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| Aufgabe | Zeige dass das Gleichungssystem
[mm] x_1 +2x_2 +3x_3 [/mm] .....= [mm] y_1
[/mm]
[mm] 2x_1 +5x_2 +8x_3 +3x_4 [/mm] = [mm] y_2
[/mm]
[mm] 3x_1 +8x_2 +14x_3 +8x_4 [/mm] = [mm] y_3
[/mm]
[mm] ......+3x_2 +8x_3 +14x_4 [/mm] = [mm] y_4
[/mm]
für jedes y [mm] \in \IR^3 [/mm] genau eine Lösung x [mm] \in \IR^4 [/mm] besitzt und bestimme diese Lösung. |
Lösungen hab ich alle bestimmt mit gauß.
wie zeige ich dass jedes y [mm] \in \IR^3 [/mm] genau eine Lösung x [mm] \in \IR^4 [/mm] besitzt ?
Hab jeweils für [mm] x_1, x_2, x_3,x_4 [/mm] ein wert rausbekommen in dem alle 4 y-Werte stecken.
Für eine abbildung von [mm] \IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^4 [/mm] würde das bedeuten sie ist bijektiv oder?
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Hallo theresetom,
> Zeige dass das Gleichungssystem
> [mm]x_1 +2x_2 +3x_3[/mm] .....= [mm]y_1[/mm]
> [mm]2x_1 +5x_2 +8x_3 +3x_4[/mm] = [mm]y_2[/mm]
> [mm]3x_1 +8x_2 +14x_3 +8x_4[/mm] = [mm]y_3[/mm]
> [mm]......+3x_2 +8x_3 +14x_4[/mm] = [mm]y_4[/mm]
> für jedes y [mm]\in \IR^3[/mm] genau eine Lösung x [mm]\in \IR^4[/mm]
> besitzt und bestimme diese Lösung.
> Lösungen hab ich alle bestimmt mit gauß.
> wie zeige ich dass jedes y [mm]\in \IR^3[/mm] genau eine Lösung x
> [mm]\in \IR^4[/mm] besitzt ?
Nimm an, es gibt zwei Lösungen [mm]x, \tilde{x}[/mm] und zeige
daß diese Lösungen gleich sein müssen.
> Hab jeweils für [mm]x_1, x_2, x_3,x_4[/mm] ein wert rausbekommen
> in dem alle 4 y-Werte stecken.
>
>
>
> Für eine abbildung von [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] würde das bedeuten
> sie ist bijektiv oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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> Nimm an, es gibt zwei Lösungen $ x, [mm] \tilde{x} [/mm] $ und zeige
daß diese Lösungen gleich sein müssen.
wie mache ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du lösungen x und x' einsetzt sind alle gleichungen erfüllt. die Geleichungen voneinander subtrahiert, haben die rechte Seite 0
also musst du nur zeigen dass das homogene System nur die L Lösung x1=x2=x3=x4=0 hat, dann ist x-x'=0
gruss leduart
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Lösung x= [mm] \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix}
[/mm]
x'= [mm] \begin{pmatrix} r\\s\\t\\u \end{pmatrix}
[/mm]
alle gleichungen erfüllt
> die Geleichungen voneinander subtrahiert, haben die rechte Seite 0
welche gleichungen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist doch Quatsch, wieso lösen die 2 Vektoren deine Gleichungsystem?
nimm an du hat Lösungen x1 bis x4 und
wenn man die in dein GS einsetzt kommt in den 4 gl. y1 bis y4 raus.
jetzt hast du angenommen eine zweite lösung x1',x2',x3'. x4'
die eingesetzt ergeben auch y1 bis y4
wenn du jetzt die 8 gleichngen ansiehst 4 mit x, 4 mit x'
dann zie die erst x1.....=y1
und x1'...=y1 voneinander ab. hast du ne Gleichung mit (x1-x#')+...=0
dasselbe mit den folgenden 3 gl.
jetzt hast du ein homogenes GS mit den "Unbekannten (x^-x1'),..... (x4-x4')
welche Lösungen hat dieses System?
Und lies bitte genau und langsam und denk mit.
und so ne unsinnige Antwort empfind ich als patzig. du weisst genau dass das keine Lösungen sind, sondern neue namen für x1 bis x4 usw.
gruss leduart
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Patzig keineswegs, einfach nur unverständnis.
