Gleichungssystem u. a. < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 So 12.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Ich habe diesmal folgende Aufgabe:
a) Sei [mm] E\subset\IR^n [/mm] konvex, und seien [mm] ||*||_n [/mm] und [mm] ||*||_m [/mm] beliebige Normen des [mm] \IR^n [/mm] bzw. [mm] \IR^m. [/mm] Zeige, dass für jede differenzierbare Abbildung [mm] \Phi:E\to\IR^m [/mm] und alle x, y [mm] \in [/mm] E gilt:
[mm] ||\Phi(x)-\Phi(y)||_m\le\sup_{z\in E}||\Phi'(z)||_{n,m}||x-y||_n
[/mm]
Dass dieses hier gilt, hatte ich bei einer anderen Aufgabe schon benutzt... Es war mir also irgendwie klar. Aber wie beweise ich das?
Als erstes habe ich im Skript genau diese Stelle gefunden, und da steht was, dass das aus dem Mittelwertsatz folgt. Nun habe ich mir davon nochmal die Definition gesucht. Da waren aber die Voraussetzungen etwas anders. Etwas weiter unten im Buch steht aber der Schrankensatz. Ist das nicht genau der Beweise? Sieht jedenfalls sehr danach aus. Wenn es nötig ist, schreibe ich hier die Definition auch noch ab - genau so, wie ich sie hier finde.
Aber muss ich diesen Satz dann auch noch beweisen? Oder kann ich einfach schreiben, dass die Voraussetzungen eben die und die und somit genau die des Schrankensatzes sind und dass das dann daraus folgt? (für die ganze Aufgabe gibt es 10 Punkte... der Beweise des Schrankensatzes steht auch in meinem schlauen Buch)
b) Finde ein Gegenbeispiel zu a), falls E zusammenhängend, aber nicht konvex ist.
Ich weiß natürlich wieder nicht, wie ich mir eine Funktion auf einer nicht konvexen Menge vorstellen soll. Also eine konvexe Menge kann ich mir ja glaube ich schon vorstellen. Aber was ändert das an der Funktion, ob sie von einer konvexen oder nur einer zusammenhängenden Menge abbildet? Mmh. Hat jemand eine Idee, in welcher Richtung ich hier nach einen Gegenbeispiel suchen muss?
c) Zeige, dass das System
cos x -6x+2y=0
sin [mm] x+xy^2-8y=0
[/mm]
auf [mm] [0,1]^2 [/mm] eine eindeutige Lösung besitzt.
Hierzu steht eine Lösung im Skript, allerdings mit dem Newton-Verfahren, das wohl erst in der nächsten Stunde kommt. Aber wenn ich eine Lösung habe, heißt das doch nicht, dass es die einzige, also eine eindeutige ist!? Kann ich trotzdem die Lösung berechnen und dann noch zeigen, dass es die einzige ist? Oder geht das ganze auch ohne die Lösung zu berechnen?
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> a) Sei [mm]E\subset\IR^n[/mm] konvex, und seien [mm]||*||_n[/mm] und [mm]||*||_m[/mm]
> beliebige Normen des [mm]\IR^n[/mm] bzw. [mm]\IR^m.[/mm] Zeige, dass für jede
> differenzierbare Abbildung [mm]\Phi:E\to\IR^m[/mm] und alle x, y [mm]\in[/mm]
> E gilt:
> [mm]||\Phi(x)-\Phi(y)||_m\le\sup_{z\in E}||\Phi'(z)||_{n,m}||x-y||_n
[/mm]
>
>
> Dass dieses hier gilt, hatte ich bei einer anderen Aufgabe
> schon benutzt... Es war mir also irgendwie klar. Aber wie
> beweise ich das?
> Als erstes habe ich im Skript genau diese Stelle gefunden,
> und da steht was, dass das aus dem Mittelwertsatz folgt.
> Nun habe ich mir davon nochmal die Definition gesucht. Da
> waren aber die Voraussetzungen etwas anders. Etwas weiter
> unten im Buch steht aber der Schrankensatz. Ist das nicht
> genau der Beweise? Sieht jedenfalls sehr danach aus. Wenn
> es nötig ist, schreibe ich hier die Definition auch noch ab
> - genau so, wie ich sie hier finde.
