Globale Extrema der Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie - falls existent - die golbalen Extrema der Funktion.
[mm] f(x)=\begin{cases} f_{1} (x) = \bruch{2x-1}{x-1} , & \mbox{für } x \le 0 \mbox{} \\ f_{r}(x)= x^{3}-3x^{2}-9x+1, & \mbox{für } x > 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
Guten Abend zusammen!
Also ich muss leider sagen, ich verstehe gar nicht was ich hier machen soll.
Also ich weiß wie ich ein maximum bestimme und zwar über die 2. ableitung aber so eine aufgabe hatte ich noch nie. was bedeutet diese einschränkung? Und ich habe gehört, man müsse kandidaten bestimmen. Es soll 4 geben, wie bekomme ich die? Und mit welcher Funktion muss ih rechnen?
Ich habe wirklich keine ahnung und wäre jedem, der mit weiterhelfen kann seehr dankbar.
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
globale Maxima sind die höchsten Werte, die die Funktion auf dem Definitionsgebiet hat.
Kandidaten sind normale Maxima und die Ränder des Def- Gebietes.
Hat man lokale Max, (f'=0) dann vergleicht man ihre Höhe und mit der Höhe der Randpunkte.
Gruss leduart
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hey leduart!
danke erst einmal für deine antwort. aber welche der beiden funktionen untersuche ich denn? ich verstehe den gesamten ausdruck nicht, habe wohl irgendwie gepennt als wir das durchgenommen haben. sorry, das ist wahrscheinlich voll die blöde frage, aber was ist ein normales und was ist ein lokales maximum und wie ermittel ich die? und was sind die randpunkte? war das irgendwas mit limes? tut mir echt leid, aber ich habe gerade so gar keine ahnung und bräuchte da echt eine ausführliche antwort.
aber noch mal danke für deine mühe.
liebe grüße
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Hallo, du hast EINE Funktion,
[Dateianhang nicht öffentlich]
untersuche zunächst beide Teile der Funktion auf Extremwerte, bilde also 1. und 2. Ableitung von [mm] f_1(x)=\bruch{2x-1}{x-1} [/mm] und [mm] f_2(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+1, [/mm] beachte dabei die jeweiligen Bedingungen [mm] x\le [/mm] 0 bzw. x>0
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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hallo und danke erst ein mal für deine Hilfe.
[mm] f_{r}'(x) [/mm] = [mm] 3x^{2}-6x-9
[/mm]
[mm] f_{r}''(x)= [/mm] 6x-6
so wenn ich nun die erste Ableitung = 0 setze, erhalte ich die werte x=-1 und x=3. da ich hier aber die bedingung x>0 beachten muss, ist für mich nur der wert x=3 relevant. so den setze ich in [mm] f_{r}(x) [/mm] ein und erhlate das globale Minimum mit (3/-26).
so was mach ich jetzte mit der 2. Ableitung. Und wie erhalte ich die Kandidaten?
achso und kann mit vllt jemand erklären, wie ich [mm] f_{1}(x) [/mm] ableite? bin mir da nicht sicher. ich habe da 2 raus, aber weiß nicht ob das so stimmt.
Für jede Hilfe, wäre ich euch sehr dankbar
liebe grüße
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danke loddar!
also wenn ich 3 in die 2. ableitung einsetze erhalte ich 18 und damit ist es ein relatives Minumum. Wie erfahre ich denn jetzt ob es lokal oder global ist?
und mit der quotienten regel erhalte ich folgendes für die funtkion [mm] f_{1}(x):
[/mm]
Quotientenregel: f(x) [mm] =\bruch{u(x)}{v(x)} [/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{u'*v - v'*u}{v^{2}}
[/mm]
[mm] f_{1}(x)= \bruch{2x-1}{x-1}
[/mm]
[mm] f_{1}'(x)= \bruch{2 * (x-1) - 1*(2x-1)}{(x-1)^{2}}
[/mm]
wenn ich das jetzt auflöse steht da doch:
[mm] \bruch{0}{x^{2}-2x+1}
[/mm]
kann das sein? eigentlich nicht. wo liegt denn mein fehler?
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so habe meinen rechenfehler beseitigt und [mm] \bruch{-1 }{2x^{2}-2x+1} [/mm] erhalten. das aufgelöst ergibt:
- [mm] \bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}x-1
[/mm]
die erste ableitung davon: [mm] -x+\bruch{1}{2} [/mm] und für x erhalte ich [mm] +\bruch{1}{2}
[/mm]
in der aufgabe steh aber das x kleiner als 0 sein muss, was heißt da jetzt für diese funktion? weil der definisitonsbereich ist ja nicht erfüllt oder?
und eine weiter frage habe ich oder eher gesagt 2 woher weiß ich welche funktion ich gegen [mm] -\infty [/mm] und welche gegen [mm] +\infty [/mm] laufen lassen muss?
habe das trotzdem einfach mal gemacht, wie du es geschrieben hast und dann kam für [mm] -\infty [/mm] raus, dass [mm] f_{1}(x) [/mm] gegen 2 läuft und für [mm] +\infty [/mm] läuft [mm] f_{r}(x) [/mm] gegen [mm] +\infty
[/mm]
jetzt habe ich nur nicht verstanden was die anderen beiden asudrücke bedeuten sollen? muss ich beide funktionen gegen 0 laufen lassen oder was soll das heißen?
aber danke schon einmal bis hier hin, bin jetzt um einiges weiter!!!
liebe grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> so habe meinen rechenfehler beseitigt und [mm]\bruch{-1 }{2x^{2}-2x+1}[/mm] erhalten.
