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| Aufgabe | Für welche [mm] \mu [/mm] ; \ lambda [mm] \in \IR [/mm] ist das folgende Gleichungssystem lösbar und wie lauten dann die Lösungen?
[mm] 2x_{1}+ x_{2}+ x_{3} [/mm] = -1
[mm] 5x_{1}+ 4x_{2}- 5x_{3} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
[mm] 3x_{1}+2x_{2}- x_{3} [/mm] = [mm] \mu [/mm] |
Guten Morgen,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Also die Aufgabe mit einem linearen Gleichungssystem habe ich soweit verstanden. Ich muss durch "elementare Umformung" variable eliminieren um so nachher die Lösung herzuleiten.
Nur habe ich ja dieses mal dieses [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] mit dabei und weis einfach nicht, wie ich jetzt vorzugehen habe.
Ich suche hier keine eindeutige Lösung, sondern eher so einen Denkanstoß, der mich in die richtige Richtung bringt.
Im Voraus schon einmal vielen Dank für eure Mühe.
mfg,
Sebastian
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> Für welche [mm]\mu[/mm] ; \ lambda [mm]\in \IR[/mm] ist das folgende
> Gleichungssystem lösbar und wie lauten dann die
> Lösungen?
>
> [mm]2x_{1}+ x_{2}+ x_{3}[/mm] = -1
> [mm]5x_{1}+ 4x_{2}- 5x_{3}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
> [mm]3x_{1}+2x_{2}- x_{3}[/mm] = [mm]\mu[/mm]
Hallo,
"normalerweise" löst man LGSe ja, indem man die erweiterte Koeffizientenmatrix mit dem Gaußalgorithmus auf ZSF bringt.
Tu dies auch hier. Anschließend führst Du eine Untersuchung des Ranges der (erweiterten) Koeffizientenmatrix durch.
Der Rang - und damit auch die Lösung - wird von den [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] abhängen.
Beim Umformen mußt Du aufpassen, daß Du nicht versehentlich durch 0 dividierst. Willst Du z.B. durch [mm] 5-\mu [/mm] teilen, so mußt Du notieren "für [mm] \mu\not=0" [/mm] und den Fall [mm] \mu=0 [/mm] später gesondert untersuchen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich habe das Gleichungssystem jetzt in die ZFS gebracht, bzw. bin dabei, hier meine bisherige Vorgehensweise:
1. [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & -1 \\ 5 & 4 & -5 & \lambda \\ 3 & 2 & -1 & \mu }
[/mm]
2. [mm] \pmat{ 5 & 3 & 0 & -1+\mu \\ 5 & 4 & -5 & \lambda \\ 3 & 2 & -1 & \mu }
[/mm]
3. [mm] \pmat{ 5 & 3 & 0 & -1+\mu \\ 0 & 1 & -5 & \lambda -(-1+\mu) \\ 3 & 2 & -1 & \mu}
[/mm]
4. [mm] \pmat{ 15 & 9 & 0 & -3+3\mu \\ 0 & 1 & -5 & \lambda -(-1+\mu) \\ 15 & 10 & -5 & 5\mu}
[/mm]
5. [mm] \pmat{ 15 & 9 & 0 & -3+3\mu \\ 0 & 1 & -5 & \lambda -(-1+\mu) \\ 0 & 1 & -5 & 5\mu -(-3+3\mu)}
[/mm]
Ist das bisher so okay??
Also weil ich ja jetzt irgendwie ein Problem bekomme, wenn ich die zweite und dritte Zeile subtrahiere, weil sich dann die dritte ganz auflöst, bis auf den Teil mit [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda
[/mm]
Vielen Dank,
mfg,
Sebastian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Fr 21.08.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Schritte sind okay, wenn auch etwas umständlich.
$$ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & -1 \\ 5 & 4 & -5 & \lambda \\ 3 & 2 & -1 & \mu } [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{5I-2II;3I-2III}{\gdw} \pmat{ 2 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 15 & -5-2\lambda \\ 0 & -1 & 5 & -3-2\mu } [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{II-3III}{\gdw} \pmat{ 2 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 15 & -5-2\lambda \\ 0 & 0 & 0 & \green{\ldots}} [/mm] $$
Was heisst denn eine Zeile der Form, die die letzte Zeile hat?
Marius
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Also mit meinem letzten (sicherlich nicht so verständlichen Satz wollte ich fragen, wie ich denn jetzt weiter verfahre, da ich ja in der dritten Zeile so gesehen vor dem = nur noch nullen stehen habe und das verwirrt mich ein wenig. Deswegen weis ich auch nicht genau, wie ich hier dann jetzt weiter vorgehen soll...
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> Also mit meinem letzten (sicherlich nicht so
> verständlichen Satz wollte ich fragen, wie ich denn jetzt
> weiter verfahre, da ich ja in der dritten Zeile so gesehen
> vor dem = nur noch nullen stehen habe und das verwirrt mich
> ein wenig. Deswegen weis ich auch nicht genau, wie ich hier
> dann jetzt weiter vorgehen soll...
Hallo,
irgendwie hätt' ich ja die ZSF mit der kompletten letzten Zeile gern gesehen hier...
Du solltest jetzt zunächst einmal in Deinem Skript/Buch oder was weiß ich dort nachschlagen, wo etwas erzählt wiird über die Lösbarkeit von linearen GSen und den Zusammenhang zum Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix.
