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Globaler Existenzsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Do 01.11.2018
Autor: Takota

Aufgabe
Satz
Wenn für $k,l \ [mm] \varepsilon [/mm] \ [mm] \{1,2,...,n\}$ [/mm] die Funktion [mm] $a_k_l(x)$ [/mm] und [mm] $b_k(x)$ [/mm] stetige Funktionen auf dem Intervall [mm] $(\alpha,\beta) \subset \IR [/mm] $
sind, dann existiert für das lineare Anfangswertproblem

[mm] $\vec [/mm] y ' = A(x) [mm] \cdot \vec [/mm] y + [mm] \vec [/mm] b(x), \ [mm] \vec [/mm] y [mm] (x_0) [/mm] =  [mm] \vec y_0$ [/mm]

zu jedem [mm] $x_0\ \varepsilon [/mm] \ [mm] (\alpha, \beta)$ [/mm] eine Lösung auf dem ganzen Intervall [mm] $(\alpha, \beta)$. [/mm]


Hallo,
kann mir jemand diesen Satz intuitiv oder anschaulich begründen?
Wie kann man das Einsehen?

Vorausetzungen sind hier ja:

a) Funktionen [mm] $a_k_l(x)$ [/mm] und [mm] $b_k(x)$ [/mm] sind stetig auf dem ganzen Intervall [mm] $(\alpha, \beta)$. [/mm]  

b) DGL ist linear

LG
Takota

        
Bezug
Globaler Existenzsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Do 01.11.2018
Autor: fred97


> Satz
>  Wenn für [mm]k,l \ \varepsilon \ \{1,2,...,n\}[/mm] die Funktion
> [mm]a_k_l(x)[/mm] und [mm]b_k(x)[/mm] stetige Funktionen auf dem Intervall
> [mm](\alpha,\beta) \subset \IR[/mm]
>  sind, dann existiert für das
> lineare Anfangswertproblem
>  
> [mm]\vec y ' = A(x) \cdot \vec y + \vec b(x), \ \vec y (x_0) = \vec y_0[/mm]
>  
> zu jedem [mm]x_0\ \varepsilon \ (\alpha, \beta)[/mm] eine Lösung
> auf dem ganzen Intervall [mm](\alpha, \beta)[/mm].
>  
> Hallo,
>  kann mir jemand diesen Satz intuitiv oder anschaulich
> begründen?
>  Wie kann man das Einsehen?
>  
> Vorausetzungen sind hier ja:
>  
> a) Funktionen [mm]a_k_l(x)[/mm] und [mm]b_k(x)[/mm] sind stetig auf dem
> ganzen Intervall [mm](\alpha, \beta)[/mm].  
>
> b) DGL ist linear
>  
> LG
>  Takota

Ist I ein kompaktes Teilintervall von [mm] (\alpha, \beta), [/mm] , welches [mm] x_0 [/mm] enthält,  so hat das Anfangswertproblem  auf I genau eine  Lösung.  Das sieht man  mit Picard-Lindelöf.

Da I beliebig war folgt das Gewünschte


Bezug
                
Bezug
Globaler Existenzsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Fr 02.11.2018
Autor: Takota

Hallo Fred,

wie hängen damit die Voraussetzungen a) und b) zusammen?

Zu a) fällt mir folgende Überlegung ein:

Wenn a) gilt sind schon einmal keine Sprünge und Polstellen in dem offenen Intervall (a,b) zu erwaten

Aber warum funktioniert der Satz nur für lineare DGL-Systeme?


Bezug
                        
Bezug
Globaler Existenzsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Fr 02.11.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> wie hängen damit die Voraussetzungen a) und b) zusammen?
>  
> Zu a) fällt mir folgende Überlegung ein:
>  
> Wenn a) gilt sind schon einmal keine Sprünge und
> Polstellen in dem offenen Intervall (a,b) zu erwaten

?????

>  
> Aber warum funktioniert der Satz nur für lineare
> DGL-Systeme?

Der Satz von Picard-Lindelöf funktioniert nicht nur für lineare Saysteme, aber in der Aufgabe hast Du nun mal ein lineares System !