> das aufgelöst ergibt: - [mm]\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}x-1[/mm]
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Definitiv nicht!!!!!!!!!!!!!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 03.12.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> so habe meinen rechenfehler beseitigt und [mm]\bruch{-1 }{2x^{2}-2x+1}[/mm]
> erhalten. das aufgelöst ergibt:
>
> - [mm]\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}x-1[/mm]
Oh nein. [mm] $\bruch{-1}{2x^{2}-2x+1}$ [/mm] solltest du so stehe lassen
>
> die erste ableitung davon: [mm]-x+\bruch{1}{2}[/mm] und für x
> erhalte ich [mm]+\bruch{1}{2}[/mm]
Nein, weil du mathematisch grausam umgeformt hast. das kann ich dir sogar ohne einen gezeigten Rechneschritt sagen.
>
> in der aufgabe steh aber das x kleiner als 0 sein muss, was
> heißt da jetzt für diese funktion? weil der
> definisitonsbereich ist ja nicht erfüllt oder?
Wieso? Was spricht dagegen, in [mm] $\bruch{-1 }{2x^{2}-2x+1}$ [/mm] x-werte, die kleiner als Null sind, einzusetzen.
>
> und eine weiter frage habe ich oder eher gesagt 2 woher
> weiß ich welche funktion ich gegen [mm]-\infty[/mm] und welche
> gegen [mm]+\infty[/mm] laufen lassen muss?
Schau dir dazu mal die Untertelung an. Ein Funktionsabschnitt ist auf [mm] ]-\infty;0[ [/mm] angegeben, der andere für [mm] [0;\infty[
[/mm]
>
> habe das trotzdem einfach mal gemacht, wie du es
> geschrieben hast und dann kam für [mm]-\infty[/mm] raus, dass
> [mm]f_{1}(x)[/mm] gegen 2 läuft und für [mm]+\infty[/mm] läuft [mm]f_{r}(x)[/mm]
> gegen [mm]+\infty[/mm]
Das sieht in der Tat gut aus.
>
> jetzt habe ich nur nicht verstanden was die anderen beiden
> asudrücke bedeuten sollen? muss ich beide funktionen gegen
> 0 laufen lassen oder was soll das heißen?
Yep, an der Stelle könnten sich noch globale Maxima/Minima verstecken.
Aber eine der Grenzwertbetrachtungen ist sogar überflüssig, da du in einem der Fuktionsabschnitte x=0 einsetzen darfst. Beim anderen musst du in der Tat die Grenzwertbetrachtung machen.
>
> aber danke schon einmal bis hier hin, bin jetzt um einiges
> weiter!!!
Das ist schön
>
> liebe grüße
Marius
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hehe ja sorry, hab jetzt auch gesehen dass da blöd war mit der umformung.....
jedenfalls hab ich noch eine kurze frage und zwar lass ich ja für [mm] f_{r}(x) [/mm] mein x gegen 0 laufen, richtig? dann läuft die gesamte funktion gegen 1...was bedeutet das denn jetzt? also man macht diese grenzwertuntersuchun, um festuzustellen, wo noch ein maximum oder minimum liegen könnte, richitg?
woher weiß ich denn jetzt ob etwas global oder lokal ein maximum oder minimum darstellt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Fr 03.12.2010 | | Autor: | M.Rex |
> hehe ja sorry, hab jetzt auch gesehen dass da blöd war mit
> der umformung.....
>
Okay, gute Einsicht.
> jedenfalls hab ich noch eine kurze frage und zwar lass ich
> ja für [mm]f_{r}(x)[/mm] mein x gegen 0 laufen, richtig?
Yep
> dann läuft die gesamte funktion gegen 1.
Fast. Der Funktionsteil läuft gegen 1, wenn [mm] x\to0. [/mm] Der andere Funktionswert ist 1 für x=0.
>..was bedeutet das denn jetzt?
> also man macht diese grenzwertuntersuchun, um
> festuzustellen, wo noch ein maximum oder minimum liegen
> könnte, richitg?
Richtig.
> woher weiß ich denn jetzt ob etwas global oder lokal ein
> maximum oder minimum darstellt?
