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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Cyborg |
| Aufgabe | X und Y seien unabhängige Zufallsvariablen. X besitze eine diskrete Gleichverteilung auf einer endlichen multiplikativen Gruppe G. Y besitze eine beliebige diskrete Verteilung auf G.
Zeigen Sie:
XY ist gleichverteilt auf G |
Mit der Unabhängigkeit gilt:
P (X=xi,Y=yi) = P(X=xi)P(Y=yi)
und mit der Gleichverteilung gilt für X:
P (X=xi)= 1/n (i=1,2,...n)
und ich weiß dass wenn X und Y unabhängig sind, so sind auch die Funktionen g(x) und k(y) unabhängig.
Leider weiß ich nicht genau wie ich zeigen soll, dass das Produkt gleichverteilt ist...
also wenn ich Y einfach auch als gleichverteilt ansetze, wäre das ja dann:
P(Y=yi)= 1/r (i=1,2,...r)
--> P((X=xi,Y=yi) = P(X=xi)P(Y=yi) = 1/n * 1/r = 1/nr
und wenn ich jetzt k= nr setze
habe ich dann gezeigt, dass es gleichverteilt ist?
Dabei habe ich die multiplikative Gruppe gar nicht betrachtet, geht das trotzdem?
Danke schonmal für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, sagen wir [mm] $G=\{g_1,\ldots,g_n\}$, [/mm] d.h. $G$ hat Ordnung $n$. Wir wissen: [mm] $\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\:P(X=g_i)=\frac{1}{n}$. [/mm] Über $Y$ können wir erst einmal nichts aussagen.
Deine Lösung des vereinfachten Problems stimmt leider nicht so ganz, denn du sollst ja $P(XY=g)$ ausrechnen und nicht $P(X=g, Y=h)$.
Das Problem ist also $P(XY=g)$ zu berechnen und als Ergebnis hättest du gern [mm] \frac{1}{n}. [/mm] Fange dazu mal an mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit an, auf dem du auf die Ereignisse [mm] $\{Y=g_i\}$ [/mm] bedingst. Versuch da erstmal etwas zu machen, vielleicht fällt es dir jetzt etwas leichter! Wenn es nicht geht, sag noch einmal Bescheid!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Cyborg |
Hey!
Vielen Dank für deine Hilfe.
Also mit
$ [mm] G=\{g_1,\ldots,g_n\} [/mm] $ und $ [mm] \forall i\in\{1,\ldots,n\}:\:P(X=g_i)=\frac{1}{n} [/mm] $ folgt aus dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
$P(XY = g) = [mm] \summe_{i=1}^{n} P(Y=g_i) P(X=g_i)|Y=g_i)$
[/mm]
$ = [mm] \summe_{i=1}^{n} P(X=g_i) P(Y=g_i|X=g_i)$
[/mm]
$= [mm] \summe_{i=1}^{n} \frac{1}{n} *P(Y=g_i|X=g_i) [/mm] $
mit der Unabhängigkeit folgt dann für [mm] P(Y=g_i|X=g_i):
[/mm]
[mm] P(Y=g_i|X=g_i) [/mm] = [mm] P(X=g_i)= \frac{1}{n}
[/mm]
daraus folgt [mm] $\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{n} *\frac{1}{n}= \summe_{i=1}^{n}\frac{1}{n^2}$
[/mm]
wie komme ich jetzt auf meine gewünschten [mm] \frac{1}{n} [/mm] ? :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Mo 21.04.2014 | | Autor: | luis52 |
> daraus folgt [mm]\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{n} *\frac{1}{n}= \summe_{i=1}^{n}\frac{1}{n^2}[/mm]
>
> wie komme ich jetzt auf meine gewünschten [mm]\frac{1}{n}[/mm] ?
> :/
>
Moin, aus wieviel Summanden besteht denn die Summe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Cyborg |
aahh jaaa
vielen Dank :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Kurioserweise stimmt dein Ergebnis, aber wie kommst du denn schon auf die erste Gleichung? Also $P(XY=g)=$...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Cyborg |
ich habe XY als B definiert und Y als A und das dann auf den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit angewandt...
Wie würde denn sonst die 1. Gleichung bei dir aussehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Di 22.04.2014 | | Autor: | Teufel |
Ich hab es z.B. so gemacht:
[mm] $P(XY=g)=\sum\limits_{i=1}^nP(XY=g|Y=g_i)P(Y=g_i)$. [/mm] Der Knackpunkt ist nun, dass [mm] $P(XY=g|Y=g_i)=P(Xg_i=g)=P(X=gg_i^{-1})$ [/mm] gilt, was intuitiv sicher auch Sinn ergibt. Wenn du darauf bedingst, dass [mm] $Y=g_i$ [/mm] ist, dann kannst du ja für alle vorkommenden Y im Term XY schon [mm] g_i [/mm] einsetzen. Diese Rechenregel kannst du aber auch nachrechnen, etwas allgemeiner gilt $P(f(X,Y)=z|Y=y)=P(f(X,y)=z)$.
Kommst du damit weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mo 21.04.2014 | | Autor: | luis52 |
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> mit der Unabhängigkeit folgt dann für [mm]P(Y=g_i|X=g_i):[/mm]
>
> [mm]P(Y=g_i|X=g_i)[/mm] = [mm]P(X=g_i)= \frac{1}{n}[/mm]
>
>
Irgendwie ist hier der Wurm drin. Bei Unabhaengigkeit gilt
[mm]P(Y=g_i|X=g_i)= P(Y=g_i)[/mm]
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