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Gleichungssysteme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 So 23.05.2004
Autor: michael7

Hallo,

ich werde hier langsam Stammkunde ;-), aber ich komme einfach nicht weiter.

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

I $3x+2y=3$
II $xy=3$

Zuerst loest man I nach $y$ auf und erhaelt [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$. [/mm] Das setzt man in II ein und erhaelt schliesslich [mm] $x^2-x+2=0$. [/mm] Mit der p-q-Formel bekommt man [mm] $x_1=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] als die zu [mm] $x_1$ [/mm] konjugiert komplexe Zahl.

Jetzt dachte ich eigentlich, dass man [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] in eine der beiden Gleichungen I oder II einsetzen und somit [mm] $y_1$ [/mm] bzw. [mm] $y_2$ [/mm] ermitteln kann. Bei II funktioniert das auch:

$xy=3 [mm] \gdw y=\frac{3}{x}=\frac{3}{\frac{1+\sqrt{7}i}{2}}=\frac{6}{1+\sqrt{7}i}$ [/mm]

Bei I komme ich allerdings nicht auf das richtige Ergebnis:

$3x+2y=3 [mm] \gdw y=\frac{3-3x}{2}=\frac{3-3(\frac{1+\sqrt{7}i}{2})}{2}=\frac{6-3(1+\sqrt{7}i)}{4}=\frac{3-3\sqrt{7}i}{4}$ [/mm]

Habe ich mich hier verrechnet (habe es jetzt schon mehrere male von neuem berechnet und auch eine andere Aufgabe gerechnet, bei der das selbe Problem auftritt)?

Ach ja, beim Gleichungssystem

I $x+y=1$
II [mm] $x^2+y^2=13$ [/mm]

(das als Beispiel im Buch vorhanden ist) klappt das ganze.

Sieht jemand den Fehler?

Michael

        
Bezug
Gleichungssysteme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 So 23.05.2004
Autor: Paulus

Hallo Michael

du Stammkunde ;-)

> Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:
>  
> I $3x+2y=3$
>  II $xy=3$
>  
> Zuerst loest man I nach $y$ auf und erhaelt
> [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$. [/mm] Das setzt man in II ein und erhaelt
> schliesslich [mm] $x^2-x+2=0$. [/mm] Mit der p-q-Formel bekommt man
> [mm] $x_1=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] als die zu [mm] $x_1$ [/mm]
> konjugiert komplexe Zahl.
>  

[ok]

> Jetzt dachte ich eigentlich, dass man [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] in
> eine der beiden Gleichungen I oder II einsetzen und somit
> [mm] $y_1$ [/mm] bzw. [mm] $y_2$ [/mm] ermitteln kann. Bei II funktioniert das
> auch:
>  
> $xy=3 [mm] \gdw [/mm]
> [mm] y=\frac{3}{x}=\frac{3}{\frac{1+\sqrt{7}i}{2}}=\frac{6}{1+\sqrt{7}i}$ [/mm]
>  
> Bei I komme ich allerdings nicht auf das richtige
> Ergebnis:
>  
> $3x+2y=3 [mm] \gdw [/mm]
> [mm] y=\frac{3-3x}{2}=\frac{3-3(\frac{1+\sqrt{7}i}{2})}{2}=\frac{6-3(1+\sqrt{7}i)}{4}=\frac{3-3\sqrt{7}i}{4}$ [/mm]
>  
> Habe ich mich hier verrechnet (habe es jetzt schon mehrere
> male von neuem berechnet und auch eine andere Aufgabe
> gerechnet, bei der das selbe Problem auftritt)?
>  

Nein, du hast dich nicht verrechnet!

Ich denke, man sollte sich generell angewöhnen, die Wurzeln aus dem Nenner eines Bruches durch geschicktes Erweitern zu eliminieren:

[mm]\bruch{1}{a+b\wurzel{c}} = \bruch{a-b\wurzel{c}}{(a+b\wurzel{c})*(a-b\wurzel{c})} = \bruch{a-b\wurzel{c}}{a^2-b^{2}c} [/mm]

Auf deine obige Lösung übertragen ergibt sich dann wohl:

[mm]y = \bruch{6}{1+\wurzel{7}i} = \bruch{6*(1-\wurzel{7}i)}{(1+\wurzel{7}i)(1-\wurzel{7}i)} = \bruch{6*(1-\wurzel{7}i)}{8}[/mm]

Was offensichtlich dasselbe ist wie das Ergebnis, das du nach Einsetzen in Gleichung II) erhalten hast. :-)

Uebrigens: ich hätte nicht in I) eingesetzt, da du doch bereits I) nach y aufgelöst hattest:  

[mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$ [/mm]

Liebe Grüsse

Bezug
                
Bezug
Gleichungssysteme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:39 So 23.05.2004
Autor: michael7

