Gleichungen aufstellen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 4a)
[mm] E_1 [/mm] ist die x-y-Ebene , [mm] E_2 [/mm] die y-z-Ebene, [mm] E_3 [/mm] die x-z-Ebene
4b)
[mm] E_4 [/mm] enthält den Punkt P(2|3|0) und verläuft parallel zur x-z-Ebene
4c) [mm] E_5 [/mm] enthält den Punkt P(-1|0|-1) und verläuft parallel zur x-y-Ebene
4d) [mm] E_6 [/mm] enthält die Ursprungsgerade durch B(3|1|0) und steht senkrecht auf der x-y-Ebene
4e)
[mm] E_7 [/mm] enthält die Winkelhalbierende des 1.Quadranten der y-z-Ebene und steht sewnkrecht zur y-z-Ebene |
Hallo,
also für 4a habe ich folgendes :
[mm] E_1 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0}+r\vektor{0\\1\\0} +s\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
[mm] E_2 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}+ r\vektor{0\\1\\0} [/mm] + [mm] s\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
[mm] E_3 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} +r\vektor{1\\0\\0} +s\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
4b)
[mm] E_4 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\3\\0} [/mm] + [mm] r\vektor{1\\0\\0}+s\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
4c)
[mm] E_5 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\0\\-1} +r\vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] s\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
4d)
Hier weiß ich leider nicht weiter , die Ursprungsgerade verwirrt mich.Und dass es senkrecht auf der x-y-Ebene steht , heißt das , dass ich Richtungsvektoren ausrechnen muss , die wenn man sie mit den Richtungsvektoren der x-y-Ebene mutlipliziert , Null ergibt ?
4e )
Leider auch keinen Ansatz
Wie kann ich beiden restlichen vorgehen ?
Vielen Dank im Voraus
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Hi Doktor,
> 4a)
> [mm]E_1[/mm] ist die x-y-Ebene , [mm]E_2[/mm] die y-z-Ebene, [mm]E_3[/mm] die
> x-z-Ebene
>
> 4b)
> [mm]E_4[/mm] enthält den Punkt P(2|3|0) und verläuft parallel zur
> x-z-Ebene
>
> 4c) [mm]E_5[/mm] enthält den Punkt P(-1|0|-1) und verläuft
> parallel zur x-y-Ebene
>
> 4d) [mm]E_6[/mm] enthält die Ursprungsgerade durch B(3|1|0) und
> steht senkrecht auf der x-y-Ebene
>
> 4e)
> [mm]E_7[/mm] enthält die Winkelhalbierende des 1.Quadranten der
> y-z-Ebene und steht sewnkrecht zur y-z-Ebene
> Hallo,
>
> also für 4a habe ich folgendes :
>
> [mm]E_1[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\0}+r\vektor{0\\1\\0} +s\vektor{0\\1\\0}[/mm]
Verschrieben? Beide Richtungsvektoren hängen ja voneinander ab. Also ist die Lösung nicht korrekt.
Aber wie wäre es denn mit der Lösung z=0? Die wäre ja kurz und knackig.
>
> [mm]E_2[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\0}+ r\vektor{0\\1\\0}[/mm] +
> [mm]s\vektor{0\\0\\1}[/mm]
Alternativ siehe oben.
>
> [mm]E_3[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\0} +r\vektor{1\\0\\0} +s\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
Alternativ siehe oben.
> 4b)
> [mm]E_4[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2\\3\\0}[/mm] +
> [mm]r\vektor{1\\0\\0}+s\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> 4c)
>
> [mm]E_5[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-1\\0\\-1} +r\vektor{1\\0\\0}[/mm] +
> [mm]s\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
> 4d)
> Hier weiß ich leider nicht weiter , die Ursprungsgerade
> verwirrt mich.Und dass es senkrecht auf der x-y-Ebene steht
> , heißt das , dass ich Richtungsvektoren ausrechnen muss ,
> die wenn man sie mit den Richtungsvektoren der x-y-Ebene
> mutlipliziert , Null ergibt ?
Versuche dir das ganze mal anschaulich vorzustellen.
