durch 5 teilbar und daher p=5 sein.
Da für p=5 n=1 folgt (ausrechnen)
ist das gewünschte bewiesen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 So 20.05.2007 | | Autor: | wauwau |
bzgl b)
Die Antworten von Rabilein sind leider falsch, da es sich um diophantische Gleichungen handelt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 So 20.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Antworten von Rabilein sind leider falsch, ...
Es mag sein, dass die Antworten unvollständig sind.
Für die angegebenen Werte (a=-1, a=0 und a=1) kommen die x-y-Werte aber so hin.
Für alle a-Werte müsste sich auf ähnliche Weise ein x=y-Wert bestimmen lassen. Wie das allerdings bei [mm] x\not=y [/mm] aussieht, kann ich nicht sagen.
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