Kannst du deinen vorigen Beitrag bitte nochmal überprüfen, ich kann ihn sehr schwer lesen. ->Formelzeichen, Übersicht
Was heißt z.B.
> dann zie die erst x1.....=y1
> und x1'...=y1 voneinander ab
?
> (x1-x#')+...=0
?
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Annahme:
Eine Lösung ist [mm](x_1,x_2,x_3,x_4)[/mm]
[mm] x_1+2x_2+3x_3+\ldots = y_1[/mm]
[mm] 2x_1 +5x_2 +8x_3 +3x_4 =y_2[/mm]
[mm] 3x_1 +8x_2 +14x_3 +8x_4 =y_3[/mm]
[mm] \ldots+3x_2 +8x_3 +14x_4 =y_4[/mm]
und eine Lösung ist [mm](\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3,\hat{x}_4)[/mm]
[mm]\hat{x}_1+2\hat{x}_2+3\hat{x}_3+\ldots = y_1[/mm]
[mm] 2\hat{x}_1 +5\hat{x}_2 +8\hat{x}_3 +3\hat{x}_4 =y_2[/mm]
[mm] 3\hat{x}_1 +8\hat{x}_2 +14\hat{x}_3 +8\hat{x}_4 =y_3[/mm]
[mm] \ldots+3\hat{x}_2 +8\hat{x}_3 +14\hat{x}_4 =y_4[/mm]
Leduart meint, dass du folgendes betrachten sollst:
[mm]\hat{x}_1-x_1+2\hat{x}_2-2x_2+3\hat{x}_3-3x_3+\ldots = 0[/mm]
[mm] 2\hat{x}_1-2x_1 +5\hat{x}_2-5x_2 +8\hat{x}_3-8x_3 +3\hat{x}_4-3x_4 =0[/mm]
[mm] 3\hat{x}_1-3_x1 +8\hat{x}_2-8x_2 +14\hat{x}_3-14_x3 +8\hat{x}_4-8x_4 =0[/mm]
[mm] \ldots+3\hat{x}_2-3x_2 +8\hat{x}_3-8x_3 +14\hat{x}_4-14x_4 =0[/mm]
PS: Warst du zu faul, das komplette LGS abzuschreiben, oder bin ich der einzige, der die erste und vierte Zeile nicht ergänzen kann?
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da ist nichts zu ergänzen
hab ... gemacht um eine besseren Überblick zu geben, dass alles schön untereinander ist
aso wenn ich alle x' auf die andere Seite bringe
dann steht dass selbe da einmal mit x und einmal mit x'
also gilt x=x'
wieschoo danke für die übersicht!
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Natürlich steht da das gleiche!
du willst alles mit dem Dach auf die andere Seite bringen, dann muss da ja das Gleiche stehen. i.A. kannst du dann aber nicht folgern, dass [mm] $x_i=\hat{x}_i$ [/mm] gilt.
Hier ist das aber z.B. so:
[mm] $x_1=1,x_2=2,x_3=3$
[/mm]
[mm] $\hat{x}_1=0.5,\hat{x}_2=1.5,\hat{x}_3=3$
[/mm]
Dann folgt doch nicht aus:
[mm] $x_1+x_2+x_3=6$
[/mm]
und
[mm] $\hat{x}_1+\hat{x}_2+\hat{x}_3=6$
[/mm]
mit
[mm] $x_1-\hat{x}_1+x_2-\hat{x}_2+x_3-\hat{x}_3=0$
[/mm]
das [mm] $x_i=\hat{x}_i$ [/mm] gilt!!!
Idee ist doch [mm] $x_i-\hat{x}_i=:z_i$ [/mm] zu setzen und dann das LGS
[mm] $z_1+2z_2+3z_3+\ldots=\red{0}$
[/mm]
[mm] $\ldots$
[/mm]
zu lösen, damit man da als Lösung [mm] $z_i=0\quad \forall [/mm] i$ erhält
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$ [mm] x_i-\hat{x}_i=:z_i [/mm] $
$ [mm] z_1 +2z_2 +3z_3 [/mm] $ .....= $ 0$
$ [mm] 2z_1 +5z_2 +8z_3 +3z_4 [/mm] $ = $ 0 $
$ [mm] 3z_1 +8z_2 +14z_3 +8z_4 [/mm] $ = $ 0$
$ [mm] ......+3z_2 +8z_3 +14z_4 [/mm] $ = $ 0 $
okay. und wie sehe ich nun dass x= [mm] \hat{x}
[/mm]
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-> Löse das LGS für [mm] $z_i$
[/mm]
-> was erhälst du?