> Aber muss ich diesen Satz dann auch noch beweisen? Oder
> kann ich einfach schreiben, dass die Voraussetzungen eben
> die und die und somit genau die des Schrankensatzes sind
> und dass das dann daraus folgt? (für die ganze Aufgabe gibt
> es 10 Punkte... der Beweise des Schrankensatzes steht auch
> in meinem schlauen Buch)
Du solltest den Mittelwertsatz benutzen dürfen und mit Hilfe des Mittelwertsatzes diese Ungleichung hier beweisen. Schreibst du den Beweis bitte mal hier rein? Dann sage ich dir, ob es so okay ist. 
> b) Finde ein Gegenbeispiel zu a), falls E zusammenhängend,
> aber nicht konvex ist.
>
> Ich weiß natürlich wieder nicht, wie ich mir eine Funktion
> auf einer nicht konvexen Menge vorstellen soll. Also eine
> konvexe Menge kann ich mir ja glaube ich schon vorstellen.
> Aber was ändert das an der Funktion, ob sie von einer
> konvexen oder nur einer zusammenhängenden Menge abbildet?
> Mmh. Hat jemand eine Idee, in welcher Richtung ich hier
> nach einen Gegenbeispiel suchen muss?
Du musst, anschaulich gesprochen, eine nicht-konvexe Menge und zwei Punkte so finden, dass die Verbindungsstrecke nicht in der Menge liegt und die Ableitung genau an den Stellen auf der Verbindungsstrecke groß wird, die nicht in der Menge liegen, und sonst überall auf der Menge klein. Nicht-konvexe Mengen sind zum Beispiel Kreisringe. Allerdings fällt mir jetzt auf die Schnelle auch kein vernünftiges Gegenbeispiel ein.
> c) Zeige, dass das System
> cos x -6x+2y=0
> sin [mm]x+xy^2-8y=0
[/mm]
> auf [mm][0,1]^2[/mm] eine eindeutige Lösung besitzt.
Du musst dieses Problem in ein Fixpunktproblem umformulieren.
Jedes Nullstellenproblem $F(z)=0$ kannst du im Falle der Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix $DF(z)$ an allen Stellen via
$z - [mm] (DF(z))^{-1} \cdot [/mm] F(z) = z [mm] \quad \Leftrightarrow \quad \Phi(z)=z$
[/mm]
mit [mm] $\Phi(z) [/mm] = z - [mm] (DF(z))^{-1} \cdot [/mm] F(z)$
in ein Fixpunktproblem umwandeln. (Das ist dann gerade die Iterationsgleichung des Newton-Verfahrens, aber du brauchst es hier ja nicht so zu nennen.  ) Überprüfe jetzt bitte: Sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:28 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> Liebe Christiane!
>
> > a) Sei [mm]E\subset\IR^n[/mm] konvex, und seien [mm]||*||_n[/mm] und
> [mm]||*||_m[/mm]
> > beliebige Normen des [mm]\IR^n[/mm] bzw. [mm]\IR^m.[/mm] Zeige, dass für
> jede
> > differenzierbare Abbildung [mm]\Phi:E\to\IR^m[/mm] und alle x, y
> [mm]\in[/mm]
> > E gilt:
> > [mm]||\Phi(x)-\Phi(y)||_m\le\sup_{z\in E}||\Phi'(z)||_{n,m}||x-y||_n
[/mm]
>
> Du solltest den Mittelwertsatz benutzen dürfen und mit
> Hilfe des Mittelwertsatzes diese Ungleichung hier beweisen.
> Schreibst du den Beweis bitte mal hier rein? Dann sage ich
> dir, ob es so okay ist.
Also, mit dem Mittelwertsatz komme ich hier nicht klar. Ich schreibe mal die Definition auf, die im Königsberger steht:
Es sei f eine reelle differenzierbare Funktion in einer offenen Menge [mm] U\subset\IR^n. [/mm] Ferner seien [mm] a,b\in [/mm] U Punkte, deren Verbindungsstrecke in U liegt. Dann gibt es einen Punkt [mm] \xi\in[a;b] [/mm] mit [mm] f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).
[/mm]
Nun hätte ich zwar eine diffbare Funktion [mm] \Phi [/mm] (was genau bedeutet denn reell diffbar?), über mein E weiß ich aber nicht, ob es offen ist oder nicht (oder folgt das aus der Konvexität???), allerdings ist [mm] E\subset\IR^n. [/mm] Dann würde also gelten:
[mm] \Phi(y)-\Phi(x)=\Phi'(\xi)(y-x)
[/mm]
Das ähnelt meiner Gleichung zwar schon, aber es fehlen sämtliche Normen und statt "=" brauche ich ja nur ein [mm] \le...
