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| Aufgabe | Gegeben sind die Gleichungssysteme
a)
6x1+2x2+10x3+12x4=24
12x1+8x2+28x3+24x4=36
18x1+8x2+34x3+36x4=42
b)
12x1+4x2+9x3=17
16x1+16x2+12x3=44
12x1+10x2+12x3=32
16x1+8x2+18x3=34
8x1+4x2+3x3=11
20x1+8x2+12x3=28
Lösen Sie die Gleichungssystem - soweit möglich - unnd interpretieren sie die Lösbarkeit anhand der Ränge und Koeffizienten- und Systemmatrix. Was können Sie über die Lösung der entsprechenden homogenen Probleme aussagen? |
Meine Lösung für a)
[mm] \pmat{ 6 & 2 & 10 & 12 \\ 12 & 8 & 28 & 24\\ 18 & 8 & 34 & 36 } \pmat{ 24\\ 36\\ 42 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1/3 & 10/6 & 2 \\ 0 & 4 & 8 & 0\\ 0 & 2 & 4 & 0 } \pmat{ 4\\ -12\\ -30 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 } \pmat{ 5\\ -3\\ -24 }
[/mm]
und b)
[mm] \pmat{ 12 & 4 & 9\\ 16 & 16 & 12\\ 12 & 10 & 12\\ 16 & 8 & 18\\ 8 & 4 & 3\\ 20 & 8 & 12 } \pmat{ 17\\ 44\\ 32\\ 34\\ 11\\ 28 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1/3 & 3/4\\ 10 & 32/3 & 0\\ 0 & 6 & 3\\ 0 & 8/3 & 6\\ 0 & 4/3 & -3\\ 0 & 4/3 & -3 } \pmat{ 17/12\\ 64/3\\ 15\\ 34/3\\ -1/3\\ -1/3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3/4\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & -3 } \pmat{ 3/4\\ 2\\ 3\\ 6\\ -3\\ -3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 } \pmat{ 0\\ 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0\\ 2\\ 1\\ }
[/mm]
Jedoch komm ich mit den theoretischen Fragen nicht zu recht, da bräuchte ich Hilfe.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 11.05.2006 | | Autor: | Wolferl |
> Gegeben sind die Gleichungssysteme
> a)
> 6x1+2x2+10x3+12x4=24
> 12x1+8x2+28x3+24x4=36
> 18x1+8x2+34x3+36x4=42
> b)
> 12x1+4x2+9x3=17
> 16x1+16x2+12x3=44
> 12x1+10x2+12x3=32
> 16x1+8x2+18x3=34
> 8x1+4x2+3x3=11
> 20x1+8x2+12x3=28
>
> Lösen Sie die Gleichungssystem - soweit möglich - unnd
> interpretieren sie die Lösbarkeit anhand der Ränge und
> Koeffizienten- und Systemmatrix. Was können Sie über die
> Lösung der entsprechenden homogenen Probleme aussagen?
> Meine Lösung für a)
>
> [mm]\pmat{ 6 & 2 & 10 & 12 \\ 12 & 8 & 28 & 24\\ 18 & 8 & 34 & 36 } \pmat{ 24\\ 36\\ 42 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1/3 & 10/6 & 2 \\ 0 & 4 & 8 & 0\\ 0 & 2 & 4 & 0 } \pmat{ 4\\ -12\\ -30 }[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 } \pmat{ 5\\ -3\\ -24 }[/mm]
>
>
> und b)
>
> [mm]\pmat{ 12 & 4 & 9\\ 16 & 16 & 12\\ 12 & 10 & 12\\ 16 & 8 & 18\\ 8 & 4 & 3\\ 20 & 8 & 12 } \pmat{ 17\\ 44\\ 32\\ 34\\ 11\\ 28 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1/3 & 3/4\\ 10 & 32/3 & 0\\ 0 & 6 & 3\\ 0 & 8/3 & 6\\ 0 & 4/3 & -3\\ 0 & 4/3 & -3 } \pmat{ 17/12\\ 64/3\\ 15\\ 34/3\\ -1/3\\ -1/3 }[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3/4\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & -3 } \pmat{ 3/4\\ 2\\ 3\\ 6\\ -3\\ -3 }[/mm]
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 } \pmat{ 0\\ 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 }[/mm]
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0\\ 2\\ 1\\ }[/mm]
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> Jedoch komm ich mit den theoretischen Fragen nicht zu
> recht, da bräuchte ich Hilfe.
