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| Aufgabe | Globale Extrema bei Funktionen mehrerer Veränderlicher
Untersuchen Sie die Funktion
f (x, y) = [mm] x^2 [/mm] + 2xy − [mm] 3y^2 [/mm] + y
auf dem Dreieck
D ={(x, y) [mm] \in \IR^2| [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0, x + y [mm] \le [/mm] 1} (Skizze)
auf globale Extrema. Dazu:
(a) Finden und klassifizieren Sie die stationären Punkte von f im Inneren von D.
(b) Stellen Sie für jeden Teil des Randes die zugehörige Geradengleichung auf, und betrachten Sie die nunmehr eindimensionale Funktion f auf jeder dieser Geraden. |
Hallo,
also D ist ja im 2-dim. Koordinatensystem das dreieck ursprung, x=1, y=1 oder? also für die skizze...
ich habe nun zuerst den grad von f(x,y) berechnet und als einzigen stat. punkt (-1/8,1/8) gefunden( dieser wäre ein hyperbol. sattelpunkt), stimmt das? denn der liegt ja außerhalb von D..
was nun?
für aufgabe b) wären die geraden gleichungen y=0 x=0 und y= -x + 1 ?
und was bedeutet "betrachten Sie die nunmehr eindimensionale Funktion f auf jeder dieser Geraden"?
danke im vorraus!!!
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weiß denn keiner weiter?...
wenn doch, bitte helf mir!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 So 21.06.2009 | | Autor: | zetamy |
Bitte keine solchen Fragen stellen! Jeder von uns versucht sein Bestes und wenn jemand eine Idee und Zeit hat, wird er auch antworten. Außerdem muss ich mir jetzt etwas ausdenken, damit die Frage nicht weiterhin als unbeantwortet hier steht...
Gruß, zetamy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 So 21.06.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> also D ist ja im 2-dim. Koordinatensystem das dreieck
> ursprung, x=1, y=1 oder? also für die skizze...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ich habe nun zuerst den grad von f(x,y) berechnet und als
> einzigen stat. punkt (-1/8,1/8) gefunden( dieser wäre ein
> hyperbol. sattelpunkt), stimmt das? denn der liegt ja
> außerhalb von D..
> was nun?
Ganz einfach: die Funktion f hat im Inneren von D keine stationären Punkte. (Falls so ein Punkt existieren würde, müsstest du die Hesse-Matrix aufstellen und diese auf ihre Definitheit prüfen).
> für aufgabe b) wären die geraden gleichungen y=0 x=0 und
> y= -x + 1 ?
> und was bedeutet "betrachten Sie die nunmehr
> eindimensionale Funktion f auf jeder dieser Geraden"?
> danke im vorraus!!!
Die Geraden sind richtig. Du musst nun überprüfen, ob die Funktion f auf dem Rand des Dreiecks D globale Extrema besitzt. Dazu musst du für jeden Teil des Randes die zugehörige Geradengleichung mit der Funktion f schneiden, also z.B.
$y=0:\ [mm] f(x,y)|_{y=0}=f(x)=x^2$ [/mm]
und diese Funktionen auf Extrema untersuchen
$f'(x)=2x=0 [mm] \gdw [/mm] x=0$ und $f''(0)=...$ usw.
Die sich ergebenden Punkte sind dann Extrema von f auf D, die globalen Extrema darunter findest du durch Vergleich der Funktionswerte.
Viel Spaß und Gruß, zetamy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 So 21.06.2009 | | Autor: | pandabaer |
okay, sorry...wusste nur echt nicht weiter
danke für die antwort!
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