Gleichungen lösen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mi 08.10.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Gleichungen:
i) [mm] $-2x^{14}-3x^{7}+13 [/mm] = 0$
ii) [mm] $4x^{12}-12x^{8}+9x^{4}-2 [/mm] = 0$ |
Hallo Zusammen,
bei der ersten, durch Substitution: z = [mm] x^{7}, [/mm] ergibt sich:
$-2z²-3z+13 = 0$
Somit kann man die Lösungsformel verwenden, einsetzen:
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{3 \pm \wurzel{113}}{-4}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} \wurzel{113}
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} \wurzel{113}
[/mm]
Nun die Rücksubstitution durchführen:
[mm] x^{7} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} \wurzel{113}
[/mm]
[mm] x^{7} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} \wurzel{113}
[/mm]
Nun bin ich mir wegen der siebten Potenz unsicher, da minus gleich minus bleibt. Denn:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \pm \wurzel[7]{-\bruch{3}{4} - \bruch{1}{4} \wurzel{113}}, [/mm] ist nicht definiert, also bleibt nur noch:
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \pm \wurzel[7]{-\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}}
[/mm]
Als Lösung soll [mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] -\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}} [/mm] herauskommen, dabei verstehe ich aber die erste Lösung nicht, wohin ist das Minuszeichen bei 3/4 verschwunden?
ii) Bei der zweiten auch wieder Substitution mit z = [mm] x^{4}, [/mm] daraus folgt:
$4z³-12z²+9z-2 = 0$
Nun bräuchte ich noch eine Nullstelle damit ich die Polynomdivison durchführen kann und somit eine Gleichung zweiten Grades erhalte. Jedoch finde ich keine passende Nullstelle, ich habe schon [mm] \pm [/mm] 1 und [mm] \pm [/mm] 2 ausprobiert. Als Hinweis steht noch da, (z-2) ausklammern, wie soll das gehen?
Vielen Dank,
itse
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Hallo itse!
$(z-2)_$ ausklammern bedeutet nichts anderes als die  Polynomdivision durch $(z-2)_$ durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 09.10.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
Okay, bei x = 2 existiert also eine Nullstelle somit kann eine Polynomdivison durchgeführt werden:
(4z³-12z²+9z-2):(z-2) = 4z²-4+1
4z²-4+1 = 0
Hierbei erhalte ich [mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Somit habe ich nun zwei Nullstellen bei [mm] x_1 [/mm] = 2 und [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Nun die Rücksubstituion durchführen:
[mm] x^4 [/mm] = 2 -> [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -\wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] x^4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] -> [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel[4]{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \wurzel[4]{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] -\wurzel[4]{\bruch{1}{2}}
[/mm]
wenn ich diese Lösungen einsetze, wird die Gleichung jeweils Null. In der Lösung steht nun:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -\wurzel[4]{2}
[/mm]
aber
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel[4]{8}
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} \wurzel[4]{8}
[/mm]
wie kommt man denn darauf? Das Ergebnis ist das Selbe.
Grüße
itse
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Hallo itse!
> Somit habe ich nun zwei Nullstellen bei [mm]x_1[/mm] = 2 und [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Du meinst sicherlich jeweils [mm] $\red{z}_{1/2}$ [/mm] ...
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel[4]{8}[/mm]
>
> [mm]x_4[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2} \wurzel[4]{8}[/mm]
>
> wie kommt man denn darauf? Das Ergebnis ist das Selbe.
Dieses Verfahren nennt man "rationalmachen des Nenners".
Erweitere den Term geschickt:
[mm] $$\wurzel[4]{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{2}}*\bruch{\blue{\wurzel[4]{2^3^}}}{\blue{\wurzel[4]{2^3^}}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
[mm] z_1=-\bruch{3}{4}-\bruch{1}{4}\wurzel{113}
[/mm]
[mm] z_2=-\bruch{3}{4}+\bruch{1}{4}\wurzel{113}
[/mm]
Rücksubstitution
[mm] x_1=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} - \bruch{1}{4} \wurzel{113}}
[/mm]
[mm] x_2=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}}
[/mm]
was soll bei [mm] x_1 [/mm] nicht definiert sein, du kannst doch aus einer negativen Zahl, die 7. Wurzel ziehen,
[mm] \wurzel[7]{-128}=-2
[/mm]
[mm] x_1=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} - \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=\wurzel[7]{(-1)*(\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113})}=\wurzel[7]{-1}*\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=-\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}}
[/mm]
[mm] x_2=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}}
[/mm]
hier hast du beim Abschreiben bestimmt ein minus verwechselt,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Do 09.10.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> [mm]z_1=-\bruch{3}{4}-\bruch{1}{4}\wurzel{113}[/mm]
>
> [mm]z_2=-\bruch{3}{4}+\bruch{1}{4}\wurzel{113}[/mm]
>
> Rücksubstitution
>
> [mm]x_1=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} - \bruch{1}{4} \wurzel{113}}[/mm]
>
> [mm]x_2=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}}[/mm]
>
> was soll bei [mm]x_1[/mm] nicht definiert sein, du kannst doch aus
> einer negativen Zahl, die 7. Wurzel ziehen,
>
> [mm]\wurzel[7]{-128}=-2[/mm]
Somit muss ich bei Wurzeln deren Exponent ungerade ist, keine Fallunterscheidung zwischen Plus oder Minus machen, da es ja gleich bleibt, oder?
