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Hallo,
ich hab die Funktion: [mm] y=\wurzel{1+sin(x)}
[/mm]
daraus muss ich den Definitionsbereich und Wertebereich bestimmen!
der Definitonsbereich sind zb. die Werte : D= [mm] {-\infty>x<+1} [/mm] oder??
und der Wertebereich sind die Zahlen die ich der Funktion zuordne! oder??
Ich bräuchte Hilfe bei der Bestimmung des Definitionsbereichs und Wertebereich falls ich damit richtig liege!!
Danke im Voraus!
Bitte um Rückschrift!
Lg martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo highlandgold!
> Hallo,
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> ich hab die Funktion: [mm]y=\wurzel{1+sin(x)}[/mm]
>
> daraus muss ich den Definitionsbereich und Wertebereich
> bestimmen!
>
> der Definitonsbereich sind zb. die Werte : D=
> [mm]{-\infty>x<+1}[/mm] oder??
Was soll das denn heißen? [mm]-\infty>x[/mm] ergibt gar keinen Sinn. Und selbst [mm]-\infty < x <1[/mm] ist nicht richtig, bzw. nur ein Teil der Definitionsmenge.
Der Definitionsbereich ist die Menge an Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen. Hier darf für x nichts eingesetzt werden, sodass der Radikand [mm]1+\sin(x)[/mm] negativ wird. Gibt es also [mm]x\in\mathbb R[/mm] mit [mm]1+\sin(x)<0[/mm]?
> und der Wertebereich sind die Zahlen die ich der Funktion
> zuordne! oder??
Der Funktion zuordnen?
Wenn du für x eine Zahl (aus dem Definitionsbereich) einsetzt, hat die Funktion einen bestimmten Wert - z.B. [mm]x=\frac\pi 2[/mm]: dann ist [mm]y=\sqrt{1+1}=\sqrt 2[/mm], d.h. [mm]\sqrt 2[/mm] liegt im Wertebereich.
Bestimme also alle möglichen Funktionswerte, diese bilden den Wertebereich.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
also dann ist der Definitionsbereich von der Funktion [mm] y=\wurzel{1+sin(x)}
[/mm]
alle reelle Zahlen außer 1+sin(x)<0,weil man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann !! hab ich das so richtig verstanden????
und wenn ich jetzt den Wertebereich bestimmen möchte muss ich alle Zahlen für x einsetzen sodass ich unter der Wurzel keine negative Zahl hab! oder?
zb [mm] y=\wurzel{1+1}=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] y=\wurzel{1+2}=\wurzel{3}
[/mm]
[mm] y=\wurzel{1+3}=\wurzel{4} [/mm] ... und das so fortlaufend ???
Ich meine läuft das jetzt bis [mm] +\infty [/mm] weiter???
Ganz versteh ich das noch nicht!?
also [mm] y=\wurzel{1-2}= [/mm] falsche Aussage . dies wär dann im Definitionsberich definiert!
Bitte um Rückschrift!
Danke
lg martin
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> Hallo,
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> also dann ist der Definitionsbereich von der Funktion
> [mm]y=\wurzel{1+sin(x)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> alle reelle Zahlen außer 1+sin(x)<0,weil man aus einer
> negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann !! hab ich das so
> richtig verstanden????
>
> und wenn ich jetzt den Wertebereich bestimmen möchte muss
> ich alle Zahlen für x einsetzen sodass ich unter der
> Wurzel keine negative Zahl hab! oder?
Hallo martin,
natürlich geht es jetzt darum, sich das Ganze am
vorliegenden Beispiel noch konkret klar zu machen !
Welche Werte können denn folgende Ausdrücke
annehmen, wenn x\in\IR :
1.) $\ sin(x)$
2.) $\ 1+sin(x)$
3.) $\sqrt{1+sin(x)$
(dazu musst du nur eine recht einfache Eigenschaft
der Sinusfunktion kennen, aber die dann halt wirklich !)
LG , Al-Chw.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich versteh nicht was du meinst mit "der einfachen Eigenschaft"???
