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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Do 05.03.2009 | | Autor: | mrb |
| Aufgabe | Schreiben Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Matrizenform
[mm]x_1 + x_2 = 1[/mm]
[mm]2x_1 - x_2 = 8[/mm]
Lösen Sie das Gleichungssystem durch Invertieren der Koeffizientenmatrix. |
Heyho,
schreibe Morgen Abschlussprüfung in Mathematik. Ein Teil wird auch Lineare Algebra & Vektorrechnung beinhalten. Insgesamt gibt es auf meinen Klausuren 2 Aufgaben, mit welchen ich noch nicht zu Recht komme. Die eine, ist die oben gestellte.
Ich bin soweit gekommen, das Gleichungssystem in Matrizenform zu schreiben:
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1\\
2 & -1 & | & 8
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun komme ich aber nicht weiter, da ich durch gleichsetzen der Einheitsmatrix nicht auf die Inverse Matrix komme. Ich bin mir inzwischen aber auch gar nicht mehr sicher, ob ich nicht auf einem Holzweg bin.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, falls ich mich dazu noch entschließen sollte, trage ich das hier logischerweise nach.
Könnt mir bitte jemand helfen? :)
Viele Grüße,
Jan
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Hallo,
also du hast die erweiterte Koeffizientenmatrix
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1\\ 2 & -1 & | & 8 \end{pmatrix} [/mm] $. Das ist richtig.
Jetzt sollst du die Koeffizientenmatrix invertieren also die Matrix
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.
[/mm]
Dazu schreibt man sich ja neben die Matrix die Einheitsmatrix also so:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Und jetzt den linken Teil der Matrix durch elementare Zeilenumformungen so umformen, das links die Einheitsmatrix steht.
Viel Erfolg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Do 05.03.2009 | | Autor: | mrb |
Heyho,
Danke für die schnelle Antwort. Dann war mein Weg richtig. Nur da stocke ich jetzt, ich seh kein Weg die Matrix richtig umzuformen.
Könnte Du mir einen kurzen Fingerzeig geben?
Viele Grüße,
Jan
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Hallo Jan,
> Heyho,
> Danke für die schnelle Antwort. Dann war mein Weg richtig.
> Nur da stocke ich jetzt, ich seh kein Weg die Matrix
> richtig umzuformen.
Wieso?
Das sind nur zwei Umformungen an einer [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix ...
Wie das Gaußverfahren geht, weißt du?
Sonst schlage es nach! Welche Typen von elementaren Zeilenumformungen sind erlaubt?
Du hast [mm] $\pmat{1&1&\mid&1&0\\2&-1&\mid&0&1}$ [/mm] und willst den linken Teil in die Einheitsmatrix überführen.
Da ist es naheliegend, damit zu beginnen, das $(-2)$-fache der ersten Zeile auf die zweite Zeile zu addieren, um den Eintrag [mm] $a_{21}$ [/mm] wegzubekommen, also zu 0 zu machen ...
Denke daran, dieselbe(n) Umformung(en), die du linkerhand machst, auch an der rechtsstehenden Einheitsmatrix mitzumachen
>
> Könnte Du mir einen kurzen Fingerzeig geben?
>
> Viele Grüße,
> Jan
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 05.03.2009 | | Autor: | mrb |
Heyho,
Danke für Deine Antwort.
da liegt mein Problem. Da komme ich nicht weiter.
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
2 & -1 & | & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Wenn ich das (-2)-fache vom oben auf das untere addiere komme ich auf.
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
0 & -3 & | & -2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Um nun Unten Rechts die Eins zu bekommen, müsste ich wieder das 4-fache des Oberen auf das Untere addieren. Und dann stände ich Unten Links wieder im Ausgangszustand + 2.
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
4 & 1 & | & 3 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Anders könnte ich die Untere (-1)-fach auf das Obere addieren. Um dann das Obere 1-fach aufs unteren zu addieren. Dabei käme ich dann auf
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 4 & | & 3 & -1\\
1 & 1 & | & 1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Ich sehe kein Weg, der zu einem Endergebnis führt. Oder seh ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht?? Bitte um dringende Hilfe :)
Viele Grüße,
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Heyho,
> Danke für Deine Antwort.
> da liegt mein Problem. Da komme ich nicht weiter.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
2 & -1 & | & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Wenn ich das (-2)-fache vom oben auf das untere addiere
> komme ich auf.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
0 & -3 & | & -2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Um nun Unten Rechts die Eins zu bekommen
teilst Du die 2. Zeile durch -3 !!
Die Null unten links darfst Du doch nicht wieder zerstören !!
FRED
>, müsste ich wieder
> das 4-fache des Oberen auf das Untere addieren. Und dann
> stände ich Unten Links wieder im Ausgangszustand + 2.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
4 & 1 & | & 3 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Anders könnte ich die Untere (-1)-fach auf das Obere
> addieren. Um dann das Obere 1-fach aufs unteren zu
> addieren. Dabei käme ich dann auf
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 4 & | & 3 & -1\\
1 & 1 & | & 1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Ich sehe kein Weg, der zu einem Endergebnis führt. Oder seh
> ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht?? Bitte um
> dringende Hilfe :)
>
> Viele Grüße,
> Jan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 05.03.2009 | | Autor: | mrb |
Darf ich einfach einen Teil der Matrix durch etwas teilen? Ich dachte, ich darf nur das obere vom unteren subtrahieren oder addieren und umgekehrt?
Das wusst ich, nicht. Okay, dann komm ich zum Ergebnis.
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
2 & -1 & | & 1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
1. Zeile (-2)-fach auf die 2. Zeile addieren.
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
0 & -3 & | & -2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
2. Zeile durch -3 teilen.
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
0 & 1 & | & 2/3 & -1/3
\end{pmatrix}
[/mm]
2. Zeile von 1. Zeile subtrahieren.
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 0 & | & 1/3 & 1/3\\
0 & 1 & | & 2/3 & -1/3
\end{pmatrix}
[/mm]
Richtig? Nochmal vielen Dank. Wieder was dazugelernt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Darf ich einfach einen Teil der Matrix durch etwas teilen?
Eine Zeile mit einer Zahl [mm] \not= [/mm] 0 multiplizieren oder dividieren ist eine gestattete umformung
> Ich dachte, ich darf nur das obere vom unteren subtrahieren
> oder addieren und umgekehrt?
> Das wusst ich, nicht. Okay, dann komm ich zum Ergebnis.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
2 & -1 & | & 1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> 1. Zeile (-2)-fach auf die 2. Zeile addieren.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
0 & -3 & | & -2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> 2. Zeile durch -3 teilen.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & | & 1 & 0\\
0 & 1 & | & 2/3 & -1/3
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> 2. Zeile von 1. Zeile subtrahieren.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 0 & | & 1/3 & 1/3\\
0 & 1 & | & 2/3 & -1/3
\end{pmatrix}
[/mm]
>
So stimmts
FRED
> Richtig? Nochmal vielen Dank. Wieder was dazugelernt!
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