Ich zeigs Dir:

Wir setzen [mm] $J=(\alpha, \beta)$ [/mm] und für $m [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m]$. [/mm] Für hinreichend großes m ist [mm] $x_0 \in I_m \subseteq [/mm] J$. Wir können von [mm] $x_0 \in I_m \subseteq [/mm] J$ für alle m ausgehen.

Da [mm] I_m [/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm] c_m \ge [/mm] 0 mit $||A(x)|| [mm] \le c_m$ [/mm] für alle $x [mm] \in I_m$. [/mm]

Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm] \vec{y} [/mm]  etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).

Für $x [mm] \in I_m$ [/mm] und $y,z [mm] \in \IR^n$ [/mm] haben wir

$||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| [mm] \le [/mm] ||A(x)|| [mm] \cdot [/mm] ||y-z|| [mm] \le c_m \cdot [/mm] ||y-z|| $.

Picard-Lindelöf sagt nun:


(*) das Anfangswertproblem hat auf [mm] I_m [/mm] genau eine Lösung [mm] y_m. [/mm]

Nun definiere $y:J [mm] \to \IR^m$ [/mm] wie folgt: für x [mm] \in [/mm] J setze [mm] y(x)=y_m(x), [/mm] falls x [mm] \in I_m. [/mm]

y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm] \in I_k, [/mm] so folgt aus (*), dass [mm] y_m=y_k [/mm] auf [mm] I_m \cap I_m, [/mm] also auch [mm] y_m(x)=y_k(x). [/mm]

Nun überlege Dir, dass die Funktion y das Anfangswertproblem auf J löst.






>  


Bezug
                                
Bezug
Globaler Existenzsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Sa 10.11.2018
Autor: Takota

Hallo Fred,

> Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> für alle m ausgehen.
>  
> Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> für alle [mm]x \in I_m[/mm].

Mit der Matrixnorm kenne ich mich nicht so aus. Ich stelle mir aber daß so vor, daß es unter den x-Werten aus dem kompakten Intervall [mm] $I_m$ [/mm] nur eines geben kann, welches die Matrixnorm maximal macht aber nicht unentlich groß, so daß man immer eine Zahl [mm] $c_m$ [/mm] finden kann die noch größer als die Matrixnorm ist.


> Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]  
> etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
>  
> Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
>  
> [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].

Ist das die Lipschitz-Bedingung? Ist das hier auch der Punkt, wo die Voraussetzung "linear" eine Rolle spielt?  

> Picard-Lindelöf sagt nun:
>
>
> (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> [mm]y_m.[/mm]
>  
> Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]

Wird  J hier nicht in den [mm] $\IR^n$ [/mm] abgebildet?

> y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]

gemeint ist wohl [mm]I_m \cap I_k,[/mm] ?

> also auch

> [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
>  
> Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> Anfangswertproblem auf J löst.

Ich stelle mir momentan das so vor:
Wir haben eine eindeutige Lösung y(x) in der Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] im offen Intervall J. Das garantiert uns Picard-Lindelöf. Der Trick ist wohl, das du ein variables, kompaktes Intervall, [mm] $I_m$ [/mm] um den Punkt [mm] $x_0$ [/mm] eingeführt hast.
[mm] $I_m$ [/mm] kann bliebig nahe an die Grenzen von dem offenen Intervall geschoben werden. Letztendlich kann ich dadurch für jedes [mm] $x_0$ [/mm] innerhalb von dem offenen Intervall J ein kompaktes Intervall konstruieren und darauf dann die oben aufgeführte Lipschitz-Bedingung anwenden, da ja die Funktionen A(x) und b(x) auf dem offenen Intervall J nach Voraussetzung existieren und stetig sind. Wenn z.B., [mm] $x_0$ [/mm] ganz dicht an den Grenzen des offenen Intervalls J liegen würde, könnte ich immer noch ein Intervall [mm] $I_m$ [/mm] darum konstruieren. Nun kann man diese unendlich viele Intervalle zu einem großen, kompakten Intervall  vereinigen. Daraus folgt schließlich, das y(x) auf dem ganzen Intervall J definiert ist.

