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Gleichungssystem: Reihenfolge.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 So 09.03.2008
Autor: MatheNietchen

Hallo!
Ich hab eine Frage, wenn ich Gleichungssystem á la Gauß-Verfahren löse, ist es da egal, welche Varaiabel mit welcher Gleichung aufgelöst wird?
Wenn ich ein Gleichungssystem mit 4 Variabeln habe und vier sind in jeder vorhanden, kann ich dann zum Beispiel mit der ersten die anderen 3 auflösen. Oder auch mit einer die ich für den nächsten Schritt zum rechen benutze?


        
Bezug
Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 So 09.03.2008
Autor: cagivamito

Hi,
die Reihenfolge spielt hier keine Rolle.
Du musst nur darauf achten, die noch nicht genutzten Gleichungen des Gleichungssystem mitzuschleppen.
Erst wenn du alle Gleichungen genutzt hast, hast du eine Variable erfolgreich eliminiert.

Außerdem musst du bei einem 4x4 Gleichungssystem aufmerksam sein, dass du nicht aus versehen Gleichungen miteinander addierst/subtrahierst, womit du dir wieder neue Unbekannte in eine shcon teils aufgelöste gleichung einfängst.

Ich rate dir, ein 4x4 System nicht mit dem Eliminierungsverfahren sondern mit dem eher unter "Gaußschen Algorithmus" zu rechnen.
Dort ist eine klare Struktur vorgegeben.

Gruß Jens

Bezug
                
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Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 So 09.03.2008
Autor: MatheNietchen

Danke für deine schnelle Antwort.
Fang ich denn dann von unten oder von oben an?

Bezug
                        
Bezug
Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 So 09.03.2008
Autor: cagivamito

Wie gesagt, beim Gaußschen Eliminierungsverfahren ist das egal.
Musst nur die anderen Gleichungen immer mitnehmen.
Kannst ja mal probieren und nachher ins Forum schreiben.

P.S. Falls du mit Gleichungssystemen noch nicht so vertraut bist, rechne vorher mal eine 2x2 und ein 3x3 LGS.

Gutes Gelingen.
Jens

Bezug
                                
Bezug
Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 So 09.03.2008
Autor: MatheNietchen

Klar. Hab schon einiges gerechnet, 2x2 läuft sowie 3x3 natürlich auch. Aber bei 4x4 ist mein Hirn wohl überfordert...

[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} [/mm] = 14  <*2 II-I   <*3 IV-I
[mm] 2x_{1}+3x_{2}+5x_{3}-4x_{4} [/mm] =20
[mm] 5x_{1}-4x_{2}-5x_{3}-2x_{4} [/mm] =25
[mm] 3x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-5x_{4} [/mm] =-4

[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} [/mm] = 14  <* 5 III-I
[mm] x_{2}+3x_{3}-6x_{4} [/mm] =-8
[mm] 5x_{1}-4x_{2}-5x_{3}-2x_{4} [/mm] =25
[mm] -5x_{2}-x_{3}-8x_{4} [/mm] =-46

[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} [/mm] = 14  
[mm] x_{2}+3x_{3}-6x_{4} [/mm] =-8
[mm] -9x_{2}-10x_{3}-7x_{4} [/mm] =-45  <*9 II-III
[mm] -5x_{2}-x_{3}-8x_{4} [/mm] =-46

[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} [/mm] = 14  
[mm] x_{2}+3x_{3}-6x_{4} [/mm] =-8 <*-5
[mm] 17x_{3}+56x_{4} [/mm] = -117  
[mm] -5x_{2}-x_{3}-8x_{4} [/mm] =-46

[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} [/mm] = 14  
[mm] x_{2}+3x_{3}-6x_{4} [/mm] =-8 <*-5
[mm] 17x_{3}+56x_{4} [/mm] = -117  
[mm] 14x_{3}-26x_{4} [/mm] =-157

...ja und da habe ich aufgehört ;)




Bezug
                                        
Bezug
Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 So 09.03.2008
Autor: steppenhahn

Versuch es mal mit der Matrix-Schreibweise:
Du schreibst einfach alle Koeffzienten vor den x-en in die Matrix und in die rechteste Spalte die auf der rechten Seite der Gleichung stehenden Zahlen. Das habt ihr sicher schon gemacht: Nun kannst du alle Umformungen ebenso anwenden, aber du musst die x-e nicht immer mitschreiben:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 14 \\ 2 & 3 & 5 & -4 & | & 20 \\ 5 & -4 & -5 & -2 & | & 25 \\ 3 & -2 & 2 & -5 & | & -4 \\} [/mm]

Nun ist das erste Ziel, in der ersten Spalte nur noch in der ersten Zeile eine 1 stehen zu haben, der Rest wird eliminiert, indem wir rechnen:

(-2)*Zeile1 + Zeile2 --> Zeile2
(-5)*Zeile1 + Zeile3 --> Zeile3
(-3)*Zeile1 + Zeile4 --> Zeile4

Dann ergibt sich:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 14 \\ 0 & 1 & 3 & -6 & | & -8 \\ 0 & -9 & -10 & -7 & | & -45 \\ 0 & -5 & -1 & -8 & | & -46 \\} [/mm]

Nun ist das nächste Ziel, in der zweiten Spalte die unteren zwei Koeffizienten zu eliminieren. Dies erreichen wir mit:

9*Zeile2 + Zeile3 --> Zeile3
5*Zeile2 + Zeile4 --> Zeile4

Es ergibt sich weiter:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 14 \\ 0 & 1 & 3 & -6 & | & -8 \\ 0 & 0 & 17 & -61 & | & -117 \\ 0 & 0 & 14 & -38 & | & -86 \\} [/mm]

Nun noch in der dritten Spalte die unterste Zahl zur 0 machen mit (nicht erschrecken :-))

Zeile3 / 17 --> Zeile3

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 14 \\ 0 & 1 & 3 & -6 & | & -8 \\ 0 & 0 & 1 & -\bruch{61}{17} & | & -\bruch{117}{17} \\ 0 & 0 & 14 & -38 & | & -86 \\} [/mm]

Und dann

Zeile3 * (-14) + Zeile4 -->Zeile4.

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 14 \\ 0 & 1 & 3 & -6 & | & -8 \\ 0 & 0 & 1 & -\bruch{61}{17} & | & -\bruch{117}{17} \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{208}{17} & | & \bruch{176}{17} \\} [/mm]

Nun musst du nur noch auflösen :-)

Z.B.

Zeile4 * 17 --> Zeile4

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 14 \\ 0 & 1 & 3 & -6 & | & -8 \\ 0 & 0 & 1 & -\bruch{61}{17} & | & -\bruch{117}{17} \\ 0 & 0 & 0 & 208 & | & 176 \\} [/mm]

Und

Zeile4 / 208 --> Zeile4

liefert

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 14 \\ 0 & 1 & 3 & -6 & | & -8 \\ 0 & 0 & 1 & -\bruch{61}{17} & | & -\bruch{117}{17} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & \bruch{11}{13} \\} [/mm]

So nun bist du dran :-)

Bezug
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