Gleichwertigkeit von Aussagen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Do 24.06.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
ich hab da mal wieder eine Aufgabe bei der ich etwas unterstützung brauchen könnte! Wär lieb wenn mir jemand helfen könnte!! Vielen Dank!!!
Die Aufgabe lautet:
Es sei [mm] M\subset \IR^{n} [/mm] , M [mm] \not= \emptyset, [/mm] und f: M [mm] \to \IR^{d}
[/mm]
Man zeige das folgende Aussagen Gleichwertig sind:
a) f ist stetig
b) Für alle offenen Teilmengen [mm] V\subset \IR^{d} [/mm] ist [mm] f^{-1} [/mm] (V)= M [mm] \cap [/mm] U mit einer offenen Teilmenge U [mm] \subset \IR^{n}
[/mm]
c) Für alle abgeschlossenen Teilmengen [mm] C\subset \IR^{d} [/mm] ist [mm] f^{-1} [/mm] (C)= M [mm] \cap [/mm] A mit einer abgeschlossenen Teilmenge A [mm] \subset \IR^{n}
[/mm]
Dies soll für [mm] M\subset \IR^{n} [/mm] und für [mm] M=\IR^{n} [/mm] gezeigt werden!!!
Ich hoffe es kann jemand was damit anfangen!!!
Liebe Grüße Tine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Do 24.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tine!
Wie habt ihr denn Stetigkeit genau definiert (es gibt mehrere Möglichkeiten)?
Natürlich können wir dir erst helfen, wenn wir das genau wissen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Do 24.06.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
wir haben die Stetigkeit definiert über Lipschitz und über folgenden Satz:
f ist stetig in x für alle [mm] \varepsilon>0 \exists \delta> [/mm] 0: ( [mm] \vmat{ x - y }< \delta) \Rightarrow\vmat{ f(y) - f(x) }< \varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Tine!
>> Es sei [mm]M\subset \IR^{n}[/mm] , M [mm]\not= \emptyset,[/mm] und f: M
> [mm]\to \IR^{d}
[/mm]
> Man zeige das folgende Aussagen Gleichwertig
> sind:
> a) f ist stetig
> b) Für alle offenen Teilmengen [mm]V\subset \IR^{d}[/mm] ist
> [mm]f^{-1}[/mm] (V)= M [mm]\cap[/mm] U mit einer offenen Teilmenge U [mm]\subset \IR^{n}
[/mm]
>
> c) Für alle abgeschlossenen Teilmengen [mm]C\subset \IR^{d}[/mm]
> ist [mm]f^{-1}[/mm] (C)= M [mm]\cap[/mm] A mit einer abgeschlossenen
> Teilmenge A [mm]\subset \IR^{n}
[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wir machen einen sogenannten Ringschluss und zeigen:
$(a) \Rightarrow (b) \Rightarrow (c) \Rightarrow (a)$
"(a) \Rightarrow (b)"
Es sei $V \subset \IR^d$ offen. Zu zeigen ist, dass $f^{-1}(V) \cap M$ offen in $M$ ist. Dazu wählen wir uns ein $x \in f^{-1}(V)$. Dann gilt: $f(x) \in V$. Da $V$ offen ist, gibt es ein $\varepsilon > 0$, so dass für alle $y \in \IR^d$ mit $\Vert y - f(x) \Vert < \varepsilon$ gilt: $y \in V$. Da $f$ stetig ist, gibt es ein $\delta>0$, so dass für alle $x' \in M$ mit $\Vert x-x' \Vert <\delta$ gilt: $\Vert f(x) - f(x') \Vert < \varepsilon$ und damit $f(x') \in V$. Somit gilt für alle $x' \in M$ mit $\Vert x - x'\Vert < \delta$: $x' \in f^{-1}(V)$. Für $x \in f^{-1}(V)$ liegt also auch der "$\delta$-Ball"
$B_{\delta}(x) \cap M = \{x' \in M \, : \, \Vert x - x' \Vert < \delta\}$
in $f^{-1}(V) \cap M$, womit gezeigt ist, dass $f^{-1}(V) \cap M$ offen in $M$ ist.
"(b) \Rightarrow (c)"
Hier gebe ich mal nur einen Tipp. Wenn $C \subset \IR^d$ abgeschlossen ist, dann ist $\IR^d \setminus C$ offen und es gilt:
$f^{-1}(\IR^d \setminus C) = \IR^n \setminus f^{-1}(C)$.
Wie kann man den Beweis nun zu Ende führen? Mach mal einen Vorschlag.
"(c) \Rightarrow (a)"
Es sei $x \in M$ und $\varepsilon>0$ beliebig gewählt. Die Menge
$C:= \{y \in \IR^d\, :\, \Vert y - f(x) \Vert \ge \varepsilon\}$
ist abgeschlossen in $\IR^d$. Dann ist $f^{-1}(C) \cap M$ nach Voraussetzung abgeschlossen in $M$ und somit:
$V:= \{x' \in M \, : \, \Vert f(x') - f(x) \Vert < \varepsilon\} = M \cap f^{-1}(\IR^d \setminus C\} = M \cap (\IR^n \setminus f^{-1}(C))$
offen in $M$ mit $x \in V$. Daraus folgt: Es gibt ein $\delta > 0$ mit
$B_{\delta}(x) \cap M \subset V$.
"Übersetzt" bedeutet dies: Für alle $x' \in M$ mit $\Vert x - x'\Vert < \delta$ gilt:
$\Vert f(x) - f(x') \Vert < \varepsilon$. Daraus folgt die Stetigkeit in $x$.
Liebe Grüße
Stefan
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