> [mm]x_1=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} - \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=\wurzel[7]{(-1)*(\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113})}=\wurzel[7]{-1}*\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=-\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}}[/mm]
>
> [mm]x_2=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}}[/mm]
>
> hier hast du beim Abschreiben bestimmt ein minus
> verwechselt,
ich hab es nochmal durchgerechnet und komme auf das selbe Ergebnis und zwar:
[mm] x^7 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} \wurzel{113}; x_1=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} - \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=\wurzel[7]{(-1)\cdot{}(\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113})}=\wurzel[7]{-1}\cdot{}\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=-\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}} \approx [/mm] -1,19
[mm] x^7 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}; x_2 [/mm] = [mm] \wurzel[7]{-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}} \approx [/mm] 1,09
in der Lösung stehen die selben Ergebnisse nur mit anderen Vorzeichen:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}} \approx [/mm] 1,19
[mm] x_2 [/mm] = - [mm] \wurzel[7]{-\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}} \approx [/mm] - 1,09
Setze ich die Ergebnisse aus der Lösung ein, ergibt die Gleichung nicht Null, setze ich meine ermittelten Ergebnisse ein, ergibt die Gleichung Null. Ist es vielleicht ein Druckfehler im Buch?
Vielen Dank für die Antwort
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Do 09.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> > [mm]z_1=-\bruch{3}{4}-\bruch{1}{4}\wurzel{113}[/mm]
> >
> > [mm]z_2=-\bruch{3}{4}+\bruch{1}{4}\wurzel{113}[/mm]
> >
> > Rücksubstitution
> >
> > [mm]x_1=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} - \bruch{1}{4} \wurzel{113}}[/mm]
>
> >
> > [mm]x_2=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}}[/mm]
>
> >
> > was soll bei [mm]x_1[/mm] nicht definiert sein, du kannst doch aus
> > einer negativen Zahl, die 7. Wurzel ziehen,
> >
> > [mm]\wurzel[7]{-128}=-2[/mm]
>
> Somit muss ich bei Wurzeln deren Exponent ungerade ist,
> keine Fallunterscheidung zwischen Plus oder Minus machen,
> da es ja gleich bleibt, oder?
>
> > [mm]x_1=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} - \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=\wurzel[7]{(-1)*(\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113})}=\wurzel[7]{-1}*\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=-\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}}[/mm]
>
> >
> > [mm]x_2=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}}[/mm]
>
> >
> > hier hast du beim Abschreiben bestimmt ein minus
> > verwechselt,
>
> ich hab es nochmal durchgerechnet und komme auf das selbe
> Ergebnis und zwar:
>
> [mm]x^7[/mm] = [mm]-\bruch{3}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4} \wurzel{113}; x_1=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} - \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=\wurzel[7]{(-1)\cdot{}(\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113})}=\wurzel[7]{-1}\cdot{}\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}}=-\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}} \approx[/mm]
> -1,19
>
> [mm]x^7[/mm] = [mm]-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}; x_2[/mm] =
> [mm]\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}} \approx[/mm]
> 1,09
>
> in der Lösung stehen die selben Ergebnisse nur mit anderen
> Vorzeichen:
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\wurzel[7]{\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}} \approx[/mm]
> 1,19
>
> [mm]x_2[/mm] = - [mm]\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} + \bruch{1}{4} \wurzel{113}} \approx[/mm]
> - 1,09
>
> Setze ich die Ergebnisse aus der Lösung ein, ergibt die
> Gleichung nicht Null, setze ich meine ermittelten
> Ergebnisse ein, ergibt die Gleichung Null. Ist es
> vielleicht ein Druckfehler im Buch?
Ich finde hier keinen Fehler, also dürfte dein Ergebnis stimmen (Die Probe hast du ja auch gemacht)
>
> Vielen Dank für die Antwort
> itse
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Do 09.10.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> > > [mm]x_2=\wurzel[7]{-\bruch{3}{4} +\bruch{1}{4} \wurzel{113}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > was soll bei [mm]x_1[/mm] nicht definiert sein, du kannst doch aus
> > > einer negativen Zahl, die 7. Wurzel ziehen,
> > >
> > > [mm]\wurzel[7]{-128}=-2[/mm]
> >
> > Somit muss ich bei Wurzeln deren Exponent ungerade ist,
> > keine Fallunterscheidung zwischen Plus oder Minus machen,
> > da es ja gleich bleibt, oder?
Nur um absolut sicher zu gehen, stimmt meine Vermutung?
Danke,
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Do 09.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] \wurzel[7]{-128}=-2 [/mm] ist korrekt, da [mm] (-2)^{7}=-128
[/mm]
Marius
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