>
> Danke!
Hallo alexchill,
erstmal gehe ich davon aus, dass mit Systemmatrix die erweiterte Koeffizientenmatrix gemeint ist, die Du bekommst, wenn Du die rechstsstehende 1-spaltige Matrix der Inhomogenität (die Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen) an die Koeffizientenmatrix einfach als neue Spalte dranhängst.
Für das Gleichungssystem hast Du dann also, nachdem Du alles fertiggerechnet hast
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 1 & 2 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -24}[/mm]
als Systemmatrix.
Nun ist es wichtig zu wissen, dass der Rang einer Matrix gleich der Anzahl der Zeilen mit Elementen ungleich Null ist, wenn die Matriz so weit wie möglich Diagonalisiert ist, d.h. auf die einfachste Form gebracht ist.
Wenn das alles Klar ist, dann lässt sich mit den Rängen der Koeffizientenmatrix und der Systemmatrix eine schöne Aussage für inhomogene Gleichungssysteme treffen:
Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix nicht gleich dem Rang der Systemmatrix ist (wie in a.)), dann ist das zugehörige Gleichungssystem unlösbar. Andernfalls ist es lösbar (wie in b.)).
Haben beide Matrizen den gleichen Rang und ist der Rang gleich der Anzahl der Zeilen der Matrizen, dann ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar (ist in b.) so). Wenn der Rang kleiner als die Anzahl der Zeiloen ist (wenn also ein oder mehrere Zeilen mit Nullen auftauchen), dann ist das System nicht eindeutig lösbar.
Wie sieht das nun bei homogenen Gleichungssystemen (rechte Seite gleich Null) aus? Da ist ja die Koeffizientenmatrix gleich der Systemmatrix, es gibt also keinen unterschiedlichen Ränge.
Wenn da der Rang der Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist, dann gibt es nur die triviale Lösung, d.h. die Lösung, dass alle Variablen Null sind (ist so bei b.) als homogenem System).
Wenn da der Rang der Matrix kleiner als die Anzahl der Zeilen ist, dann gibt es auch noch andere (nicht eindeutig bestimmte) Lösungen (ist so bei a.) als homogenem System).
So, dass war jetzt viel zu lesen, ist aber auch alles, was zu dazu wissen mußt.
Ich hoffe, dass es weitergeholfen hat,
Liebe Grüße, Wolferl
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Erstmal Danke für deine Antwort.
Ich hab ein bischen im Internet geforscht und versuch es jetzt mal selbst zusammen zufassen:
bei a)
Rang KM= 2 und Rang SM=3 d.h. 2<3
D.h. bei inhomogenen Gleichungssystem gibt es keine Lösung
Bei einem homogenen Gleichunggsystem gibt es zwar eine Lösung, aber wie berechne ich die?
bei b)
Rang KM=3 und Rang SM=3 ,also 3=3
d.h. inhomogen eindeutige Lösung: x= [mm] \pmat{ 0 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
und homogen: nur die triviale Lösung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:08 So 14.05.2006 | | Autor: | Wolferl |
hallo alexchill,
völlig korrekt alles ...
Um Deine Frage nach der Lösung des homogenen Gleichungssystems in a.) zu beantworten, ist es das beste, die zugehörige Matrix in das Gleichungssystem zurück zu übersetzen:
[mm] x_1 + x_3 + 2x_4 = 0[/mm]
[mm] x_2 + 2x_3 = 0[/mm]
Es sind also zwei Gleichungen übrig geblieben, in denen 4 Variable vorkommen. Um 4 Variablen festzulegen (eine eindeutige Lösung zu finden), braucht es aber 4 Gleichungen. Da wir aber nur 2 Gleichungen haben, bleiben 2 Variablen offen. D.h. sie bleiben frei wählbar. Also kannst Du in diesem Fall zwei Variablen als Funktion der anderen beiden Variablen schreiben. Welche der Variablen [mm]x_1[/mm], [mm]x_2[/mm], [mm]x_3[/mm] oder [mm]x_4[/mm] dabei welche Rolle übernimmt, bleibt dir überlassen.
Ich freue mich, Dir geholfen zu haben und deine Frage damit beantwortet zu haben.
Liebe Grüße, Wolferl
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