Was erfährst Du dort über die Lösbarkeit?
Wann ist also Dein GS lösbar und wann nicht?
Gruß v. Angela
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Also ein lineares Gleichungssystem ist lösbar, wenn der rang der Koeffizientenmatrix = dem rang der erweiteren Koeffizientenmatrix ist.
Ich mache hier mal die Rangbestimmung der beiden:
1. Koeffizientenmatrix:
[mm] 2x_{1}+ x_{2}+ x_{3} [/mm]
[mm] 5x_{1}+ 4x_{2}- 5x_{3} [/mm]
[mm] 3x_{1}+2x_{2}- x_{3} [/mm]
Diese quadratische Matrix hat die Determinante 0 (ich habe diese nach dem Schema von Sarrus (Papula Band II) berechnet.
Diese Matrix besitzt den Rang Rg = 2, da mindestens eine von 0 verschiedenen zweireihige quadratische Matrix existiert
Beispiel:
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 5 & 4 } [/mm] --> det= 3
jetzt die erweitere Koeffizientenmatrix:
[mm] 2x_{1}+ x_{2}+ x_{3} [/mm] = -1
[mm] 5x_{1}+ 4x_{2}- 5x_{3} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
[mm] 3x_{1}+2x_{2}- x_{3} [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
aber wie soll ich denn hier jetzt mit 2 Variablen [mm] (\lambda [/mm] und [mm] \mu) [/mm] den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix herausfinden??
mfg,
Sebastian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Fr 21.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Also ein lineares Gleichungssystem ist lösbar, wenn der
> rang der Koeffizientenmatrix = dem rang der erweiteren
> Koeffizientenmatrix ist.
>
> Ich mache hier mal die Rangbestimmung der beiden:
>
> 1. Koeffizientenmatrix:
>
> [mm]2x_{1}+ x_{2}+ x_{3}[/mm]
> [mm]5x_{1}+ 4x_{2}- 5x_{3}[/mm]
> [mm]3x_{1}+2x_{2}- x_{3}[/mm]
>
> Diese quadratische Matrix hat die Determinante 0 (ich habe
> diese nach dem Schema von Sarrus (Papula Band II)
> berechnet.
>
> Diese Matrix besitzt den Rang Rg = 2, da mindestens eine
> von 0 verschiedenen zweireihige quadratische Matrix
> existiert
>
> Beispiel:
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 5 & 4 }[/mm] --> det= 3
>
> jetzt die erweitere Koeffizientenmatrix:
>
> [mm]2x_{1}+ x_{2}+ x_{3}[/mm] = -1
> [mm]5x_{1}+ 4x_{2}- 5x_{3}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
> [mm]3x_{1}+2x_{2}- x_{3}[/mm] = [mm]\mu[/mm]
>
> aber wie soll ich denn hier jetzt mit 2 Variablen [mm](\lambda[/mm]
> und [mm]\mu)[/mm] den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix
> herausfinden??
>
> mfg,
> Sebastian
Hallo,
wir waren schon mal weiter.
Die letzte Zeile (0 0 0 ...) bedeutet doch [mm] 0*x_1+0*x_2+0*x_3= [/mm] Term auf der rechten Seite.
Da man dir sogar schon die Rechenbefehle rangeschrieben hat, solltest du jetzt endlich mal fertig ausrechnen, was denn dann nun an Stelle der drei Punkte rechts übrigbleibt (wird irgendein Term mit [mm] \lambda [/mm] und/oder [mm] \mu [/mm] sein).
Gruß Abakus
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Die letzte Zeile lautet:
0 0 0 [mm] -4-2\mu
[/mm]
ist das so korrekt?
aber was sagt mir das jetzt?
...
moment, wenn ich das als Gleichung schreibe:
0= -4 - [mm] 2\mu [/mm] | *4
4= [mm] -2\mu [/mm] | /-2
-2 = [mm] \mu
[/mm]
ist das so richtig??
vielen Dank,
mfg,
Sebastian
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> Die letzte Zeile lautet:
>
> 0 0 0 [mm]-4-2\mu[/mm]
>
> ist das so korrekt?
Hallo,
das, was Du hier tust, ist für den, der Dir helfen möchte, sehr unbequem, denn sie müssen den ganzen Thread durchsuchen.
(Dein Rechner hat doch sicher auch eine Copy-Taste, oder?)
Wie lautete denn die Matrix davor? Wo ist Dein [mm] \lambda [/mm] geblieben?
>
> aber was sagt mir das jetzt?
Mal angnommen,
> 0 0 0 [mm]-4-2\mu[/mm]
wäre richtig.
>
> ...
>
> moment, wenn ich das als Gleichung schreibe:
>
> 0= -4 - [mm]2\mu[/mm] | +4
> 4= [mm]-2\mu[/mm] | /-2
> -2 = [mm]\mu[/mm]
>
> ist das so richtig??
Für [mm] \mu=2 [/mm] wäre dann der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem der erweiterten Matrix, und in diesem Falle wäre das System lösbar.
Hier müßten sich nun Überlgeungen bzgl. der Lösung anschließen.
Gruß v. Angela
>
> vielen Dank,
>
> mfg,
> Sebastian
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