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Hallo allerseits!
Ich soll diesen Integranden auf Nullstellen untersuchen, habe aber sehr große Defizite auf dem Gebiet Giniometrische Gleichungen. Hab ein paar Informationen aus meinem Buch bekommen, es will aber trotzdem nicht so recht klappen...Könnte mir bitte jemand helfen?
Meine Ansätze:
[mm] \wurzel{1-cos^2(x)}-cos(x)=0
[/mm]
u=cos(x)
[mm] \wurzel{1-u^2}=u
[/mm]
[mm] 1-u^2=u^2
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}=u
[/mm]
[mm] cos(x)=\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] arccos(\wurzel{\bruch{1}{2}})=x
[/mm]
Nur ergibt das jetzt doch 45, und als Nullstellen erhalte ich mit Derive [mm] \bruch{5\pi}{4} [/mm] , [mm] -\bruch{3\pi}{4},\bruch{\pi}{4}....
[/mm]
Vielen Dank!
LG
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mo 14.07.2008 | | Autor: | abakus |
> sin(x)-cos(x)=0
> Hallo allerseits!
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> Ich soll diesen Integranden auf Nullstellen untersuchen,
> habe aber sehr große Defizite auf dem Gebiet Giniometrische
> Gleichungen. Hab ein paar Informationen aus meinem Buch
> bekommen, es will aber trotzdem nicht so recht
> klappen...Könnte mir bitte jemand helfen?
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> Meine Ansätze:
>
> [mm]\wurzel{1-cos^2(x)}-cos(x)=0[/mm]
Hallo, hier ist die erste Ungenauigkeit.
Je nach Quadrant gilt sin(x) = [mm] \wurzel{1-cos^2(x)} [/mm] oder
sin(x) = [mm] -\wurzel{1-cos^2(x)}
[/mm]
> u=cos(x)
>
> [mm]\wurzel{1-u^2}=u[/mm]
Der Fehler bleibt allerdings noch ohne Folgen, weil durch das beidseitige quadrieren der Vorzeichenunterschied wieder verschwindet.
Allerdings bringst du dadurch weitere Scheinlösungen in die Aufgabe, denn auch die (hier nicht gewünschten) Lösungen der Gleichung sin(x)+cos(x)=0 (umgeformt [mm]\wurzel{1-u^2}=-u[/mm]) werden durch deine nachfolgenmde Gleichung beschrieben.
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> [mm]1-u^2=u^2[/mm]
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> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}=u[/mm]
Hier hast du wieder die Hälfte unterschlagen. Aus [mm] u^2=0,5 [/mm] folgt [mm]u=\pm \wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
Also:
- beide Fälle betrachten
- mit einer Probe Scheinlösungen finden und ausschließen
> [mm]cos(x)=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
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> [mm]arccos(\wurzel{\bruch{1}{2}})=x[/mm]
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> Nur ergibt das jetzt doch 45, und als Nullstellen erhalte
> ich mit Derive [mm]\bruch{5\pi}{4}[/mm] ,
> [mm]-\bruch{3\pi}{4},\bruch{\pi}{4}....[/mm]
Wo ist dein Problem? Dass man einen Winkel sowohl im Gradmaß als auch im Bogenmaß angeben kann (45° entspricht z.B. [mm] \pi/4), [/mm] oder verwirren die unendlich vielen Lösungen? Schließlich sind die sin- und cos-Funktion periodisch, sodass sich sämtliche Lösungen im Abstand von [mm] 2\pi [/mm] wiederholen müssen.
Gruß Abakus
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> Vielen Dank!
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> LG
> Angelika
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Danke für deine ausführliche Korrektur!
Mir war nur das Bogenmaß nicht klar...aber jetzt weiß ichs ja.
Gruß
Angelika
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> sin(x)-cos(x)=0
> Hallo allerseits!
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> Ich soll diesen Integranden auf Nullstellen untersuchen,
> habe aber sehr große Defizite auf dem Gebiet Goniometrische
> Gleichungen. Hab ein paar Informationen aus meinem Buch
> bekommen, es will aber trotzdem nicht so recht
> klappen...Könnte mir bitte jemand helfen?
Der Antwort von abakus möchte ich noch hinzufügen, dass diese Gleichung leichter auf einem anderen Weg lösbar ist. Für eine Lösung $x$ muss jedenfalls [mm] $\cos(x)\neq [/mm] 0$ gelten, also ist
[mm]\begin{array}{lcll}
\sin(x)-\cos(x) &=& 0 &\Big| +\cos(x)\\
\sin(x) &=& \cos(x) &\Big| \div\cos(x), \text{ ok, da $\neq 0$}\\
\tan(x) &=& 1 &\Big| \arctan\\
x &=& \frac{\pi}{4}+n\pi, n\in\IZ
\end{array}[/mm]
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