Gleichungssystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] t\in\IR [/mm] so, dass das folgende System
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] tx_{3} [/mm] = 3
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] tx_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] = 2
keine Lösung, bzw. mehr als eine Lösung, bzw. genau eine Lösung hat.
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bin gerade im 1. Semester Mathe und verstehe jetzt schon nur noch Bahnhof... Vielleich kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
So weit bin ich bis jetzt gekommen:
zuerst habe ich alles in eine Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 2 & 3 & t \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & t & 3 } \vmat{ 3 \\ 1 \\ 2 } [/mm]
(Die letzte Spalte sollte noch in die Matrix und durch einen Strich getrennt werden, ich weiß aber nicht, wie ich das mit dem Formeleditor hinbekomme.)
Als nächstes habe ich die 2. und 3. Zeile mit 2 multipliziert:
[mm] \pmat{ 2 & 3 & t \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2t & 6 } \vmat{ 3 \\ 2 \\ 4 }
[/mm]
dann 2.-1. Zeile und 3.-1. Zeile:
[mm] \pmat{ 2 & 3 & t \\ 0 & -1 & -2-t \\ 0 & 2t-3 & 6-t } \vmat{ 3 \\ -1 \\ -1 }
[/mm]
dann habe ich die 2. Zeile mit -(2t-3) multipliziert:
[mm] \pmat{ 2 & 3 & t \\ 0 & 2t-3 & 2t²+t-6 \\ 0 & 2t-3 & 6-t } \vmat{ 3 \\ 2t-3 \\ -1 }
[/mm]
3.-2. Zeile:
[mm] \pmat{ 2 & 3 & t \\ 0 & 2t-3 & 2t²+t-6 \\ 0 & 0 & -2t²-2t+12 } \vmat{ 3 \\ 2t-3 \\ -4-2t }
[/mm]
Ich glaube zu wissen, dass das Gleichungssystem mehr als eine Lösung hat, wenn die letzte Zeile Null ist. Also:
-4-2t=0 -> t=-2
und -2t²-2t+12=0 mit der Lösungsformel bekomme ich: [mm] t_{1}=-3 [/mm] und [mm] t_{2}= [/mm] 2
D.h. Ich bekomme mehr als eine Lösung für t={-3, -2, 2} ?
Genau eine Lösung bekomme ich, wenn in der letzten Zeile keine 0 steht.?
Also bei [mm] t=\IR [/mm] \ {-3, -2, 2 } ?
Stimmt das bis jetzt?
Wann bekomme ich denn keine Lösung?
Lg Karotte0.0
|
|
| |
|
Hi, Karotte,
> Bestimmen Sie [mm]t\in\IR[/mm] so, dass das folgende System
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]tx_{3}[/mm] = 3
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 1
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]tx_{2}[/mm] + [mm]3x_{3}[/mm] = 2
> keine Lösung, bzw. mehr als eine Lösung, bzw. genau eine
> Lösung hat.
>
>
> So weit bin ich bis jetzt gekommen:
>
> zuerst habe ich alles in eine Matrix geschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 & t \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & t & 3 } \vmat{ 3 \\ 1 \\ 2 }[/mm]
>
> (Die letzte Spalte sollte noch in die Matrix und durch
> einen Strich getrennt werden, ich weiß aber nicht, wie ich
> das mit dem Formeleditor hinbekomme.)
Schon gut: Ich blick' durch!
> Als nächstes habe ich die 2. und 3. Zeile mit 2
> multipliziert:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 & t \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2t & 6 } \vmat{ 3 \\ 2 \\ 4 }[/mm]
>
> dann 2.-1. Zeile und 3.-1. Zeile:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 & t \\ 0 & -1 & -2-t \\ 0 & 2t-3 & 6-t } \vmat{ 3 \\ -1 \\ -1 }[/mm]
Wenn Du 3. - 1.Zeile rechnest, muss aber unten rechts +1 rauskommen!
> dann habe ich die 2. Zeile mit -(2t-3) multipliziert:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 & t \\ 0 & 2t-3 & 2t²+t-6 \\ 0 & 2t-3 & 6-t } \vmat{ 3 \\ 2t-3 \\ -1 }[/mm]
>
> 3.-2. Zeile:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 & t \\ 0 & 2t-3 & 2t²+t-6 \\ 0 & 0 & -2t²-2t+12 } \vmat{ 3 \\ 2t-3 \\ -4-2t }[/mm]
Als Folge Deines obigen Vorzeichenfehlers ist nun natürlich statt -4-2t das Ergebnis 4 - 2t.
> Ich glaube zu wissen, dass das Gleichungssystem mehr als
> eine Lösung hat, wenn die letzte Zeile Null ist.
Zunächst musst Du den Term unten in der Koeffizientenmatrix =0 setzen; der Term ganz rechts (in der erweiterten Koeffizientenmatrix) wird erst nachträglich betrachtet!
Also:
> -2t²-2t+12=0 mit der Lösungsformel bekomme ich:
> [mm]t_{1}=-3[/mm] und [mm]t_{2}=[/mm] 2
Wenn Du nun t= -3 in den Term 4 - 2t einsetzt, kommt 10 raus,
also NICHT 0;
demnach ist da LGS für t= -3 UNLÖSBAR.
Wenn Du aber t=2 einsetzt, kommt auch für 4-2t der Wert 0 raus; daher gibt's unendlich viele Lösungen.
Falls t [mm] \in \IR [/mm] \ { 2; -3 }, hat das LGS jeweils genau 1 Lösung.
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Hallo Zwerglein,
vielen Dank für deine Antwort!
>>
> Wenn Du nun t= -3 in den Term 4 - 2t einsetzt, kommt 10
> raus,
> also NICHT 0;
> demnach ist da LGS für t= -3 UNLÖSBAR.
>
> Wenn Du aber t=2 einsetzt, kommt auch für 4-2t der Wert 0
> raus; daher gibt's unendlich viele Lösungen.
Bis hierher habe ich es verstanden!
>
> Falls t [mm]\in \IR[/mm] \ { 2; -3 }, hat das LGS jeweils genau 1
> Lösung.
Das verstehe ich widerum nicht, du hast doch oben gezeigt, dass das LGS für t=-3 unlösbar ist...
Lg Karotte
|
|
|
| |
|
Hi, Karotte,
> > Falls t [mm]\in \IR[/mm] \ { 2; -3 }, hat das LGS jeweils genau 1
> > Lösung.
>
> Das verstehe ich widerum nicht, du hast doch oben gezeigt,
> dass das LGS für t=-3 unlösbar ist...
Richtig, und für t=2 hat es unendlich viele Lösungen.
Aber für alle anderen Werte (also außer für t=2 und für t=-3) ist das LGS EINdeutig lösbar!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