Bitte um Rückmeldung.

LG
Takota

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Globaler Existenzsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:34 Mo 12.11.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> > [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> > ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> > für alle m ausgehen.
>  >  
> > Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> > für alle [mm]x \in I_m[/mm].
>  
> Mit der Matrixnorm kenne ich mich nicht so aus. Ich stelle
> mir aber daß so vor, daß es unter den x-Werten aus dem
> kompakten Intervall [mm]I_m[/mm] nur eines geben kann, welches die
> Matrixnorm maximal macht aber nicht unentlich groß, so
> daß man immer eine Zahl [mm]c_m[/mm] finden kann die noch größer
> als die Matrixnorm ist.

Die Abbildung [mm] x\mapsto [/mm] A(x) ist stetig, damit ist auch n(x):=||A(x)|| stetig. Folglich ex. [mm] c_m:= \max \{||A(x)||: x \in I_m\}$ [/mm] weil [mm] I_m [/mm] kompakt ist.

Dieses Maximum kann aber durchaus an mehreren Stellen aus [mm] I_m [/mm] angenommen werden (denke mal eine eine konstante Funktion A).


>
>
> > Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]  
> > etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
>  >  
> > Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
>  >  
> > [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>  
> Ist das die Lipschitz-Bedingung?

Ja, die Funktion F genügt auf [mm] I_m \times \IR^n [/mm] einer Lipschitzbedingung bezüglich der zweiten Variablen.

> Ist das hier auch der
> Punkt, wo die Voraussetzung "linear" eine Rolle spielt?  

Hier spielt die spezielle Gestalt von F die entscheidende Rolle.


>
> > Picard-Lindelöf sagt nun:
> >
> >
> > (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> > [mm]y_m.[/mm]
>  >  
> > Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> > [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
>   Wird  J hier nicht in den
> [mm]\IR^n[/mm] abgebildet?

Ups, ja, da hab ich mich vertippt.


>  
> > y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> > (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
>  
> gemeint ist wohl [mm]I_m \cap I_k,[/mm] ?

Nochmal ups, nochmal ja, da hab ich mich nochmal vertippt.


>  
> > also auch
> > [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
>  >  
> > Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> > Anfangswertproblem auf J löst.
>  
> Ich stelle mir momentan das so vor:
>  Wir haben eine eindeutige Lösung y(x) in der Umgebung von
> [mm]x_0[/mm] im offen Intervall J. Das garantiert uns
> Picard-Lindelöf.

Nein, das garantiert uns der Satz (noch) nicht. Wir habe zunächst "nur": auf jedem [mm] I_m [/mm] hat das Anfangswertproblem genau eine Lösung [mm] y_m. [/mm] Das haben wir oben gezeigt.




> Der Trick ist wohl, das du ein variables,
> kompaktes Intervall, [mm]I_m[/mm] um den Punkt [mm]x_0[/mm] eingeführt hast.
> [mm]I_m[/mm] kann bliebig nahe an die Grenzen von dem offenen
> Intervall geschoben werden. Letztendlich kann ich dadurch
> für jedes [mm]x_0[/mm] innerhalb von dem offenen Intervall J ein
> kompaktes Intervall konstruieren und darauf dann die oben
> aufgeführte Lipschitz-Bedingung anwenden, da ja die
> Funktionen A(x) und b(x) auf dem offenen Intervall J nach
> Voraussetzung existieren und stetig sind. Wenn z.B., [mm]x_0[/mm]
> ganz dicht an den Grenzen des offenen Intervalls J liegen
> würde, könnte ich immer noch ein Intervall [mm]I_m[/mm] darum
> konstruieren. Nun kann man diese unendlich viele Intervalle
> zu einem großen, kompakten Intervall  vereinigen. Daraus
> folgt schließlich, das y(x) auf dem ganzen Intervall J
> definiert ist.

