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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung:
1) [mm] 2\wurzel{3}sin(x)+2cos(x)=4
[/mm]
2) [mm] cos(\bruch{pi}{2}-2x)-cos(x)=0 [/mm] |
Hallo,
wollte fragen ob meine Aufgabe 1 richtig ist:
[mm] 2\wurzel{3}sin(x)+2cos(x)=4
[/mm]
Durch Norm teilen
[mm] \bruch{1}{\wurzel{(2\wurzel{3})^2+2^2}}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{2\wurzel{3}}{4}sin(x)+\bruch{2}{4}cos(x)=4/4
[/mm]
[mm] \bruch{2\wurzel{3}}{4}=cos(y) \wedge \bruch{2}{4}=sin(y)
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}=cos(y) \wedge \bruch{1}{2}=sin(y)
[/mm]
[mm] y=\bruch{pi}{6} \wedge y=\bruch{pi}{6} [/mm]
sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)=1
sin(x+y)=1
[mm] x+y=\bruch{pi}{2}
[/mm]
[mm] x=\bruch{pi}{3}
[/mm]
Was kommt jetzt noch? Das wäre ja eigtl noch nicht die ganze Lösungsmenge da man ja noch mal 360grad machen kann..?
2)
[mm] cos(\bruch{pi}{2}-2x)-cos(x)=0
[/mm]
[mm] cos(\bruch{pi}{2})cos(2x)+sin(\bruch{pi}{2})cos(2x)-cos(x)=0
[/mm]
0+1*cos(2x)-cos(x)=0
cos(2x)-cos(x)=0
[mm] cos^2(x)-sin^2(x)-cos(x)=0
[/mm]
[mm] cos(x)*(cos(x)-1)-sin^2(x)=0
[/mm]
cos(x)=0 [mm] \wedge sin^2(x)=0
[/mm]
Da weiss ich jetzt nicht so richtig weiter...
Danke an alle,
lG
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:55 Do 13.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung:
> 1) [mm]2\wurzel{3}sin(x)+2cos(x)=4[/mm]
> 2) [mm]cos(\bruch{pi}{2}-2x)-cos(x)=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> wollte fragen ob meine Aufgabe 1 richtig ist:
>
> [mm]2\wurzel{3}sin(x)+2cos(x)=4[/mm]
> Durch Norm teilen
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{(2\wurzel{3})^2+2^2}}=\bruch{1}{4}[/mm]
Was treibst Du da ???
>
> [mm]\bruch{2\wurzel{3}}{4}sin(x)+\bruch{2}{4}cos(x)=4/4[/mm]
Ja, dazu kommt man, wenn man die ursprünliche Gleichung durch 4 teilt.
>
> [mm]\bruch{2\wurzel{3}}{4}=cos(y) \wedge \bruch{2}{4}=sin(y)[/mm]
>
Hä ? Was ist das denn ??? Was ist plötzlich y ???
> [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}=cos(y) \wedge \bruch{1}{2}=sin(y)[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{pi}{6} \wedge y=\bruch{pi}{6}[/mm]
>
> sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)=1
Unfug !!!!
> sin(x+y)=1
> [mm]x+y=\bruch{pi}{2}[/mm]
> [mm]x=\bruch{pi}{3}[/mm]
Was Du da oben gemacht hast ist völlig chaotisch, nicht zu verstehn und nicht nachvollziebar.
>
> Was kommt jetzt noch? Das wäre ja eigtl noch nicht die
> ganze Lösungsmenge da man ja noch mal 360grad machen
> kann..?
>
> 2)
> [mm]cos(\bruch{pi}{2}-2x)-cos(x)=0[/mm]
>
> [mm]cos(\bruch{pi}{2})cos(2x)+sin(\bruch{pi}{2})cos(2x)-cos(x)=0[/mm]
Das stimmt nicht. Schau Dir nochmal das Additionstheorem für den Cosinus an !
FRED
> 0+1*cos(2x)-cos(x)=0
> cos(2x)-cos(x)=0
> [mm]cos^2(x)-sin^2(x)-cos(x)=0[/mm]
> [mm]cos(x)*(cos(x)-1)-sin^2(x)=0[/mm]
> cos(x)=0 [mm]\wedge sin^2(x)=0[/mm]
> Da weiss ich jetzt nicht so
> richtig weiter...
>
> Danke an alle,
>
> lG
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Nee da ist nix Unfug oder chaotisch beim ersten Beispiel! Das haben wir so in der Klasse an einem anderen Beispiel gemacht..!