-> was sagt dir das?
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ich erhalte für [mm] z_1=x_1
[/mm]
für [mm] z_2=x_2
[/mm]
also jeweils die selben zahlen
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> ich erhalte für [mm]z_1=x_1[/mm]
> für [mm]z_2=x_2[/mm]
> also jeweils die selben zahlen
NEIN!
Schau dir das homogene Gleichungssystem mit den [mm]z_i[/mm] an.
[mm] z_1+2z_2+3z_3+\ldots = \red{0}[/mm]
[mm] 2z_1 +5z_2 +8z_3 +3z_4 =\red{0}[/mm]
[mm] 3z_1 +8z_2 +14z_3 +8z_4 =\red{0}[/mm]
[mm] \ldots+3z_2 +8z_3 +14z_4 =\red{0}[/mm]
Was erhälst du für [mm] $z_i$?
[/mm]
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achso, tschuldigung
eine triviale lösung wäre [mm] z_i [/mm] =0
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> achso, tschuldigung
Macht nichts um diese Uhrzeit bin ich auch meistens nicht in Topform.
> eine triviale lösung wäre [mm]z_i[/mm] =0
Jetzt stelle ich die Frage:
"Was sagt dir das ?"
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> Was sagt dir das?
[mm] z_i [/mm] = [mm] x_i [/mm] - x'_i
0= [mm] x_i [/mm] - x'_i
x'_i = [mm] x_i
[/mm]
Ich kann das andere zeichen nicht ;)
oder wieder nicht?
(du kannst super erklären )
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> > Was sagt dir das?
> [mm]z_i[/mm] = [mm]x_i[/mm] - x'_i
> 0= [mm]x_i[/mm] - x'_i
> x'_i = [mm]x_i[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich kann das andere zeichen nicht ;)
"Backslash+hat"
> oder wieder nicht?
Doch 
Gute Nacht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Sa 19.11.2011 | | Autor: | theresetom |
nacht
vielen dank ;))
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> Zeige dass das Gleichungssystem
> [mm]x_1 +2x_2 +3x_3[/mm] .....= [mm]y_1[/mm]
> [mm]2x_1 +5x_2 +8x_3 +3x_4[/mm] = [mm]y_2[/mm]
> [mm]3x_1 +8x_2 +14x_3 +8x_4[/mm] = [mm]y_3[/mm]
> [mm]......+3x_2 +8x_3 +14x_4[/mm] = [mm]y_4[/mm]
> für jedes y [mm]\in \IR^3[/mm] genau eine Lösung x [mm]\in \IR^4[/mm]
> besitzt und bestimme diese Lösung.
> Lösungen hab ich alle bestimmt mit gauß.
> wie zeige ich dass jedes y [mm]\in \IR^3[/mm] genau eine Lösung x
> [mm]\in \IR^4[/mm] besitzt ?
Hallo,
wie Du das machen kannst, hängt ein bißchen davon ab, was in der Vorlesung bereits dran war.
Du könntest anhand der Determinante zeigen, daß die Koeffizientenmatrix invertierbar ist, woraus dann die eindeutige Lösbarkeit folgt. (Ax=y <==> [mm] x=A^{-1}y)
[/mm]
Oder, falls es halt dran war, Du machst vor, daß die [mm] 4\times [/mm] 4-Koeffizientenmatrix vollen Rang hat. Daraus folgt auch die eindeutige Lösbarkeit.
> Hab jeweils für [mm]x_1, x_2, x_3,x_4[/mm] ein wert rausbekommen
> in dem alle 4 y-Werte stecken.
Ja, das wäre zu erwarten.
Gruß v. Angela
>
>
>
> Für eine abbildung von [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] würde das bedeuten
> sie ist bijektiv oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Sa 19.11.2011 | | Autor: | theresetom |
hatten wir beides noch nicht.
Ich hatte erst 1 1/2 Stundne lineare algebra.
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