[/mm]
Beim Schrankensatz finde ich:
Eine [mm] \cal C^{1} [/mm] -Funktion [mm] f:U\to\IC [/mm] auf einer offenen Menge U ist auf jeder kompakten konvexen Teilmenge [mm] K\subset [/mm] U Lipschitz-stetig. Genauer: Mit
[mm] ||f'||_K:=\max_{\xi\in K} ||f'(\xi)||_{1,K}=\max_{\xi\in K}(|\partial_1 f(\xi)+...+|\partial_n f(\xi)|) [/mm] gilt für beliebige [mm] x,y\in [/mm] K
[mm] |f(y)-f(x)|\le||f'||_K *||y-x||_\infty
[/mm]
Hier hätte ich mein [mm] \Phi\in\cal C^1, \Phi:E\to\IR^m [/mm] (kann man das mit [mm] \IC [/mm] gleichsetzen?), E ist konvex, ist E auch kompakt???
Brauche ich ein U oder reicht es, dass [mm] E\subset\IR^n, [/mm] d.h. ich könnte ja theoretisch auch E=U nehmen, oder?
Jedenfalls würde dann ja gelten:
[mm] ||\Phi(y)-\Phi(x)||_m\ [/mm] le [mm] ||\Phi'||_n ||y-x||_n
[/mm]
ob hier ||x-y|| oder ||y-x|| steht ist doch egal, das ist doch das Gleiche!?
Jedenfalls würde hieraus direkt folgen, was ich zeigen soll, denn wenn der linke Teil [mm] \le [/mm] dem rechten ist, dann ist er automatisch auch [mm] \le [/mm] dem sup des rechten.
Mmh, bist du also sicher, dass ich mit dem Mittelwertsatz beweisen muss?
>
> > b) Finde ein Gegenbeispiel zu a), falls E
> zusammenhängend,
> > aber nicht konvex ist.
> >
> Du musst, anschaulich gesprochen, eine nicht-konvexe Menge
> und zwei Punkte so finden, dass die Verbindungsstrecke
> nicht in der Menge liegt und die Ableitung genau an den
> Stellen auf der Verbindungsstrecke groß wird, die nicht in
> der Menge liegen, und sonst überall auf der Menge klein.
> Nicht-konvexe Mengen sind zum Beispiel Kreisringe.
> Allerdings fällt mir jetzt auf die Schnelle auch kein
> vernünftiges Gegenbeispiel ein.
Also, ich stelle mir jetzt vor, dass eine Funktion auf einer nicht konvexen Menge nur auf Elementen dieser Menge definiert ist. Das ist doch richtig so!? Aber irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, wie dann eine Abbildung dazu aussieht. Und schon gar nicht, wie die Ableitung davon dann aussieht. Hast du nicht ein Beispiel für eine Funktion auf einer konvexen Menge? Nur, damit ich mir das irgedwie vorstellen kann...
> > c) Zeige, dass das System
> > cos x -6x+2y=0
> > sin [mm]x+xy^2-8y=0
[/mm]
> > auf [mm][0,1]^2[/mm] eine eindeutige Lösung besitzt.
>
> Du musst dieses Problem in ein Fixpunktproblem
> umformulieren.
>
> Jedes Nullstellenproblem [mm]F(z)=0[/mm] kannst du im Falle der
> Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix [mm]DF(z)[/mm] an allen Stellen
Also ist [mm] F(z)=\pmat{cosx-6x+2y\\sinx+xy^2-8y}
[/mm]
und
[mm] DF(z)=\pmat{-sinx-6 & 2 \\ cosx+y^2 & 2xy-8}
[/mm]
Nun habe ich aber schon ein Problem mit der Invertierbarkeit... Es muss doch gelten:
[mm] det(DF(z))\not= [/mm] 0 Aber die Determinante hängt doch von x und y ab, kann ich dann herausfinden, dass sie [mm] \forall [/mm] x und [mm] \forall [/mm] y [mm] \not= [/mm] 0 wird?
