Gleichverteilung mit Dichte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Es gibt kein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf IR, versehen mit der Sigma-Algebra der Borelmengen, so dass Intervalle gleicher Länge immer die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Kann ich dies mit Hilfe der Dichtefunktion f(x) beweisen?
Denn f(x) muss ja null sein.
Und damit kann sie dem Kriterion nicht entsprechen, dass das Integral f(x) über IR "1" sein muss.
Ich habe bedenken, da es ja ein WK-Raum ohne Dichte sein könnte.
Ich freue mich auf Eure Antworten, und bedanke mich für Eure Mühe.
Viele Grüße,
Vilietha
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Huhu,
du hast recht, P muss keine Dichte haben.
Als Tip: Was passiert, wenn du disjunkte Intervalle aufsummierst? Wieviele disjunkte Intervalle gleicher Länge könntest du denn finden? Was weisst du dann über die Vereinigung dieser Intervalle?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Do 28.10.2010 | | Autor: | Vilietha |
Vielen Dank für Deine Antwort.
Nun kann ich es auch klar sehen.
Man kann ja ganz leicht ohne Dichte argumentieren.
Egal wie gross man die Intervalle wählt, es gibt immer unendlich viele.
Und alle Intervalle [mm] A_n [/mm] (n [mm] \in \IZ) [/mm] müssen sich die Wahrscheinlich von insgesamt 1 Teilen.
Also ist P(A)=0.
P muss aber auch [mm] P(\IR)=1 [/mm] erfüllen.
Was zu einem Wiederspruch führt.
Denn [mm] P(\IR) [/mm] = [mm] P(\cup A_n) [/mm] = [mm] \summe_{n}^{}P(A_n) [/mm] = 0.
Also kann es kein solches WK-Maß P geben. :)
Viele Grüße,
Vilietha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mo 01.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
> Denn [mm]P(\IR)[/mm] = [mm]P(\cup A_n)[/mm] = [mm]\summe_{n}^{}P(A_n)[/mm] = 0.
Hallo, ich klink mich mal ein: Wie kann denn [mm]\summe_{n}^{}P(A_n)[/mm] = 0 ergeben? Egal wie klein [mm] P(A_n [/mm] ) ist, es wird doch immer größer. Siehe auch harmonische Reihe. Diese divergiert und konvergiert nicht gegen 1.
Oder wo ist mein Fehler?
lg
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Huhu moppel,
du hast recht, Vilietha hat ein bisschen schwammig Argumentiert.
Was sie sagen wollte war: Hat man n Intervalle, muss jedes Intervall bei dem Beispiel ja das Maß [mm] \bruch{1}{n} [/mm] haben.
Da wir nun aber unendlich Intervalle haben, hätte jedes Intervall das Maß [mm] "\bruch{1}{\infty} [/mm] = 0"
Dann wäre die Summe aber gleich Null im Widerspruch dazu, dass [mm] $P(\IR) [/mm] = 1$ gelten muß.
Meine Argumentation war dann kürzer und prägnanter (um nicht zu sagen besser  ), darum hab ich sie als Zusatz noch dazu geschrieben....
MFG,
Gono.
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