Und zu deiner Frage was y sein soll, hab da anstatt sin(x1,x2) hab ich sin(x,y) genommen. Additionstheorem!
lG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 13.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nee da ist nix Unfug oder chaotisch beim ersten Beispiel!
Mit Verlaub, da muss ich Dir gewaltig widersprechen !
> Das haben wir so in der Klasse an einem anderen Beispiel
> gemacht..!
Zeig mal diese Aufgabe (mit Lösung)
>
> Und zu deiner Frage was y sein soll, hab da anstatt
> sin(x1,x2) hab ich sin(x,y) genommen. Additionstheorem!
Das verstehe wer will. Ich jedenfalls nicht.
FRED
>
> lG
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Hier ist das beispiel das wir in der KLASSE gemacht haben:
[mm] 3sin(x)-\wurzel{3}cos(x)=3
[/mm]
Norm:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{3^2+\wurzel{3}^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{\wurzel{12}}sin(x)-\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{12}}cos(x)=\bruch{3}{\wurzel{12}}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{\wurzel{12}}=cos(y) \wedge \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{12}}=sin(y)
[/mm]
Bitte sehr, so haben wir das in der Klasse an der Uni gemacht.
lG
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}=cos(y) \wedge \bruch{1}{2}=sin(y)
[/mm]
[mm] y=\bruch{pi}{6} \wedge y=\bruch{pi}{6}
[/mm]
[mm] cos(y)sin(x)-sin(y)cos(x)=\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] sin(x-y)=\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] x-y=\bruch{pi}{3}
[/mm]
[mm] x=\bruch{pi}{2}+2kPI
[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:29 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo Fred
der S hat
a*sinx+bcosx=c umgeformt in Asinx+Bcosx=C mit [mm] A^2+B^2=1 [/mm] ,er nennt das normieren.
deshalb kann er wie auch weiter unten geschrieben A=cosy, B=siny setzen
und dann das Additionstheorem
sinx*cosy+cosx*siny=sin(x+y)= 1 richtig verwenden.
Das ist vielleicht umständlich aber kein Unfug:
ich finde es eine gute Beherrschung der Additionstheoreme, da es als Aufgabenlösung aufgeschrieben ist, mit richtigem Ergebnis, muß er das auch nicht in jedem Schritt begründen.
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein erste Aufgabenteil ist soweit richtig.
weitere Lösungen: ia)sin(x+y)=1
a) [mm] x+y=\pi/2 \pm n*2\pi
[/mm]
b) siny=1/2 bei [mm] y=\pi/6+n*2\pi [/mm] und [mm] 5\pi/6 +n*2\pi
[/mm]
cosy=... entsprechend-
Ein anderer Weg 1 zu lösen wäre durch cosx zu dividieren , nachdem man cosx=0 ausgeschlossen hat, und dann hat man eine einfache Gl für tan(x)
zu 2
1. direkt zu sehen cosx=cos2x für x=0
2. in $ [mm] cos^2(x)-sin^2(x)-cos(x)=0 [/mm] sin^2x durch [mm] 1-cos^2 [/mm] x ersetztn
dann cosx=z und die quadratische Gl. für z lösen.
Gruß leduart
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Hey, danke für deine Antwort!!
Ja also beim 1) hab ich ja pi/3 +2*k*pi
und beim 2)pi/2 +k*pi oder pi/6+k*pi
lG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf die Werte bei 2?
Gru0 leduart
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Hallo,
ja folgendermassen:
[mm] cos(\bruch{pi}{2}-2x)-cos(x)=0
[/mm]
sin(2x)-cos(x)=0
2sin(x)cos(x)-cos(x)=0
cos(x)*(2sin(x)-1))=0
cos(x)=0
x=arcos(0)
[mm] x=\bruch{pi}{2}
[/mm]
oder
2sin(x)=1
[mm] sin(x)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x=arsin(\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] x=\bruch{pi}{6}
[/mm]
[mm] x=\bruch{pi}{2}+2kPI [/mm] oder [mm] x=-\bruch{pi}{2}+2kpi [/mm]
[mm] ->x=\bruch{pi}{2}+kPI [/mm]
Lösungen:
[mm] x=\bruch{pi}{2}+kPI [/mm] oder
[mm] x=\bruch{pi}{6}+2kPI
[/mm]
lG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 14.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, es fehlt aber sinx=0.5 [mm] x=5/6*\pi
[/mm]
Gruss leduart
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