1.) $ \ sin(x) $
2.) $ \ 1+sin(x) $
3.) $ \sqrt{1+sin(x) $ was soll das bedeuten??
Bitte ich will es verstehen aber was nützt es mir wenn mir eine Gegenfrage gestellt wird auf die ich keine Antwort weiss?!
lg martin
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Hallo,
> Hallo,
>
> ich versteh nicht was du meinst mit "der einfachen
> Eigenschaft"???
PERIODIZITÄT mit Periode [mm] P=2\pi
[/mm]
>
>
> 1.) [mm]\ sin(x)[/mm]
>
> 2.) [mm]\ 1+sin(x)[/mm]
>
> 3.) [mm]\sqrt{1+sin(x)[/mm] was soll das bedeuten??
>
>
> Bitte ich will es verstehen aber was nützt es mir wenn mir
> eine Gegenfrage gestellt wird auf die ich keine Antwort
> weiss?!
Es nützt dir etwas, wenn du darauf eingehst. Du bist ein typischer Fall eines Menschen, welcher der völlig irrigen und aberwitzigen Meinung ist, Mathematiker wüssten alles und wollen es nicht verraten. Dem ist nicht so, sie stellen sich aber in einer solchen Situation nicht hin und sagen 'ich weiß es nicht' um dann aufzugeben, sondern sie beginnen, sich Fragen zu stellen. Je mehr und je häufiger sie das tun, desto besser werden diese Fragen und desto schneller stoßen sie zum Kern eines Problems vor (dieser Prozess ist ja eigentlich das, was man Mathematik nennt, alles andere ist Rechnen).
Die Fragen, die Al-Chwarizmi gestellt hat sind eben die, die du dir idealerweise selbst stellen solltest.
Ich verdeutliche das nochmal. Im ersten Schritt mache dir den periodischen Verlauf der Sinusfunktion klar. Wo liegen die Nullstellen, wo verläuft sie oberhalb der x-Achse, wo unterhalb, welchen Wertebereich hat sie?
Jetzt addiere zur Sinusfunktion +1 (also nicht auf 'Gefällt mir' klicken  ). Welchen entscheidenden Einfluss hat dies auf den Wertebereich, also wie ändert sich dieser?
Wenn du darauf die Antwort findest, sollte dir der Definitionsbereich deiner Funktion klar sein.
Für den Wertebereich bedenke, dass du von der unteren und der oberen Schranke des Wertebereichs von 1+sin(x) noch jeweils die Quadratwurzel ziehen musst, um den Wertebereich deiner Funktion zu bekommen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
also eine Periode einer sinus oder kosinusfunktion geht von 0 bis 2Pi.
Die Nullstellen einer Sinusfunktion liegen bei 0,Pi und 2Pi.
und wenn ich in die Funktion: [mm] y=\wurzel{1+sin(x)} [/mm] diese Nullstellen einsetze dann kommt bei mir immer 1 als Ergebnis!
wenn ich die Werte von Pi/2 und 3Pi/2 einsetze dann komm ich auf [mm] \wurzel{2} [/mm] bei Pi/2 und auf 0 bei 3Pi/2.
Also geht der Definitionsbereich von 0 bis 3Pi/2 ??
Und der Wertebereich???
lg martin
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Hallo Martin
> eine Periode einer sinus oder kosinusfunktion geht von
> 0 bis 2Pi.
Richtig. Und der Definitionsbereich geht weit über dieses
Grundintervall hinaus und umfasst unendlich viele Perioden,
welche insgesamt ganz [mm] \IR [/mm] abdecken. Der Definitionsbereich
von sin (und auch von cos) ist also ganz [mm] \IR [/mm] .
> Die Nullstellen einer Sinusfunktion liegen bei 0,Pi und
> 2Pi.
... und wegen der Periodizität sind alle ganzzahligen
Vielfachen von [mm] \pi [/mm] ebenfalls Nullstellen der Sinusfunktion,
also zum Beispiel [mm] 13*\pi [/mm] , [mm] 4892476*\pi [/mm] , [mm] -769*\pi [/mm] , etc.
> und wenn ich in die Funktion: [mm]y=\wurzel{1+sin(x)}[/mm] diese
> Nullstellen einsetze dann kommt bei mir immer 1 als
> Ergebnis!