Irgendwie habe ich da gerade ein Brett vor dem Kopf... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> via
>
> [mm]z - (DF(z))^{-1} \cdot F(z) = z \quad \Leftrightarrow \quad \Phi(z)=z[/mm]
>
>
> mit [mm]\Phi(z) = z - (DF(z))^{-1} \cdot F(z)[/mm]
Also, wie du auf z - [mm] (DF(z))^{-1} \cdot [/mm] F(z) = z kommst, verstehe ich nicht. Hat das auch was mit dem Newton-Verfahren zu tun? Was dann [mm] \Phi [/mm] sein muss, ist klar.
> in ein Fixpunktproblem umwandeln. (Das ist dann gerade die
> Iterationsgleichung des Newton-Verfahrens, aber du brauchst
> es hier ja nicht so zu nennen. ) Überprüfe jetzt bitte:
> Sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes
> erfüllt?
So, also nun zu den Voraussetzungen:
kontrahierende Selbstabbildung auf einem vollständigen metrischen Raum
geht [mm] \Phi [/mm] von [mm] [0,1]^2\to[0,1]^2? [/mm] dann wäre die Selbstabbildung ja schon mal da (und Teilmenge vollständiger metrischer Räume sind wieder vollständige metrische Räume, war das so? Also [mm] [0,1]^2\subset\IR^2)
[/mm]
auf die Kontraktion komme ich noch nicht so ganz. Es muss ja gelten: [mm] \exists 0<\lambda<1 [/mm] so dass:
[mm] |\Phi(x)-\Phi(y)|\le\lambda|x-y|
[/mm]
geht das einfach durch einsetzen?
Stimmt dann Folgendes:
[mm] DF(x)=\pmat{-sinx-6\\cosx+y^2}
[/mm]
[mm] DF(y)=\pmat{2\\2xy-8}
[/mm]
und wie invertiere ich das?
Ich hoffe, das waren jetzt nicht wieder zu viele Fragen auf einmal...
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
P.S.: Ich hoffe, man kann alles lesen, es dauert wieder so lange...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich habe leider keine Zeit mich mit deiner Aufgabe zu beschäftigen - weder heute noch morgen noch vermutlich den ganzen Rest der Woche. Aber ich denke mal, irgendjemand der über 3000 Mitglieder hier wird dir schon helfen können.
Zur a) kann ich nur sagen, bedeutet die Differenzierbarkeit auf einer nicht-offenen Mengen $E$ des [mm] $\IR^n$ [/mm] üblicherweise die Differenzierbarkeit auf einer offenen Umgebung von $E$: du kannst den Mittelwertsatz also anwenden. Direkt den Schrankensatz anzuwenden, wäre seltsam - denn dann wäre ja nichts zu zeigen (man übernimmt den Beweis mehr oder weniger einfach und ersetzt das Maximum, das wegen der nicht-vorhandenen Kompaktheit nicht existieren muss, durch ein Supremum).
Zur b): Hier verstehe ich dein Problem nicht. Ein Funktion auf einer konvexen Menge ist einfach eine Funktion auf dem [mm] $\IR^n$, [/mm] eingeschränkt auf die konvexe Menge. Klar?
Zur c): Hier bringt mein Ansatz anscheinend (auf den ersten Blick zumindestens) nicht viel. :-( Ich dachte es würde klappen, weil du ja sagst, damit würde später im Skript das Newton-Verfahren durchgeführt. Wird denn dort nicht die Konvergenz des Newton-Verfahrens bewiesen? Naja, dann habe ich keine Idee.
Wie gesagt, mir fehlt die Zeit darüber (und über weitere Aufgaben) nachzudenken, aber das wird ja dann ein anderer tun, denke (hoffe!) ich mal. Hinzu kommt, dass ich mich zum letzten Mal vor neun Jahren mit Numerik beschäftigt und somit nahezu keine Ahnung davon habe. Daher sollte es besser jemand mal übernehmen, der das gerade erst gemacht hat. Ich helfe aber weiterhin, wenn ich Zeit habe und mich in einzelnen Bereichen einigermaßen kompetent fühle.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich habe mir jetzt doch ein wenig Zeit genommen und die c) gelöst, denke ich mal.
Wir hatten das folgende System auf [mm] $[0,1]^2$:
[/mm]
[mm] $\cos(x) [/mm] -6x +2y=0$
[mm] $\sin(x)+xy^2-8y=0$.
[/mm]
Ich schreibe dieses System mal ein bisschen um:
$x = [mm] \frac{y}{3} [/mm] + [mm] \frac{\cos(x)}{6}$
[/mm]
$y = [mm] \frac{xy^2 + \sin(x)}{8}$.