Hallo Paulus,

> > Bei I komme ich allerdings nicht auf das richtige
> > Ergebnis:
>  >  
> > $3x+2y=3 [mm] \gdw [/mm]
> >
> [mm] y=\frac{3-3x}{2}=\frac{3-3(\frac{1+\sqrt{7}i}{2})}{2}=\frac{6-3(1+\sqrt{7}i)}{4}=\frac{3-3\sqrt{7}i}{4}$ [/mm]
>  >  
> > Habe ich mich hier verrechnet (habe es jetzt schon
> mehrere
> > male von neuem berechnet und auch eine andere Aufgabe
> > gerechnet, bei der das selbe Problem auftritt)?
>  >  
>
> Nein, du hast dich nicht verrechnet!
>  
> Ich denke, man sollte sich generell angewöhnen, die Wurzeln
> aus dem Nenner eines Bruches durch geschicktes Erweitern zu
> eliminieren:
>  
> [mm]\bruch{1}{a+b\wurzel{c}} = \bruch{a-b\wurzel{c}}{(a+b\wurzel{c})*(a-b\wurzel{c})} = \bruch{a-b\wurzel{c}}{a^2-b^{2}c}[/mm]
>  
>
> Auf deine obige Lösung übertragen ergibt sich dann wohl:
>  
> [mm]y = \bruch{6}{1+\wurzel{7}i} = \bruch{6*(1-\wurzel{7}i)}{(1+\wurzel{7}i)(1-\wurzel{7}i)} = \bruch{6*(1-\wurzel{7}i)}{8}[/mm]
>  
>
> Was offensichtlich dasselbe ist wie das Ergebnis, das du
> nach Einsetzen in Gleichung II) erhalten hast. :-)

Oh, daran hatte ich jetzt wirklich nicht gedacht. Danke!
  

> Uebrigens: ich hätte nicht in I) eingesetzt, da du doch
> bereits I) nach y aufgelöst hattest:  
>
>
> [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$ [/mm]

Wieso das? Entstehen irgendwelche Nachteile wenn ich I) verwende und ich die Gleichung bereits nach y aufgeloest hatte oder wieso wuerdest Du I) nicht nehmen?

Michael

Bezug
                        
Bezug
Gleichungssysteme: (editiert)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:51 So 23.05.2004
Autor: Stefan

Lieber Michael,

> Wieso das? Entstehen irgendwelche Nachteile wenn ich I)
> verwende und ich die Gleichung bereits nach y aufgeloest
> hatte oder wieso wuerdest Du I) nicht nehmen?

Nein, und in diesem Fall macht es auch keinen großen Unterschied.

Liebe Grüße
Stefan  


Bezug
                                
Bezug
Gleichungssysteme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:20 Mo 24.05.2004
Autor: michael7

Hallo Stefan,

> Aber im Allgemeinen ist es natürlich zweckmäßig, diejenige
> Variable, nach der man zunächst aufgelöst hat, einzusetzen
> und nicht etwas zweimal nach der gleichen Variablen
> aufzulösen und die beiden "rechten Seiten"
> gleichzusetzen.

also entweder ist es schon zu spaet und ich stehe auf dem Schlauch oder sollte der Satz von Paul

"Uebrigens: ich hätte nicht in I) eingesetzt, da du doch bereits I) nach y aufgelöst hattest"

so lauten:

"Uebrigens: ich hätte nicht in II) eingesetzt, da du doch bereits I) nach y aufgelöst hattest"

Falls ja, dann ist alles klar.

Michael

Bezug
                                        
Bezug
Gleichungssysteme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:36 Mo 24.05.2004
Autor: Stefan

Sorry,

es ist wirklich schon spät. Mein Kommentar machte irgendwie keinen rechten Sinn. ;-)

Am besten ist, Paul sagt selber noch einmal, was er genau meinte.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                        
Bezug
Gleichungssysteme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:24 Mo 24.05.2004
Autor: Paulus

Hallo Michael

entschuldige bitte die kleine Verwirrung. Ich habe mich auf deinen folgenden Kommentar bezogen:

--------------- Zitat-Anfang ------------

Zuerst loest man I nach $y$ auf und erhaelt [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$. [/mm] Das setzt man in II ein und erhaelt schliesslich [mm] $x^2-x+2=0$. [/mm] Mit der p-q-Formel bekommt man [mm] $x_1=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] als die zu [mm] $x_1$ [/mm] konjugiert komplexe Zahl.

Jetzt dachte ich eigentlich, dass man [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] in eine der beiden Gleichungen I oder II einsetzen und somit [mm] $y_1$ [/mm] bzw. [mm] $y_2$ [/mm] ermitteln kann.
--------------- Zitat-Ende ------------

Du schreibst dabei ganz am Anfang, dass du I) nach $y$ auflöst, und dann am Ende, dass man [mm] $x_1$ [/mm] oder [mm] $x_2$ [/mm] in Gleichung I) einsetzt.

... und dabei dachte ich mir, es könnte ja sein (im Allgemeinen), dass das Auflösen nach $y$ in der 1. Gleichung recht aufwändig sein könne. Wenn du nun dein [mm] $x_1$ [/mm] oder [mm] $x_2$ [/mm] in I) einsetzt, musst du das ganze Auflösen nach $y$ nochmals durchführen!

Da du aber das Ganze schon gemacht hast, (in diesem Beispiel: [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$, [/mm] kannst du doch einfach hier einsetzen und nicht bei der ursprünglichen Gleichung I) :-)

Zugegeben, in diesem Beispiel bedeutet das keine grosse Erleichterung, aber so allgemein gesprochen... ;-)

Liebe Grüsse

Bezug
                                                
Bezug
Gleichungssysteme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Mo 24.05.2004
Autor: michael7

Hallo Paul,

> ... und dabei dachte ich mir, es könnte ja sein (im
> Allgemeinen), dass das Auflösen nach $y$ in der 1.
> Gleichung recht aufwändig sein könne. Wenn du nun dein
> [mm] $x_1$ [/mm] oder [mm] $x_2$ [/mm] in I) einsetzt, musst du das ganze
> Auflösen nach $y$ nochmals durchführen!
>  
> Da du aber das Ganze schon gemacht hast, (in diesem
> Beispiel: [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$, [/mm] kannst du doch einfach hier
> einsetzen und nicht bei der ursprünglichen Gleichung I)
> :-)

ach so. Danke fuer die "Entwirrung". ;-)

Danke auch nochmal an alle anderen!

Michael

Bezug
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