Mit Verlaub, das ist alles ziemlicher Unsinn. Wir haben auf jedem [mm] I_m [/mm] die Lösung [mm] y_m. [/mm] Daraus habe ich eine Funktion y:J [mm] \to \IR [/mm] gebastelt.

Nun sind noch die folgenden Dinge zu zeigen:

1. y ist auf J differenzierbar;

2. y ist auf J eine Lösung der DGL und erfüllt die Anfangsbedingung.


>  
> Bitte um Rückmeldung.
>  
> LG
>  Takota


Bezug
                                                
Bezug
Globaler Existenzsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Mi 14.11.2018
Autor: Takota

Hallo Fred,

ich glaube die Beweise bekomme ich nicht hin, ich bin schon froh, wenn ich den Beweisen von euch Mathematikern einigermaßen folgen kann :-) Ansonsten bin ich auch mit einer plausiblen, anschaulichen oder intuitiven Begründung zufrieden.

Hier nochmal ein Versuch von mir:

Man könnte doch gleich von vornherein sich ein Intervall [mm] $I_\infty$ [/mm]  für $m -> [mm] \infty$ [/mm] vorstellen, indem alle möglichen [mm] x_0 [/mm] Werte vorkommen können.  Für [mm] $I_\infty$ [/mm] muß auch die Lipschitz-Bedingung gelten, da A(x) und b(x) auf dem ganzen Intervall J stetig sind. D.h., daß die Lösung y(x) auf dem ganzen Intervall definiert ist.  

Gruß
Takota


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Globaler Existenzsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:10 Do 15.11.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> ich glaube die Beweise bekomme ich nicht hin, ich bin schon
> froh, wenn ich den Beweisen von euch Mathematikern
> einigermaßen folgen kann :-) Ansonsten bin ich auch mit
> einer plausiblen, anschaulichen oder intuitiven Begründung
> zufrieden.
>  
> Hier nochmal ein Versuch von mir:
>  
> Man könnte doch gleich von vornherein sich ein Intervall
> [mm]I_\infty[/mm]  für [mm]m -> \infty[/mm] vorstellen,

Das wäre dann das Intervall J !


>  indem alle
> möglichen [mm]x_0[/mm] Werte vorkommen können.  

Hä ? [mm] x_0 [/mm] ist fest !

> Für [mm]I_\infty[/mm] muß
> auch die Lipschitz-Bedingung gelten, da A(x) und b(x) auf
> dem ganzen Intervall J stetig sind.


Das stimmt nicht. Betrachten wir den Fall n=1 mit [mm] A(x)=x^2 [/mm] und b(x)=0 auf J = [mm] \IR. [/mm]

Wenn das was Du oben schreibst richtig wäre, so müsste A auf J beschränkt sein.



> D.h., daß die Lösung
> y(x) auf dem ganzen Intervall definiert ist.  
>
> Gruß
>  Takota
>  


Die Sache ist doch recht einfach, wenn Du die Definition von y verwendest. Wenn Du das nicht tust, so bekommst Du doch nie raus , dass y Lösung des AWPs ist !

Sei u [mm] \in [/mm] J. Dann gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit $u [mm] \in J_m:=(\alpha+1/m, \beta-1/m) \subset I_m [/mm] $.

Nach Definition von y gilt dann

    [mm] $y=y_m [/mm] $ auf [mm] J_m. [/mm]

Da [mm] y_m [/mm] auf [mm] J_m [/mm] differenzierbar ist, ist also y auf [mm] J_m [/mm] differenzierbar, insbesonder auch in u.

Weiter gilt [mm] $y'(u)=y_m'(u)=A(u)y_m(u)+b(u)=A(u)y(u)+b(u)$. [/mm]

Damit ist gezeigt, dass y differenzierbar auf J ist und auf J eine Lösung der DGL ist.

Fast trivial ist: [mm] y(x_0)=y_m(x_0)=y_0. [/mm]

Fazit: y löst das AWP auf J.

Bezug
                                
Bezug
Globaler Existenzsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 So 18.11.2018
Autor: Takota

Hallo Fred.

> Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> für alle m ausgehen.
>  
> Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> für alle [mm]x \in I_m[/mm].
>  
> Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]  
> etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
>  
> Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
>  
> [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>  
> Picard-Lindelöf sagt nun:
>
>
> (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> [mm]y_m.[/mm]
>  
> Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
>  
> y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]

1) Muß es nicht heißen: [mm]I_m \cup I_k,[/mm], also Vereinigung?

also auch

> [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
>  
> Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> Anfangswertproblem auf J löst.
>  

2) Ich denke, ich muß mir daß mit den Intervallen nochmal klar machen:

Skizze:

Die oben genannten Intervalle mit Klammern dargestellt:
J = (...) Offenes Intervall
[mm] $I_m$ [/mm] = [...] Kompaktes Intervall
[mm] $I_k$ [/mm] = <...> Kompaktes Intervall

[mm] $x_0$ [/mm] Anfangswert

P-L = Satz von Picard-Lindelöf


damit:

[mm] (...<...[...x,...$x_0$......]...>...) [/mm] Hier ist das x und [mm] $x_0$ [/mm] innerhalb des Intervalls [mm] $I_m$ [/mm]

[mm] (...<..x.....[......$x_0$......]...>...) [/mm] Hier steht das x innerhalb des Intervalls [mm] $I_k$, [/mm] bzw. außerhalb von [mm] $I_m$. [/mm]
Man kann also die Mengen vereinigen zu: [mm] $I_{neu}$ [/mm] := [mm] $I_m \cup I_k$ [/mm] = <...> (Kompaktes Intervall).
Also: [mm] (...<..x...........$x_0$.........>...) [/mm] Auch hier gilt wieder P-L für [mm] $x_0$, [/mm] aber das Intervall ist jetzt größer geworden. So sukzessiv weitergedacht, bekommt man für jedes x (in dem Intervall J) ein y. Also existiert y(x) auf dem ganzen Intervall J.

Falls meine Bemerkung zu 1) falsch war, ist zwei wohl hinfällig :-)

Bitte um Rückmeldung!

Gruß
Takota





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Globaler Existenzsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 So 18.11.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred.
>  
> > Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> > [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> > ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> > für alle m ausgehen.
>  >  
> > Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> > für alle [mm]x \in I_m[/mm].
>  >  
> > Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]  
> > etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
>  >  
> > Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
>  >  
> > [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>  
> >  

> > Picard-Lindelöf sagt nun:
> >
> >
> > (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> > [mm]y_m.[/mm]
>  >  
> > Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> > [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
>  >  
> > y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> > (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
>
> 1) Muß es nicht heißen: [mm]I_m \cup I_k,[/mm], also Vereinigung?

Nein. Überleg  doch  mal  worum es geht :  um die Wohldefiniertheit der Funktion y.

>  
> also auch
> > [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
>  >  
> > Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> > Anfangswertproblem auf J löst.
>  >  
>
> 2) Ich denke, ich muß mir daß mit den Intervallen nochmal
> klar machen:
>  
> Skizze:
>  
> Die oben genannten Intervalle mit Klammern dargestellt:
> J = (...) Offenes Intervall
>  [mm]I_m[/mm] = [...] Kompaktes Intervall
>  [mm]I_k[/mm] = <...> Kompaktes Intervall

>  
> [mm]x_0[/mm] Anfangswert
>  
> P-L = Satz von Picard-Lindelöf
>  
>
> damit:
>  
> (...<...[...x,...[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier ist das x und [mm]x_0[/mm]
> innerhalb des Intervalls [mm]I_m[/mm]
>  
> (...<..x.....[......[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier steht das x
> innerhalb des Intervalls [mm]I_k[/mm], bzw. außerhalb von [mm]I_m[/mm].
> Man kann also die Mengen vereinigen zu: [mm]I_{neu}[/mm] := [mm]I_m \cup I_k[/mm]
> = <...> (Kompaktes Intervall).
> Also: (...<..x...........[mm]x_0[/mm].........>...) Auch hier gilt
> wieder P-L für [mm]x_0[/mm], aber das Intervall ist jetzt größer
> geworden. So sukzessiv weitergedacht, bekommt man für
> jedes x (in dem Intervall J) ein y. Also existiert y(x) auf
> dem ganzen Intervall J.