[/mm]
Wir haben also ein Fixpunktproblem auf [mm] $[0,1]^2$:
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \Phi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right)$
[/mm]
mit
[mm] $\Phi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{y}{3} + \frac{\cos(x)}{6} \\ \frac{xy^2 + \sin(x)}{8} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Wir wissen nach Aufgabenteil a), da [mm] $[0,1]^2$ [/mm] konvex ist, dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes dann erfüllt sind, wenn
[mm] $\sup\limits_{(x,y)^T \in [0,1]^2} \left\Vert \Phi'((x,y)^T ) \right\Vert_{\infty,\infty} [/mm] < [mm] \red{1}$
[/mm]
gilt. Hierbei ist [mm] $\Vert \cdot \Vert_{\infty,\infty}$ [/mm] die durch die Supremumsnorm induzierte Matrixnorm auf dem Raum der reellen $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen, also die Zeilensummennorm auf dem Raum der reellen $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen. Es gilt also:
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{\infty,\infty} [/mm] = [mm] \max\{|a_{11}| + |a_{12}|, |a_{21}| + |a_{22}|\}$.
[/mm]
Rechnen wir doch mal die Jacobi-Matrix an einer beliebigen Stelle [mm] $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ [/mm] aus:
[mm] $\Phi'\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{-\sin(x)}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{y^2 + \cos(x)}{8} & \frac{xy}{4} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Wir erhalten also:
[mm] $\left\Vert \Phi'\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty,\infty} [/mm] = [mm] \max\left\{\left|\frac{-\sin(x)}{6} \right| + \left| \frac{1}{3}\right| , \left| \frac{y^2 + \cos(x)}{8} \right| + \left| & \frac{xy}{4} \right| \right\}$.
[/mm]
Nun gilt aber für alle $ [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in [0,1]^2$:
[/mm]
[mm] $\left|\frac{-\sin(x)}{6} \right| [/mm] + [mm] \left| \frac{1}{3}\right| \le \frac{1}{6} [/mm] + [mm] \frac{1}{3} [/mm] < 1$
und
$ [mm] \left|\frac{y^2 + \cos(x)}{8} \right| [/mm] + [mm] \left| & \frac{xy}{4} \right| \le \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{4} [/mm] <1$,
also:
[mm] $\sup\limits_{(x,y)^T \in [0,1]^2} \left\Vert \Phi'\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty,\infty} [/mm] < 1$,
womit die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktes erfüllt sind, so dass das Fixpunkproblem eine eindeutige Lösung besitzt.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Also, das meiste ist jetzt klar!
> Ich habe mir jetzt doch ein wenig Zeit genommen und die c)
> gelöst, denke ich mal.
Danke, aber du musst dich nicht verpflichtet dazu fühlen! Aber ich habe mich natürlich riesig gefreut! Vor allem, weil ich nach deinem ersten Tipp wohl in einer anderen Richtung nach der Lösung gesucht hätte.
> Wir hatten das folgende System auf [mm][0,1]^2[/mm]:
>
> [mm]\cos(x) -6x +2y=0[/mm]
> [mm]\sin(x)+xy^2-8y=0[/mm].
>
> Ich schreibe dieses System mal ein bisschen um:
>
> [mm]x = \frac{y}{3} + \frac{\cos(x)}{6}[/mm]
> [mm]y = \frac{xy^2 + \sin(x)}{8}[/mm].
>
>
> Wir haben also ein Fixpunktproblem auf [mm][0,1]^2[/mm]:
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \Phi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right)[/mm]
>
>
> mit
>
> [mm]\Phi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} \frac{y}{3} + \frac{\cos(x)}{6} \\ \frac{xy^2 + \sin(x)}{8} \end{pmatrix}[/mm].
>
>
> Wir wissen nach Aufgabenteil a), da [mm][0,1]^2[/mm] konvex ist,
> dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes
> dann erfüllt sind, wenn
>
> [mm]\sup\limits_{(x,y)^T \in [0,1]^2} \left\Vert \Phi'((x,y)^T ) \right\Vert_{\infty,\infty} < \infty[/mm]
Das muss doch heißen <1, oder? Nicht [mm] <\infty!? [/mm] Schließlich zeigen wir ja auch, dass es <1 ist...
