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Gleichungssystem lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mo 25.10.2010
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Sei N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] N\ge2.Man [/mm] finde die Lösung des folgendes Gleichungssystems in [mm] \IZ/N\IZ. [/mm]

[mm] x+y+z\equiv1 [/mm]
[mm] x+y-z\equiv0 [/mm]
[mm] x-y+z\equiv0 [/mm]

Guten Abend^^

Ich hab dieses Gleichungssystem "ganz normal" gelöst und hab x=0, y=0.5 und z=0.5 raus.Ich soll aber die Lösung in [mm] \IZ/N\IZ [/mm] finden.
Was genau bedeutet das?Also ich weiß,dass [mm] \IZ [/mm] die ganzen Zahlen sind,d.h. mein y=z=0.5 kann nicht stimmen?
Aber wie rechne ich das denn sonst aus?
Und ich verstehe nicht,wieso [mm] N\ge2 [/mm] sein muss?

Vielen Dank
lg


        
Bezug
Gleichungssystem lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Mo 25.10.2010
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

> Sei N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]N\ge2.Man[/mm] finde die Lösung des folgendes
> Gleichungssystems in [mm]\IZ/N\IZ.[/mm]
>  
> [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
>  [mm]x+y-z\equiv0[/mm]
>  [mm]x-y+z\equiv0[/mm]
>  Guten Abend^^
>  
> Ich hab dieses Gleichungssystem "ganz normal" gelöst und
> hab x=0, y=0.5 und z=0.5 raus.Ich soll aber die Lösung in
> [mm]\IZ/N\IZ[/mm] finden.
>  Was genau bedeutet das?Also ich weiß,dass [mm]\IZ[/mm] die ganzen
> Zahlen sind,d.h. mein y=z=0.5 kann nicht stimmen?
>  Aber wie rechne ich das denn sonst aus?
>  Und ich verstehe nicht,wieso [mm]N\ge2[/mm] sein muss?


Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].

Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm] eingesetzt,
so ergibt sich:

[mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]

Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.


>  
> Vielen Dank
>  lg

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Gleichungssystem lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Di 26.10.2010
Autor: Mandy_90


> Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].
>  
> Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
> eingesetzt,
>  so ergibt sich:
>  
> [mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]
>
> Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
> multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.

Ok.Also [mm] \IZ/N\IZ [/mm] ist die Menge der Restklassen modulo n.So,wir hatten uns aufgeschrieben,dass eine Restklasse von der Form [mm] a+n*\IZ [/mm] ist.
Wie schreibe ich denn die Lösung in dieser Form auf?
Muss ich dann schreiben [mm] 2+n*\IZ, [/mm] dann wäre das multiplikative Inverse [mm] 1+n*\IZ [/mm] ???

lg


Bezug
                        
Bezug
Gleichungssystem lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Di 26.10.2010
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

>
> > Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].
>  >  
> > Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
> > eingesetzt,
>  >  so ergibt sich:
>  >  
> > [mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]
> >
> > Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
> > multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.
>  
> Ok.Also [mm]\IZ/N\IZ[/mm] ist die Menge der Restklassen modulo
> n.So,wir hatten uns aufgeschrieben,dass eine Restklasse von
> der Form [mm]a+n*\IZ[/mm] ist.
>  Wie schreibe ich denn die Lösung in dieser Form auf?


>  Muss ich dann schreiben [mm]2+n*\IZ,[/mm] dann wäre das
> multiplikative Inverse [mm]1+n*\IZ[/mm] ???


Stelle zunächst fest für welche N die Kongruenz

[mm]2*\left(x+y\right) \equiv1 \ \left(N\right)[/mm]

lösbar ist.

Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].

Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].


>  
> lg
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Gleichungssystem lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Di 26.10.2010
Autor: Mandy_90


> Hallo Mandy_90,
>  
> >
> > > Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].
>  >  
> >  

> > > Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
> > > eingesetzt,
>  >  >  so ergibt sich:
>  >  >  
> > > [mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]
> > >
> > > Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
> > > multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.
>  >  
> > Ok.Also [mm]\IZ/N\IZ[/mm] ist die Menge der Restklassen modulo
> > n.So,wir hatten uns aufgeschrieben,dass eine Restklasse von
> > der Form [mm]a+n*\IZ[/mm] ist.
>  >  Wie schreibe ich denn die Lösung in dieser Form auf?
>  
>
> >  Muss ich dann schreiben [mm]2+n*\IZ,[/mm] dann wäre das

> > multiplikative Inverse [mm]1+n*\IZ[/mm] ???
>  
>
> Stelle zunächst fest für welche N die Kongruenz
>  
> [mm]2*\left(x+y\right) \equiv1 \ \left(N\right)[/mm]
>
> lösbar ist.