Diese Ursprungsgerade liegt ja in der x-y-Ebene. Und diese Gerade soll in der Ebene liegen. Damit kann man sich schon einmal die Lage so grob vorstellen. Zusätzlich soll sie aber senkrecht auf der x-y-Ebene stehen. also bildet diese Ebene mit der x-y-Ebene einen rechten Winkel.
Versuchst du dir das anschaulich zu skizzieren, dann solltest du schnell eine Lösung finden können.
>
> 4e )
> Leider auch keinen Ansatz
Auch hier: skizzieren und dann findest du schnell die Lösung.
>
> Wie kann ich beiden restlichen vorgehen ?
>
> Vielen Dank im Voraus
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Hallo,
das verstehe ich leider nicht.
Da steht ja [mm] E_1 [/mm] ist die x-y-Ebene , also habe ich doch zwei Richtungsvektoren , die so aussehen :
[mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Warum ist das falsch ? Warum soll ich z = 0 setzen? Ist doch schon nullgesetzt , oder ?
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Hi,
ja, nun ist es korrekt. Du hattest nur zweimal denselben Vektor, und das war da natürlich quatsch.
z=0 ist ebenso eine Lösung für die Aufgabe.
Also [mm] $E_1: [/mm] z=0$. Das bedeutet nämlich, dass alle z=0 sein müssen, aber die x und y sind alle frei wählbar.
Du kennst vermutlich auch Ebenengleichungen in der Form von z.B. 3x+1y+5z=3
Ganz äquivalent formuliert man nun 0*x+0*y+1*z=0.
Diese Gleichung beschreibt die Menge [mm] M=\{(x,y,z)\in\IR^3|x,y\in\IR, z=0\}
[/mm]
Ok soweit? 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Di 06.11.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Ja , jetzt habe ich es verstanden , danke.
Die nächsten Aufgaben mache ich jetzt nochmal und melde mich , und mit Skizzen habe ich es nicht so , aber ich versuchs :D
Bis später dann und danke nochmal Richie.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Di 06.11.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Okay , also :
Für 4b )
4b)
$ [mm] E_4 [/mm] $ enthält den Punkt P(2|3|0) und verläuft parallel zur x-z-Ebene
Stützvektor ist [mm] \vektor{2\\3\\0} [/mm] , und es verläuft parallel zur x-z-Ebene , x-z Ebene hat die Richtungsvektoren
[mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
=>
[mm] E_4 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\3\\0} +r\vektor{1\\0\\0}+s\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Für 4c das gleiche :
[mm] E_5 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\0\\-1}+r\vektor{1\\0\\0}+s\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Für 4d :
$ [mm] E_6 [/mm] $ enthält die Ursprungsgerade durch B(3|1|0) und steht senkrecht auf der x-y-Ebene
Zwei Punkte habe ich gegeben :
P(0|0|0) und B(3|1|0)
Die Ursprungsgerade :
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{3\\1\\0}
[/mm]
Die Ebenengleichung lautet :
E : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}+r\vektor{0\\1\\0}+s\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Habe ich irgendwas falsch ?
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> > [mm]E_6[/mm] enthält die Ursprungsgerade durch B(3|1|0) und steht
> > senkrecht auf der x-y-Ebene
> >
> > Zwei Punkte habe ich gegeben :
> > P(0|0|0) und B(3|1|0)
> > Die Ursprungsgerade :
> > [mm]g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{3\\1\\0}[/mm]
> >
> > Die Ebenengleichung lautet :
> > E : [mm]\vec{x}[/mm] =
> > [mm]\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{0\\1\\0}+s\vektor{0\\0\\1}[/mm]
> Nein.
> Der eine Richtungsvektor ist doch quasi schon durch die
> Gerade festgelegt. Nun brauchst du nur noch einen, der
> senkrecht zu der x-y-Ebene steht und auf der Geraden ist.
> Also z.b. [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm]
Okay , danke erstmal.
Also senkrecht auf x-y heißt ja , dass z = 1 ist.
Wenn ich jetzt die Ursprungsgerade habe :
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{3\\1\\0}
[/mm]
Dann habe ich dch jetzt quasi zwei Richtugnsvektoren , einmal [mm] \vektor{3\\1\\0} [/mm] und einmal [mm] \vektor{0\\0\\1}, [/mm] oder ?