Was  soll das ganze?  Ich hab  glasklar  definiert,  wie y auf  J definiert  ist.  Was  hast Du  für Probleme damit ?

>  
> Falls meine Bemerkung zu 1) falsch war, ist zwei wohl
> hinfällig :-)
>  
> Bitte um Rückmeldung!


>  
> Gruß
>  Takota
>  
>
>
>  


Bezug
                                                
Bezug
Globaler Existenzsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Di 20.11.2018
Autor: Takota

Hallo Fred,

> > Hallo Fred.
>  >  
> > > Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> > > [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> > > ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> > > für alle m ausgehen.
>  >  >  
> > > Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> > > für alle [mm]x \in I_m[/mm].
>  >  >  
> > > Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]  
> > > etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
>  >  >  
> > > Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
>  >  >  
> > > [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > Picard-Lindelöf sagt nun:
> > >
> > >
> > > (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> > > [mm]y_m.[/mm]
>  >  >  
> > > Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> > > [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
>  >  >  
> > > y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> > > (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
> >
> > 1) Muß es nicht heißen: [mm]I_m \cup I_k,[/mm], also Vereinigung?
>  
> Nein. Überleg  doch  mal  worum es geht :  um die
> Wohldefiniertheit der Funktion y.
>  >  
> > also auch
> > > [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
>  >  >  
> > > Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> > > Anfangswertproblem auf J löst.
>  >  >  
> >
> > 2) Ich denke, ich muß mir daß mit den Intervallen nochmal
> > klar machen:
>  >  
> > Skizze:
>  >  
> > Die oben genannten Intervalle mit Klammern dargestellt:
> > J = (...) Offenes Intervall
>  >  [mm]I_m[/mm] = [...] Kompaktes Intervall
>  >  [mm]I_k[/mm] = <...> Kompaktes Intervall

>  >  
> > [mm]x_0[/mm] Anfangswert
>  >  
> > P-L = Satz von Picard-Lindelöf
>  >  
> >
> > damit:
>  >  
> > (...<...[...x,...[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier ist das x und [mm]x_0[/mm]
> > innerhalb des Intervalls [mm]I_m[/mm]
>  >  
> > (...<..x.....[......[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier steht das x
> > innerhalb des Intervalls [mm]I_k[/mm], bzw. außerhalb von [mm]I_m[/mm].
> > Man kann also die Mengen vereinigen zu: [mm]I_{neu}[/mm] := [mm]I_m \cup I_k[/mm]
> > = <...> (Kompaktes Intervall).
> > Also: (...<..x...........[mm]x_0[/mm].........>...) Auch hier gilt
> > wieder P-L für [mm]x_0[/mm], aber das Intervall ist jetzt größer
> > geworden. So sukzessiv weitergedacht, bekommt man für
> > jedes x (in dem Intervall J) ein y. Also existiert y(x) auf
> > dem ganzen Intervall J.
>  
> Was  soll das ganze?  Ich hab  glasklar  definiert,  wie y
> auf  J definiert  ist.  Was  hast Du  für Probleme damit
> ?

Hallo Fred, ich wollte mir einfach die Intervalle nach deinen Ausführungen bildlich darstellen. Das Intervall [mm] $I_m$ [/mm] ist mir soweit klar, aber wie das mit dem Intervall [mm] $I_k$ [/mm] gemeint ist nicht ganz. Das Intervall [mm] $I_k$ [/mm]  muß sich ja irgendwie mit [mm] $I_m$ [/mm] überlappen um eine Schnittmenge zu bilden?