> gilt. Hierbei ist [mm]\Vert \cdot \Vert_{\infty,\infty}[/mm] die
> durch die Supremumsnorm induzierte Matrixnorm auf dem Raum
> der reellen [mm]2 \times 2[/mm]-Matrizen, also die Zeilensummennorm
> auf dem Raum der reellen [mm]2 \times 2[/mm]-Matrizen. Es gilt
> also:
>
> [mm]\Vert A \Vert_{\infty,\infty} = \max\{|a_{11}| + |a_{12}|, |a_{21}| + |a_{22}|\}[/mm].
>
>
> Rechnen wir doch mal die Jacobi-Matrix an einer beliebigen
> Stelle [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm] aus:
>
> [mm]\Phi'\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} \frac{-\sin(x)}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{y^2 + \cos(x)}{8} & \frac{xy}{4} \end{pmatrix}[/mm].
>
>
> Wir erhalten also:
>
> [mm]\left\Vert \Phi'\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty,\infty} = \max\left\{\left|\frac{-\sin(x)}{6} \right| + \left| \frac{1}{3}\right| , \left| \frac{y^2 + \cos(x)}{8} \right| + \left| & \frac{xy}{4} \right| \right\}[/mm].
>
>
> Nun gilt aber für alle [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in [0,1]^2[/mm]:
>
>
> [mm]\left|\frac{-\sin(x)}{6} \right| + \left| \frac{1}{3}\right| \le \frac{1}{6} + \frac{1}{3} < 1[/mm]
>
>
> und
>
> [mm]\left|\frac{y^2 + \cos(x)}{8} \right| + \left| & \frac{xy}{4} \right| \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} <1[/mm],
>
>
> also:
>
> [mm]\sup\limits_{(x,y)^T \in [0,1]^2} \left\Vert \Phi'\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty,\infty} < 1[/mm],
>
>
> womit die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktes
> erfüllt sind, so dass das Fixpunkproblem eine eindeutige
> Lösung besitzt.
Aber irgendwie gefällt mir das Prinzip, ein Problem einfach in ein Fixpunktproblem zu verwandeln, dann nur die Voraussetzungen zu zeigen, und schon gilt alles Mögliche nach dem Banachschen Fixpunktsatz.
Danke für deine Mühe! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Viele liebe Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ja, ich verbessere es gleich. Danke!
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Kaum geht es mir wieder besser, bin auch wieder zu besseren Leistungen in der Lage.
Also, hier das Gegenbeispiel, gerade von mir überlegt:
Wähle
$E:= [mm] \{(x,y)^T\in \IR^2 : 1 < \Vert (x,y)^T \Vert_{\infty} < 2\}$
[/mm]
und
[mm] $\Phi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{x}$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\Phi' \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} - \frac{1}{x^2} & 0 \end{pmatrix}$,
[/mm]
also wegen [mm] $\frac{1}{x^2} \le [/mm] 1$ für alle [mm] $(x,y)^T \in [/mm] E$:
[mm] $\sup\limits_{(x,y)^T \in E} \left\Vert \Phi' \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty,\infty} \le [/mm] 1$.
Wähle nun [mm] $\begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \in [/mm] E$ und [mm] $\begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \in [/mm] E$.
Dann gilt:
[mm] $\left\Vert \Phi \left( \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} \right) - \Phi\left( \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty}$
[/mm]
[mm] $\left\vert \Phi \left( \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} \right) - \Phi\left( \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} \right) \right\vert$
[/mm]
(die Supremumsnorm auf [mm] $\IR$ [/mm] ist der Betrag!)
$= [mm] \left\vert \Phi\left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \right) - \Phi \left( \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ 0 \end{pmatrix}\right) \right\vert$
[/mm]
$= [mm] \left\vert \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \right\vert [/mm] = 3$,
aber:
$ [mm] \sup\limits_{(x,y)^T \in E} \left\Vert \Phi' \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty,\infty} \cdot \left\Vert \left( \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} \right) - \left( \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty}$
[/mm]
[mm] $\le \left\Vert \left( \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} \right) - \left( \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty}$
[/mm]
[mm] $\le \left\Vert \left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\0 \end{pmatrix} \right) - \left( \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \right) \right\Vert_{\infty}$
[/mm]
$= [mm] \frac{4}{3}$
[/mm]
$<3_$.
Strike!!!! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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