Du weisst, dass [mm] f(x)\to2 [/mm] für [mm] x\to-\infty
[/mm]
f(x)=1 für x=0 und an dieser Stelle hast du, da der andere Funktionsbereich auch gegen 1 läuft, sogar einen "Nahtlosen" übergang.
Ausserdem weisst du [mm] f(x)\to\infty,für x\to\infty [/mm]
Und du weisst f(x) hat einen Tiefpunkt bei T(3/-26)
Was ist denn jetzt der grösste Wert, den f(x) annehmen kann. Und was der kleinste?
Marius
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okay, also ich kann sagen, dass an der stelle (3/-26) ein globales Minimum vorliegt, weil es keinen anderen Tiefpunkt gibt? also wenn für [mm] f_{1}(x) [/mm] x gegen [mm] -\infty [/mm] erhalte ich den funktionswert 2 also ist diese Funktion nach dorthin begrenzt und kann keinen wert darüber annehmen. und wenn sie gegen 0 läuft, läuft sie ja auch gegen 1 also bewegt sie sich in diesen grenzen? kann man das so sagen?
es gibt kein globales maximum bei diesert funktion, weil [mm] f_{r}(x) [/mm] nach oben unbegrenzt ist, da sie ja für [mm] +\infty [/mm] gegen unendlich läuft und an der stelle 0 den Wert 1 an nimmt.
Das wäre ja auf die gesamte Funktion bezogen. Ermittle ich ein lokales Maximum indem ich mir nur einen bestimmen bereich anschaue? also wenn ich mit die Funktion [mm] f_{r}(x) [/mm] in den grenzen von 0 - 3 anschaue. würde dann bei 0 mein lokales maximum vorliegen und bei 3 mein lokales minimum, was aber auch gleich das globale minimum ist?
kann das irgendie so sagen, oder ist das kompletter schwachsinn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Fr 03.12.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> okay, also ich kann sagen, dass an der stelle (3/-26) ein
> globales Minimum vorliegt, weil es keinen anderen Tiefpunkt
> gibt? also wenn für [mm]f_{1}(x)[/mm] x gegen [mm]-\infty[/mm] erhalte ich
> den funktionswert 2 also ist diese Funktion nach dorthin
> begrenzt und kann keinen wert darüber annehmen. und wenn
> sie gegen 0 läuft, läuft sie ja auch gegen 1 also bewegt
> sie sich in diesen grenzen? kann man das so sagen?
Das Prinzip ist komplett richtig, nur nimmt f keinen Funktionswert [mm] \infty [/mm] an, sondern läuft gegen [mm] \infty. [/mm] Geuanso nimmt [mm] f_{1}(x) [/mm] nicht den Funktionswert 2 an, sondern strebt gegen diesen.
>
> es gibt kein globales maximum bei diesert funktion, weil
> [mm]f_{r}(x)[/mm] nach oben unbegrenzt ist, da sie ja für [mm]+\infty[/mm]
> gegen unendlich läuft und an der stelle 0 den Wert 1 an
> nimmt.
>
> Das wäre ja auf die gesamte Funktion bezogen. Ermittle ich
> ein lokales Maximum indem ich mir nur einen bestimmen
> bereich anschaue? also wenn ich mit die Funktion [mm]f_{r}(x)[/mm]
> in den grenzen von 0 - 3 anschaue. würde dann bei 0 mein
> lokales maximum vorliegen und bei 3 mein lokales minimum,
> was aber auch gleich das globale minimum ist?
Yep.
> kann das irgendie so sagen, oder ist das kompletter
> schwachsinn?
Nein. Wenn du eine Funktion auf Globale Maxima/minima untersuchst, musst du das Verhalten von f an den Randpunkten des Def-Bereiches bzw den Definitionslücken untersuchen. Bekommst du hier schon einen Verlaif [mm] "-\infty\to\infty" [/mm] oder [mm] "\infty\to-\infty" [/mm] sind die lokalen Extrempunkte tatsächlich nur lokal. Ansonsten ist die Y-Koordinate des Extrempunktes tatsächlich globales Maximum/Minimum.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Fr 03.12.2010 | | Autor: | A_to_the_T |
Okay, ich glaube ich habe es tatsächlich etwas verstanden ^^ wenn ich jetzt noch bei den mathematischen umformungen aufpasse sollte ich das hinbekommen!
Also ganz lieben Dank an euch alle =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Mal abgesehen von dieser mathematisch grausamen "Umformung" ... im Nenner hat sich ein weiterer Fehler eingeschlichen.
Es gilt: [mm] $(x-1)^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2-2x+1$
[/mm]
Du hast dort also eine 2 zuviel drin.
Und auch davon abgesehen: es besteht keine Notwendigkeit, den Nenner auszumultiplizieren ... im Gegenteil: lass dort [mm] $(x-1)^2$ [/mm] stehen.
Gruß
Loddar
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Quotientenregel![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du fasst im Zähler falsch zusammen. Dort sollte -1 verbleiben.
