Grad der Koerpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Do 17.06.2010 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | | Wie lautet der Grad des Zerfaellungskoerper von [mm] x^{3}-2 [/mm] in [mm] F_{7}? [/mm] |
Hallo, ich habe ueber Q bereits die Basis bilden koennen, aber weis jemand wie ich bei endlichen Koerpern vorgehen muss? Loesungansatz waere hilfreich. Vorab Dank.
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Fr 18.06.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wie lautet der Grad des Zerfaellungskoerper von [mm]x^{3}-2[/mm] in
> [mm]F_{7}?[/mm]
> Hallo, ich habe ueber Q bereits die Basis bilden koennen,
> aber weis jemand wie ich bei endlichen Koerpern vorgehen
> muss? Loesungansatz waere hilfreich. Vorab Dank.
Über endlichen Körpern ist alles viel einfacher. Ich hoffe, du kennst [mm] F_7 [/mm] und kannst nachweisen, daß dieses Polynom über [mm] F_7 [/mm] irreduzibel ist. Dann adjungierst du eine Nullstelle [mm] \alpha [/mm] vom Grad 3 und erhältst den Körper [mm] F_{343}. [/mm] Jetzt die brutale Methode: In diesem Körper teilst du dein Polynom durch X - [mm] \alpha. [/mm] Diese Division geht auf und ergibt ein Polynom 2. Grades. Dessen Nullstellen kannst du mit der p-q-Formel bestimmen. Liegen sie in [mm] F_{343} [/mm] oder muß man noch einmal erweitern - das ist hier die Frage.
Es geht auch eleganter, wenn man sich überlegt, daß es in [mm] F_7 [/mm] 3. Einheitswurzeln gibt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Fr 18.06.2010 | | Autor: | PeterB |
Hallo Dieter
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> Es geht auch eleganter, wenn man sich überlegt, daß es in
> [mm]F_7[/mm] 3. Einheitswurzeln gibt.
>
man könnte auch, 3. Einheitswurzeln hin oder her, Galoistheorie verwenden: Da es zu jedem Grad genau eine Erweiterung gibt (Frobenius) sind alle Galoisgruppen zyklisch, also insbesondere abelsch! D.h. jede Erweiterung ist normal. Insbesondere erhält man für jedes irreduzible Polynom den Zerfällungkörper, wenn man eine Wurzel adjungiert.
Gruß
Peter
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