Gleichungssystem lösen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 So 06.10.2013 | | Autor: | DrAwesome |
| Aufgabe | Löse folgendes Gleichungssystem:
2x - 3y + 2z = 13
-x + 5y - 2z = -12
2x + 11y - 2z = -9 |
Hallo, ich bin neu hier :D
Mein Problem:
Nach Angabe meines Lehrers sollte zu diesem exakten Gleichungssystem eine Parameterdarstellung herauskommen und nicht ein eindeutiges x, y ,z.
Möglicherweise habe ich ihn auch letzte Stunde missverstanden aber ich kenne keinen Weg, aus einem Gleichungssystem eine Parameterdarstellung zu erstellen. Falls es einen gibt, wäre ich sehr dankbar, wenn mich jemand aufklären würde.
Habe dann das Gleichungssystem nach Gauss gelöst und raus kam
x = 0
y = 0,5
z = 7,25
Ich bedanke mich im Voraus für die Hilfe. :)
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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> Löse folgendes Gleichungssystem:
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> 2x - 3y + 2z = 13
> -x + 5y - 2z = -12
> 2x + 11y - 2z = -9
> Hallo, ich bin neu hier :D
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
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> Mein Problem:
>
> Nach Angabe meines Lehrers sollte zu diesem exakten
> Gleichungssystem eine Parameterdarstellung herauskommen und
> nicht ein eindeutiges x, y ,z.
Dein Lehrer hat recht. Dieses LGS ist nicht eindeutig lösbar.
> Habe dann das Gleichungssystem nach Gauss gelöst und raus
> kam
>
> x = 0
> y = 0,5
> z = 7,25
Das ist eine Lösung des LGS.
Aber es gibt viel mehr Lösungen.
Am besten machst Du mal schrittweise vor, wie Deine Lösung vonstatten geht.
LG Angela
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Hallo, angela.h.b., danke für die Antwort
Also, wie gesagt, die Lösung mach ich normal mit Gauss,
erst die erste und zweite addiert, dann die erste und dritte (im gleichen Schritt), dann die zweite und dritte und schließlich rückwärts gelöst.
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2x - 3y + 2z = 13 | *1 |* 1
-x + 5y - 2z = -12 | *2
2x + 11y - 2z = -9 |* (-1)
Nr. 1 und 2 addieren, mit 2 ersetzen
Nr. 1 und 3 addieren, mit 3 ersetzen
-------------------------------------
2x - 3y + 2z = 13
10y - 4z = -24 |* 1
-14y + 4z = 22 |* 1
Nr. 2 und 3 addieren, mit 3 ersetzen
-------------------------------------
2x - 3y + 2z = 13
10y - 4z = -24
-4y = -2 |: 4 |*(-1)
<=> y = 0,5
Also y = 0,5
Nun y in Nr. 2 einsetzen und auflösen
-------------------------------------
5 - 4z = -24
<=> z = 7,25
Und nun für x
-------------------------------------
2x - 3y + 2z = 13
--> 2x - 1,5 + 14,5 = 13
<=> 2x = 0
<=> x = 0
Aber wie sähe jetzt eine Parameterdarstellungslösung aus?
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Hallo,
> Also, wie gesagt, die Lösung mach ich normal mit Gauss,
>
> erst die erste und zweite addiert, dann die erste und
> dritte (im gleichen Schritt), dann die zweite und dritte
> und schließlich rückwärts gelöst.
>
> ------------------------------------
>
> 2x - 3y + 2z = 13 | *1 |* 1
> -x + 5y - 2z = -12 | *2
> 2x + 11y - 2z = -9 |* (-1)
>
> Nr. 1 und 2 addieren, mit 2 ersetzen
> Nr. 1 und 3 addieren, mit 3 ersetzen
> -------------------------------------
>
> 2x - 3y + 2z = 13
> 10y - 4z = -24 |* 1
> -14y + 4z = 22 |* 1
Hier ist ein Fehler passiert.
Die zweite Zeile müsste lauten:
(2) 7y - 2z = -11.
Die dritte Zeile ist korrekt:
(3) -14y + 4z = 22.
Du kannst nun sehen, dass (2) und (3) Vielfache voneinander sind. Wenn du (2) nämlich -2 mal auf (3) addierst, entsteht eine Nullzeile.
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Dein Gleichungssystem lautet also nur noch
(1) 2x - 3y + 2z = 13
(2) 7y - 2z = -11.
Das sind zwei Gleichungen für drei Variablen. Um jetzt alle Lösungen darstellen zu können, musst du eine Variable frei wählen. Das bedeutet, du führst jetzt einen "Platzhalter" [mm] $\lambda$ [/mm] ein, der für jede beliebige reelle Zahl stehen kann.
Schreibe also zum Beispiel $z = [mm] \lambda$ [/mm] mit [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] beliebig.
Aus der Gleichung (2) kannst du nun y ermitteln:
(2) 7y - 2z = -11 [mm] \gdw [/mm] 7y = -11 + 2z [mm] \gdw [/mm] $y = [mm] \frac{-11+2 \lambda}{7}$.
[/mm]
Nun musst du nur noch x durch [mm] $\lambda$ [/mm] ausdrücken, indem du die erste Gleichung (1) nach x umformst.
Du kannst dann alle Lösungen durch eine Geradengleichung
[mm] $\vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{...\\...\\...} [/mm] + [mm] \lambda\cdot \vektor{...\\...\\...}$ ($\lambda \in \IR$)
[/mm]
ausdrücken.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo
(1) 2x-3y+2z=13
(2) -x+5y-2z=-12
(3) 2x+11y-2z=-9
jetzt neue Zeilen bilden
(1) 2x-3y+2z=13
(2') 7y-2z=-11 Gleichung (1) plus 2 mal Gleichung (2)
(3') -14y+4z=22 Gleichung (1) minus Gleichung (3)
(2'') -14y+4z=22 Gleichung (2') mal -2
(3') -14y+4z=22
was erkennst du? setze z.B. z=p, wobei p dein Parameter ist
Steffi
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Jetzt erkenne ich ein unlösbares Gleichungssystem, da ich Variable und Zahl nicht separat darstellen kann.
Dann muss ich doch bei meiner eigenen Rechnung einen Fehler gemacht haben, den ich noch nicht erkenne.
Und ich verstehe immer noch nicht, wie ich daraus eine Parameterdarstellung mache. Vielleicht denke ich aber auch mal wieder zu kompliziert.
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Hallo,
> Jetzt erkenne ich ein unlösbares Gleichungssystem, da ich
> Variable und Zahl nicht separat darstellen kann.
Was meinst du damit? Der Parameter p steht hier für eine beliebige reelle Zahl, die du nicht festlegen musst.
> Dann muss ich doch bei meiner eigenen Rechnung einen Fehler
> gemacht haben, den ich noch nicht erkenne.
>
> Und ich verstehe immer noch nicht, wie ich daraus eine
> Parameterdarstellung mache. Vielleicht denke ich aber auch
> mal wieder zu kompliziert.
Siehe dazu meine andere Antwort: Hier.
Viele Grüße,
Stefan
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