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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mo 16.02.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo zusammen,
ich hänge seit geraumer Zeit an folgendem Gleichungssystem fest:
[mm] 3y^2-3x^2+8x=2x\lambda
[/mm]
[mm] 6xy+8y=2y\lambda
[/mm]
[mm] x^2+y^2-1=0
[/mm]
Wie kann ich das lösen, außer durch herumprobieren (so wie ich es schon die ganze Zeit tue). Wie stelle ich fest, ob ich alle Lösungen gefunden habe?
Leider kann man es nicht so einfach wie ein lineares Gleichungssystem lösen....
Gruß,
Rutzel
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> Hallo zusammen,
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> ich hänge seit geraumer Zeit an folgendem Gleichungssystem
> fest:
>
> 1)[mm]3y^2-3x^2+8x=2x\lambda[/mm]
> 2) [mm]6xy+8y=2y\lambda[/mm]
> 3)[mm]x^2+y^2-1=0[/mm]
>
> Wie kann ich das lösen, außer durch herumprobieren (so wie
> ich es schon die ganze Zeit tue). Wie stelle ich fest, ob
> ich alle Lösungen gefunden habe?
>
> Leider kann man es nicht so einfach wie ein lineares
> Gleichungssystem lösen....
Hallo,
ja, wenn die Gleichungssystem nicht linear sind, kann das ganz schön schwierig werden, und eine Standardmethode, mit welcher man immer schnell und sicher ans Ziel kommt, kann man schlecht angeben.
Generell ist es wichtig, daß man aufpassen muß, daß man beim Auflösen nicht unbemerkt durch Null dividiert. Diese Fälle muß man ausschließen und getrennt untersuchen. Wenn man das beachtet, fällt eine der großen Fehlerquellen schonmal fort.
Schade, daß Du nicht zeigst, was Du bisher gerechnet hast, vielelciht ist es ja gar nicht so übel.
Oft ist es vorteilhaft, sich möglichst schnell vpm [mm] \lambda [/mm] zu trennen, weil man es eigentlcih auch nicht benötigt, wenn man nur auf die kritischn Punkte aus ist.
Hier würde das so gehen:
Mit 1) erhalt man:
Für [mm] x\not=0 [/mm] ist [mm] \lambda=\bruch{3y^2-3x^2+8x}{2x}.
[/mm]
Den Fall x=0 untersucht man anschließend.
Mit dem [mm] \lambda [/mm] kann man nun in Gleichung 2) gehen, und zusammen mit 3) behält man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, mit denen man weiterarbeiten kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 17.02.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
danke für Eure Antworten. Das habe ich befürchtet, dass es kein allgemeinen Weg gibt. Dann muss ihc da wohl doch "zu Fuß" durch.
Eine letzte Frage: Wann weiß ich, dass ich alle Lösungen gefunden habe?
gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Di 17.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nur wenn du unterwegs aufpasst und alle moeglichen Verzweigungen hinschreibst wie y=0 oder... usw.
Gruss leduart
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> Eine letzte Frage: Wann weiß ich, dass ich alle Lösungen
> gefunden habe?
Wenn du alle 6 Lösungstripel gefunden hast !
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Di 17.02.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
danke für Eure Hilfe. Ich habe jetzt tatsöchlich 6 Lösungen gefunden.
Dazu habe ich y=0 und [mm] y\not=0 [/mm] unterschieden und durch Wurzelziehen dann eben positive und negative Resulate erhalten.
Leduart sagt, durch sauberes Aufschreiben von allen Fällen würde man alle Ergebnisse erhalten.
D.h. ich muss also folgende Fälle annehmen:
1)y=0
[mm] 2)y\not=0
[/mm]
3)x=0
[mm] 4)x\not=0
[/mm]
[mm] 5)\lambda=0
[/mm]
[mm] 6)\lambda\not=0
[/mm]
Richtig?
(Manche dieser Fälle führen zum Widerspruch. Letzlich reicht eben aus, dass man nur folgende Fälle betrachtet: y=0 und [mm] y\not=0)
[/mm]
Al-Chwarizmi: Wpher weißt Du, dass es 6 Lösungen gibt? Hast Du einen Trick, das zu sehen, oder hast du das System einfach gelöst?
Gruß,
Rutzel
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> Al-Chwarizmi: Woher weißt Du, dass es 6 Lösungen gibt? Hast
> Du einen Trick, das zu sehen, oder hast du das System
> einfach gelöst?
Hallo Rutzel,
ja, gelöst ..... d.h. nicht ich - aber es gibt da so elektronische Helferlein...
Gruß
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> [mm]3y^2-3x^2+8x=2x\lambda[/mm]
> [mm]6xy+8y=2y\lambda[/mm]
> [mm]x^2+y^2-1=0[/mm]
> Wie kann ich das lösen, außer durch herumprobieren (so wie
> ich es schon die ganze Zeit tue). Wie stelle ich fest, ob
> ich alle Lösungen gefunden habe?
Hallo Rutzel,
Ist die zweite Gleichung richtig geschrieben ?
Wenn ja, kann man sie verwandeln in
$\ y=0$ oder $\ x\ =\ [mm] \bruch{\lambda-4}{3}$
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Multipliziere die 1. Gleichung mit y und die 2. Gl. mit x
Subtrahiere die neu entstandenen Gleichungen voneinander und Du erhälst:
0= [mm] 3y(y^2-3x^2)
[/mm]
Nun mußt Du 2 Fälle unterscheiden: y = 0 und [mm] y^2 [/mm] = [mm] 3x^2
[/mm]
Bringe dabei die 3. Gl. ins Spiel
FRED
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> Multipliziere die 1. Gleichung mit y und die 2. Gl. mit x
>
> Subtrahiere die neu entstandenen Gleichungen voneinander
> und Du erhälst:
>
>
> 0= [mm]3y(y^2-3x^2)[/mm]
>
> Nun mußt Du 2 Fälle unterscheiden: y = 0 und [mm]y^2[/mm] = [mm]3x^2[/mm]
>
> Bringe dabei die 3. Gl. ins Spiel
>
> FRED
Hallo zusammen,
das lässt sich noch etwas weiter aufdröseln:
$\ [mm] 3\,y(y^2-3x^2)\ [/mm] =\ 0\ [mm] \gdw\ y=0\,\vee\, y^2=3\,x^2\ \gdw\ [/mm] y=0\ [mm] \vee\, y=\wurzel{3}\,x\, \vee\, y=-\wurzel{3}\,x$
[/mm]
Damit hat man rechts drei Geradengleichungen zur Wahl.
Die dritte Gleichung kann man ebenfalls geometrisch
interpretieren. In der x-y-Ebene sind dann die möglichen
Lösungspunkte [mm] (x_i/y_i) [/mm] erkennbar. Dann fehlen dazu noch
die zugehörigen [mm] \lambda_i [/mm] . Diese müssen sich aber der früher
gefundenen Bedingung
$ \ y=0\ [mm] \,\vee\ [/mm] x\ [mm] \,=\,\ \bruch{\lambda-4}{3} [/mm] $
also auch
$ \ [mm] y_i=0\ \,\vee\ x_i\ \,=\,\ \bruch{\lambda_i-4}{3} [/mm] $
fügen !
LG Al
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