Also nach Vorraussetzung muss schon mal N [mm] \ge [/mm] sein.
Aber ein genaues N kann ich nicht angeben,weil ich dafür doch entweder x oder y brauche?

>  
> Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].
>  

Das verstehe ich nicht,wie kommst du drauf,dass das multiplikative Inverse zu 2 [mm] 2^{-1}=0.5 [/mm] ist?

> Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].
>  

>
lg

Bezug
                                        
Bezug
Gleichungssystem lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Di 26.10.2010
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

> > Hallo Mandy_90,
>  >  
> > >
> > > > Aus der Kongurenz [mm]x+y-z\equiv0[/mm] folgt [mm]z \equiv x+y[/mm].
>  >

>  >  
> > >  

> > > > Wird diese Erkenntnis in die Kongruenz [mm]x+y+z\equiv1[/mm]
> > > > eingesetzt,
>  >  >  >  so ergibt sich:
>  >  >  >  
> > > > [mm]x+y+z\equiv1 \gdw x+y+x+y = 2*\left(x+y\right) \equiv1[/mm]
> > > >
> > > > Diese Kongruenz ist nur lösbar, wenn ein
> > > > multiplikativ Inverses zu 2 in [mm]\IZ/N\IZ[/mm] existiert.
>  >  >  
> > > Ok.Also [mm]\IZ/N\IZ[/mm] ist die Menge der Restklassen modulo
> > > n.So,wir hatten uns aufgeschrieben,dass eine Restklasse von
> > > der Form [mm]a+n*\IZ[/mm] ist.
>  >  >  Wie schreibe ich denn die Lösung in dieser Form
> auf?
>  >  
> >
> > >  Muss ich dann schreiben [mm]2+n*\IZ,[/mm] dann wäre das

> > > multiplikative Inverse [mm]1+n*\IZ[/mm] ???
>  >  
> >
> > Stelle zunächst fest für welche N die Kongruenz
>  >  
> > [mm]2*\left(x+y\right) \equiv1 \ \left(N\right)[/mm]
> >
> > lösbar ist.
>  
> Also nach Vorraussetzung muss schon mal N [mm]\ge[/mm] sein.
>  Aber ein genaues N kann ich nicht angeben,weil ich dafür
> doch entweder x oder y brauche?
>  


Das N kannst Du spezifieren.

Gibt es ein multiplikatives Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 4\IZ[/mm] ?

Allgemein ist die Frage, ob es ein multiplikatives
Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 2k\IZ, \ k \in \IN[/mm] gibt.


> >  

> > Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].
>  >  
> Das verstehe ich nicht,wie kommst du drauf,dass das
> multiplikative Inverse zu 2 [mm]2^{-1}=0.5[/mm] ist?


Das hat sich so eingebürgert, daß man für das multiplikative Inverse
zu einer Zahl a aus der Restklasse [mm]\IZ / N\IZ[/mm] [mm] a^{-1} [/mm] schreibt,
sofern ein solches Inverses in dieser Restklasse existiert.

[mm]2^{-1}[/mm] ist hier nicht 0.5, da wir uns im Bereich der ganzen Zahlen bewegen.


>  > Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].

>  >  
> >
>  lg

Bezug
                                                
Bezug
Gleichungssystem lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Mi 27.10.2010
Autor: Mandy_90


>
> Das N kannst Du spezifieren.
>  
> Gibt es ein multiplikatives Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 4\IZ[/mm] ?
>  
> Allgemein ist die Frage, ob es ein multiplikatives
> Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 2k\IZ, \ k \in \IN[/mm] gibt.

