matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDeutsche Mathe-OlympiadeGleichungssystem (441331)
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Deutsche Mathe-Olympiade" - Gleichungssystem (441331)
Gleichungssystem (441331) < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Deutsche Mathe-Olympiade"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichungssystem (441331): Aufgabe und Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Sa 31.01.2009
Autor: tuxor

Aufgabe
Finde alle Tripel (x,y,z) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem erfüllen:
[mm] x^2 [/mm] + yz = 2
[mm] y^2 [/mm] + xz = 2
[mm] z^2 [/mm] + xy = 2

Ich kam ziemlich schnell darauf, dass für [mm] x=y=z=\pm1 [/mm] jeweils eine Lösung vorliegt. Außerdem habe ich aufgrund der Symmetrie die Vermutung, dass es generell nur für x=y=z Lösungen gibt - das kann ich aber nicht beweisen.
Durch Addition ergibt sich außerdem die Gleichung:
[mm] (x+y)^2 [/mm] + [mm] (x+z)^2 [/mm] + [mm] (y+z)^2 [/mm] = 12
Damit konnte ich bis jetzt aber auch noch nicht viel anfangen.

Wie könnte ich hier vorgehen?

viele Grüße
tuxor


Nachtrag (Idee für die Lösung):
Die Gleichungen lassen sich umformen und durch Addition in folgende Form bringen:
x(x-z) = y(y-z)
y(y-x) = z(z-x)
z(z-y) = x(x-y)

für xyz [mm] \not= [/mm] 0 gilt:
Wenn man diese drei Gleichungen jetzt multipliziert, bekommt man
(y-z)(x-y)(z-x) = 0
Das könnte drei Lösungen ergeben, in denen jeweils zwei Variablen gleich sind. Wenn aber zwei Variablen gleich sind, ist auch immer die dritte Variable gleich (Nachweis ist trivial). Und wenn alle gleich sind, dann sind auch alle [mm] \pm [/mm] 1

für xyz = 0 gilt:
Ist eine der Variablen Null, dann sind die anderen beiden jeweils [mm] \wurzel{2} [/mm] (dieser Nachweis ist auch recht einfach).

Kann jemand diese Lösung bestätigen?

        
Bezug
Gleichungssystem (441331): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Di 03.02.2009
Autor: Sigrid

Hallo tuxor,

> Finde alle Tripel (x,y,z) reeller Zahlen, die das folgende
> Gleichungssystem erfüllen:
>  [mm]x^2[/mm] + yz = 2
>  [mm]y^2[/mm] + xz = 2
>  [mm]z^2[/mm] + xy = 2
>  Ich kam ziemlich schnell darauf, dass für [mm]x=y=z=\pm1[/mm]
> jeweils eine Lösung vorliegt. Außerdem habe ich aufgrund
> der Symmetrie die Vermutung, dass es generell nur für x=y=z
> Lösungen gibt - das kann ich aber nicht beweisen.
>  Durch Addition ergibt sich außerdem die Gleichung:
>  [mm](x+y)^2[/mm] + [mm](x+z)^2[/mm] + [mm](y+z)^2[/mm] = 12
>  Damit konnte ich bis jetzt aber auch noch nicht viel
> anfangen.
>  
> Wie könnte ich hier vorgehen?
>  
> viele Grüße
>  tuxor
>  
>
> Nachtrag (Idee für die Lösung):
>  Die Gleichungen lassen sich umformen und durch Addition in
> folgende Form bringen:
>  x(x-z) = y(y-z)
>  y(y-x) = z(z-x)
>  z(z-y) = x(x-y)
>  
> für xyz [mm]\not=[/mm] 0 gilt:
>  Wenn man diese drei Gleichungen jetzt multipliziert,
> bekommt man
>  (y-z)(x-y)(z-x) = 0
>  Das könnte drei Lösungen ergeben, in denen jeweils zwei
> Variablen gleich sind. Wenn aber zwei Variablen gleich
> sind, ist auch immer die dritte Variable gleich (Nachweis
> ist trivial). Und wenn alle gleich sind, dann sind auch
> alle [mm]\pm[/mm] 1
>  
> für xyz = 0 gilt:
>  Ist eine der Variablen Null, dann sind die anderen beiden
> jeweils [mm]\wurzel{2}[/mm] (dieser Nachweis ist auch recht
> einfach).
>  
> Kann jemand diese Lösung bestätigen?

Bis auf eine Kleinigkeit ist alles richtig. Im Fall xyz=0 können die beiden anderen Variablen natürlich auch $- [mm] \wurzel{2} [/mm] $ sein.

Ein andere Lösungsmöglichkeit ist z.B. 2. und 3. Gleichung von der ersten subtrahieren und dann geeignet faktorisieren.

Gruß
Sigrid



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Deutsche Mathe-Olympiade"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]