Das ist klar.
> wenn ich die Werte von Pi/2 und 3Pi/2 einsetze dann komm
> ich auf [mm]\wurzel{2}[/mm] bei Pi/2 und auf 0 bei 3Pi/2.
>
> Also geht der Definitionsbereich von 0 bis 3Pi/2 ??
> Und der Wertebereich???
>
> lg martin
Wenn du dir mal die Sinusfunktion aufzeichnest (ich hoffe
eigentlich sehr, dass du das auch schon mal machen
musstest), dann kannst du sehen, dass als y-Werte alle
reellen Werte im Intervall [-1 ... +1] vorkommen, und
keine anderen. Mach dir dies bitte auch anschaulich klar !
Wenn wir nun statt der Funktion [mm] y_0(x)=sin(x) [/mm] die Funktion
mit [mm] y_1(x)=sin(x)+1 [/mm] betrachten, so liegen natürlich deren
Werte im Intervall [0 ... +2] . Mach dir bitte ebenfalls klar,
weshalb genau dies so sein muss !
Aus allen diesen Werten der Funktion [mm] y_1(x) [/mm] kann man die
Quadratwurzel ziehen und erhält für [mm] y_2(x):=\sqrt{y_1(x)}
[/mm]
einen eindeutigen Funktionswert. Wieder: weshalb genau ?
Die Folgerung ist, dass die Funktion [mm] y_2(x) [/mm] mit
$\ [mm] y_2(x)\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{y_1(x)}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{1+sin(x)}$
[/mm]
für jede reelle Zahl x definiert ist. Also haben wir den
Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] .
Der Wertebereich besteht aus allen Zahlenwerten, die
als Funktionswerte dieser Funktion entstehen können.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
Wenn du dir mal die Sinusfunktion aufzeichnest (ich hoffe
eigentlich sehr, dass du das auch schon mal machen
musstest), dann kannst du sehen, dass als y-Werte alle
reellen Werte im Intervall [-1 ... +1] vorkommen, und
keine anderen. Mach dir dies bitte auch anschaulich klar !
Wenn wir nun statt der Funktion $ [mm] y_0(x)=sin(x) [/mm] $ die Funktion
mit $ [mm] y_1(x)=sin(x)+1 [/mm] $ betrachten, so liegen natürlich deren
Werte im Intervall [0 ... +2] . Mach dir bitte ebenfalls klar,
weshalb genau dies so sein muss !
Aus allen diesen Werten der Funktion $ [mm] y_1(x) [/mm] $ kann man die
Quadratwurzel ziehen und erhält für $ [mm] y_2(x):=\sqrt{y_1(x)} [/mm] $
einen eindeutigen Funktionswert. Wieder: weshalb genau ?
Die Folgerung ist, dass die Funktion $ [mm] y_2(x) [/mm] $ mit
$ \ [mm] y_2(x)\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{y_1(x)}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{1+sin(x)} [/mm] $
für jede reelle Zahl x definiert ist. Also haben wir den
Definitionsbereich $ [mm] \IR [/mm] $ .
Der Wertebereich besteht aus allen Zahlenwerten, die
als Funktionswerte dieser Funktion entstehen können.
Das versteh ich nicht !
Kannst du mir das mit einer Zeichnung klarer zu Verständnis bringen?
lg martin
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> Hallo,
>
>
> Wenn du dir mal die Sinusfunktion aufzeichnest (ich hoffe
> eigentlich sehr, dass du das auch schon mal machen
> musstest), dann kannst du sehen, dass als y-Werte alle
> reellen Werte im Intervall [-1 ... +1] vorkommen, und
> keine anderen. Mach dir dies bitte auch anschaulich klar
> !
>
> Wenn wir nun statt der Funktion [mm]y_0(x)=sin(x)[/mm] die
> Funktion
> mit [mm]y_1(x)=sin(x)+1[/mm] betrachten, so liegen natürlich
> deren
> Werte im Intervall [0 ... +2] . Mach dir bitte ebenfalls
> klar,
> weshalb genau dies so sein muss !