Tut mir leid, das ich bei diesem Thema schwer von Begriff bin. Hoffe du hast noch Geduld mit mir :-)


> > Falls meine Bemerkung zu 1) falsch war, ist zwei wohl
> > hinfällig :-)
>  >  
> > Bitte um Rückmeldung!
>  
>
> >  

> > Gruß
>  >  Takota
>  >  
> >
> >
> >  

>  


Bezug
                                                        
Bezug
Globaler Existenzsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Mi 21.11.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > > Hallo Fred.
>  >  >  
> > > > Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> > > > [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> > > > ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> > > > für alle m ausgehen.
>  >  >  >  
> > > > Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> > > > für alle [mm]x \in I_m[/mm].
>  >  >  >  
> > > > Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]  
> > > > etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
>  >  >  >  
> > > > Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
>  >  >  >  
> > > > [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Picard-Lindelöf sagt nun:
> > > >
> > > >
> > > > (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> > > > [mm]y_m.[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> > > > [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
>  >  >  >  
> > > > y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> > > > (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
> > >
> > > 1) Muß es nicht heißen: [mm]I_m \cup I_k,[/mm], also Vereinigung?
>  >  
> > Nein. Überleg  doch  mal  worum es geht :  um die
> > Wohldefiniertheit der Funktion y.
>  >  >  
> > > also auch
> > > > [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> > > > Anfangswertproblem auf J löst.
>  >  >  >  
> > >
> > > 2) Ich denke, ich muß mir daß mit den Intervallen nochmal
> > > klar machen:
>  >  >  
> > > Skizze:
>  >  >  
> > > Die oben genannten Intervalle mit Klammern dargestellt:
> > > J = (...) Offenes Intervall
>  >  >  [mm]I_m[/mm] = [...] Kompaktes Intervall
>  >  >  [mm]I_k[/mm] = <...> Kompaktes Intervall

>  >  >  
> > > [mm]x_0[/mm] Anfangswert
>  >  >  
> > > P-L = Satz von Picard-Lindelöf
>  >  >  
> > >
> > > damit:
>  >  >  
> > > (...<...[...x,...[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier ist das x und [mm]x_0[/mm]
> > > innerhalb des Intervalls [mm]I_m[/mm]
>  >  >  
> > > (...<..x.....[......[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier steht das x
> > > innerhalb des Intervalls [mm]I_k[/mm], bzw. außerhalb von [mm]I_m[/mm].
> > > Man kann also die Mengen vereinigen zu: [mm]I_{neu}[/mm] := [mm]I_m \cup I_k[/mm]
> > > = <...> (Kompaktes Intervall).
> > > Also: (...<..x...........[mm]x_0[/mm].........>...) Auch hier gilt
> > > wieder P-L für [mm]x_0[/mm], aber das Intervall ist jetzt größer
> > > geworden. So sukzessiv weitergedacht, bekommt man für
> > > jedes x (in dem Intervall J) ein y. Also existiert y(x) auf
> > > dem ganzen Intervall J.
>  >  
> > Was  soll das ganze?  Ich hab  glasklar  definiert,  wie y
> > auf  J definiert  ist.  Was  hast Du  für Probleme damit
> > ?
>  
> Hallo Fred, ich wollte mir einfach die Intervalle nach
> deinen Ausführungen bildlich darstellen. Das Intervall [mm]I_m[/mm]
> ist mir soweit klar, aber wie das mit dem Intervall [mm]I_k[/mm]
> gemeint ist nicht ganz. Das Intervall [mm]I_k[/mm]  muß sich ja
> irgendwie mit [mm]I_m[/mm] überlappen um eine Schnittmenge zu
> bilden?


>  
> Tut mir leid, das ich bei diesem Thema schwer von Begriff
> bin. Hoffe du hast noch Geduld mit mir :-)

Ist Dir denn überhaupt nicht aufgefallen, dass im Falle k>m gilt

  [mm] I_m \subset I_k [/mm] und damit [mm] I_m \cap I_k=I_m [/mm] ?

Ebenso: ist k<m, so ist

[mm] I_k \subset I_m [/mm] und damit [mm] I_m \cap I_k=I_k. [/mm]

>  
>
> > > Falls meine Bemerkung zu 1) falsch war, ist zwei wohl
> > > hinfällig :-)
>  >  >  
> > > Bitte um Rückmeldung!
>  >  
> >
> > >  

> > > Gruß
>  >  >  Takota
>  >  >  
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