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Hey ho,
>
> > > [mm]E_6[/mm] enthält die Ursprungsgerade durch B(3|1|0) und steht
> > > senkrecht auf der x-y-Ebene
> > >
> > > Zwei Punkte habe ich gegeben :
> > > P(0|0|0) und B(3|1|0)
> > > Die Ursprungsgerade :
> > > [mm]g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{3\\1\\0}[/mm]
> > >
> > > Die Ebenengleichung lautet :
> > > E : [mm]\vec{x}[/mm] =
> > > [mm]\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{0\\1\\0}+s\vektor{0\\0\\1}[/mm]
> > Nein.
> > Der eine Richtungsvektor ist doch quasi schon durch die
> > Gerade festgelegt. Nun brauchst du nur noch einen, der
> > senkrecht zu der x-y-Ebene steht und auf der Geraden ist.
> > Also z.b. [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> Okay , danke erstmal.
>
> Also senkrecht auf x-y heißt ja , dass z = 1 ist.
Vorsicht mit dieser Schreibweise. Man kann z=1 auch als Ebenengleichung auffassen. Das würde dann bedeuten, dass eine Ebene parallel zur x-y-Ebene gemeint ist, die den Abstand 1 hat.
>
> Wenn ich jetzt die Ursprungsgerade habe :
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{3\\1\\0}[/mm]
>
> Dann habe ich dch jetzt quasi zwei Richtugnsvektoren ,
> einmal [mm]\vektor{3\\1\\0}[/mm] und einmal [mm]\vektor{0\\0\\1},[/mm] oder
> ?
Genau so ist es auch.
>
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Also lautet meine Ebenengleichung für 4d )
E : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}+r\vektor{3\\1\\0}+s\vektor{0\\0\\1} [/mm] , oder ?
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> Also lautet meine Ebenengleichung für 4d )
>
> E : [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{3\\1\\0}+s\vektor{0\\0\\1}[/mm] , oder
> ?
Korrekt, wobei du natürlich den Nullvektor auch weglassen kannst.
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Okay , vielen Dank für die Korrektur.
Noch die zwei letzten Aufgaben, dann haben wir es geschafft :
[mm] E_7 [/mm] enthält die Winkelhalbierende des 1.Quadranten der y-z Ebene und steht senkrecht zur y-z Ebene
Die Winkelhalbierende des 1.Quadranten ist [mm] \vektor{0\\1\\1}
[/mm]
, also :
[mm] E_7 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\1}+r\vektor{0\\1\\0}+s\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Richtig ?
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Naja, fast...
> Okay , vielen Dank für die Korrektur.
>
> Noch die zwei letzten Aufgaben, dann haben wir es geschafft
> :
>
> [mm]E_7[/mm] enthält die Winkelhalbierende des 1.Quadranten der y-z
> Ebene und steht senkrecht zur y-z Ebene
>
> Die Winkelhalbierende des 1.Quadranten ist
> [mm]\vektor{0\\1\\1}[/mm]
> , also :
> [mm]E_7[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\1\\1}+r\vektor{0\\1\\0}+s\vektor{0\\0\\1}[/mm]
Der Aufpunkt kann auch ruhig der Koordinatenursprung sein.
Dann kann der erste Richtungsvektor doch ruhig der vektor der Winkelhalbierenden sein, also [mm] \vektor{0\\1\\1}.
[/mm]
Der zweite Vektor sollte so konstruiert sein, dass er aus der y-z-Ebene heraustritt. und zwar so, dass er senkrecht darauf steht. Welche wird das wohl sein?
>
> Richtig ?
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zweite Vektor sollte so konstruiert sein, dass er aus
> der y-z-Ebene heraustritt. und zwar so, dass er senkrecht
> darauf steht. Welche wird das wohl sein?
[mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] ´?
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Ja, korrekt.
also ergibt sich
[mm] \vec{x}=r\vektor{0\\1\\1}+s\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Di 06.11.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen vielen vielen Dank Richie , hast mir wieder weitergeholfen :D
Bis auf die nächsten Probleme :D
Gute Nacht noch.
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