>
> Aus allen diesen Werten der Funktion [mm]y_1(x)[/mm] kann man die
> Quadratwurzel ziehen und erhält für
> [mm]y_2(x):=\sqrt{y_1(x)}[/mm]
> einen eindeutigen Funktionswert. Wieder: weshalb genau ?
>
> Die Folgerung ist, dass die Funktion [mm]y_2(x)[/mm] mit
>
> [mm]\ y_2(x)\ =\ \sqrt{y_1(x)}\ =\ \sqrt{1+sin(x)}[/mm]
>
> für jede reelle Zahl x definiert ist. Also haben wir den
> Definitionsbereich [mm]\IR[/mm] .
> Der Wertebereich besteht aus allen Zahlenwerten, die
> als Funktionswerte dieser Funktion entstehen können.
>
>
>
> Das versteh ich nicht !
>
> Kannst du mir das mit einer Zeichnung klarer zu
> Verständnis bringen?
>
> lg martin
Hallo martin,
ich probiere, das Ganze nochmals zu beschreiben, und
ich bitte dich, zu Papier und Stiften zu greifen und dir
die Zeichnung selber zu machen.
1.) Zeichne ein Koordinatensystem, das z.B. von
[mm] x=-2\pi [/mm] bis [mm] x=+4\pi [/mm] reicht und von y=-2 bis y=+3
2.) Zeichne mit blauer Farbe die Sinuskurve [mm] y_0(x)=sin(x)
[/mm]
Dies ist eine Wellenlinie, die ganz im Streifen zwischen
den Geraden gu: y=-1 und go: y=+1 liegt. Auf gu
liegen die Tiefpunkte und auf go die Hochpunkte der
Kurve.
3.) Nimm die schwarze Farbe für die Kurve [mm] y_1(x)=y_0(x)+1
[/mm]
Diese schwarze Kurve entsteht aus der blauen durch
eine Verschiebung um 1 senkrecht nach oben.
Sie liegt also entsprechend in einem parallelen Streifen
zwischen der x-Achse und der Geraden y=2 . Ihre
Funktionswerte durchqueren immer wieder dieses
y-Intervall [mm] 0\le y\le2 [/mm] von unten nach oben und wieder
zurück.
Insbesondere sind alle Funktionswerte [mm] y_1(x) [/mm] nicht-
negativ, d.h. man kann aus [mm] y_1(x) [/mm] stets die Wurzel ziehen.
4.) Genau dies tun wir jetzt. Nimm den roten Stift und
skizziere dir die Kurve für [mm] y_2(x):=\sqrt{y_1(x)} [/mm] . Dazu
pickst du dir eine Folge von Punkten auf der schwarzen
Kurve heraus und markierst dir, wenn z.B. der schwarze
Punkt die Koordinaten (2|1.9) hat , so ziehst du aus der
y-Koordinate die Quadratwurzel und markierst den
Punkt [mm] (2|\sqrt{1.9}) \approx [/mm] (2|1.4) mit rot. Noch
ein Beispiel: schwarz (4|0.24) ---> rot [mm] (4|\sqrt{0.24}) \approx [/mm] (4|0.5)
Diese rot dargestellte Kurve ist auch so etwas wie
eine "Wellenlinie", allerdings hat sie bei ihren Tiefpunkten
jeweils einen Knick. Sie besteht aus aneinandergereihten
nach oben gewölbten kongruenten Bögen, und sie
liegt offensichtlich ganz im Intervall [mm] 0\le{y}\le\sqrt{2} [/mm] .
Dies ist offensichtlich der Wertebereich der Funktion
mit der Gleichung $ [mm] y_2=\wurzel{1+sin(x)} [/mm] $
Nebenbei: Für das Zeichnen der Graphen kannst du dir
natürlich auch einen der vielen Online-Plotter zunutze
machen. Hier wollte ich dich aber mit Absicht dazu
bringen, die Graphen selber (mit deinen eigenen Händen
und Sinnen) zu zeichnen ... denn:
Unsere Hände haben ziemlich viel mit "Begreifen" zu tun !
LG , Al-Chw.
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