Ist also gefragt,ob es ein multiplikatives Inverses zu 2 in den ganzen Zahlen gibt? Und was genau heißt dann [mm] 2k\IZ? [/mm]
Ich würde sagen es gibt kein multiplikatives Iverses zur 2 denn das multipl. neutrale ist 1 und ich kann die 2 nicht mit einer ganzen Zahl mitnehmen,sodass 1 rauskommt.

>  
>
> > >  

> > > Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].

Also gibt es doch eins.Was war dann falsch an meiner Überlegung?

>  >  >  
> > Das verstehe ich nicht,wie kommst du drauf,dass das
> > multiplikative Inverse zu 2 [mm]2^{-1}=0.5[/mm] ist?
>  
>
> Das hat sich so eingebürgert, daß man für das
> multiplikative Inverse
>  zu einer Zahl a aus der Restklasse [mm]\IZ / N\IZ[/mm] [mm]a^{-1}[/mm]
> schreibt,
>  sofern ein solches Inverses in dieser Restklasse
> existiert.
>  
> [mm]2^{-1}[/mm] ist hier nicht 0.5, da wir uns im Bereich der ganzen
> Zahlen bewegen.
>  
>
> >  > Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].

>  >  >  
> > >
>  >  lg  


Bezug
                                                        
Bezug
Gleichungssystem lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Mi 27.10.2010
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

>
> >
> > Das N kannst Du spezifieren.
>  >  
> > Gibt es ein multiplikatives Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 4\IZ[/mm] ?
>  >  
> > Allgemein ist die Frage, ob es ein multiplikatives
> > Inverses zu 2 in [mm]\IZ / 2k\IZ, \ k \in \IN[/mm] gibt.
>  Ist also gefragt,ob es ein multiplikatives Inverses zu 2
> in den ganzen Zahlen gibt? Und was genau heißt dann
> [mm]2k\IZ?[/mm]


Konkret heisst da, ob es in den Restklassen [mm]\IZ / 4\IZ, \ \IZ / 6\IZ, \ \IZ / 8\IZ[/mm]
usw. ein multiplikativ Inverses zu 2 gibt.


>  Ich würde sagen es gibt kein multiplikatives Iverses zur
> 2 denn das multipl. neutrale ist 1 und ich kann die 2 nicht
> mit einer ganzen Zahl mitnehmen,sodass 1 rauskommt.


Richtig.


>  >  
> >
> > > >  

> > > > Das multiplikative Inverse zu 2 ist dann [mm]2^{-1}[/mm].
>  
> Also gibt es doch eins.Was war dann falsch an meiner
> Überlegung?


Nun, Du hast das Inverse zu 2 im Bereich der reellen Zahlen angegeben.

Hier handelt es sich aber zweifelsohne um den Bereich der ganzen Zahlen.


>  >  >  >  
> > > Das verstehe ich nicht,wie kommst du drauf,dass das
> > > multiplikative Inverse zu 2 [mm]2^{-1}=0.5[/mm] ist?
>  >  
> >
> > Das hat sich so eingebürgert, daß man für das
> > multiplikative Inverse
>  >  zu einer Zahl a aus der Restklasse [mm]\IZ / N\IZ[/mm] [mm]a^{-1}[/mm]
> > schreibt,
>  >  sofern ein solches Inverses in dieser Restklasse
> > existiert.
>  >  
> > [mm]2^{-1}[/mm] ist hier nicht 0.5, da wir uns im Bereich der ganzen
> > Zahlen bewegen.
>  >  
> >
> > >  > Daher lautet dann die Lösung [mm]2^{-1}+N*\IZ[/mm].

>  >  >  >  
> > > >
>  >  >  lg  
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Gleichungssystem lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Sa 30.10.2010
Autor: Mandy_90

Kann ich dann als Lösung einfach hinschreiben [mm] \IL=2^{-1}+N\cdot{}\IZ [/mm] ?

lg

Bezug
                                                                        
Bezug
Gleichungssystem lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Sa 30.10.2010
Autor: abakus


> Kann ich dann als Lösung einfach hinschreiben
> [mm]\IL=2^{-1}+N\cdot{}\IZ[/mm] ?
>  
> lg

Auf alle Fälle solltest du dazuschreiben, dass dies nur für ungerade N möglich ist.
(Ein Beispiel: Für N=5 hat 2 das Inverse 3, denn 2*3=6, 6 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5.)
Gruß Abakus


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