Grad des Zerfällungskörpers < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für folgende Polynome in [mm] \IQ[x] [/mm] jeweils den Grad ihres Zerfällungskörpers über [mm] \IQ:
[/mm]
i) [mm] x^{4}+4
[/mm]
ii) [mm] x^{8}-2
[/mm]
iii) [mm] (x^{2}+4x+5)(x^{4}+1) [/mm] |
Hallo,
bin mir leider hierbei ein wenig unsicher:
i)
Nullstellen sind: -1-i, -1+i, 1-i, 1+i
[mm] \Rightarrow \IQ((-1-i),(-1+i),(1-i),(1+i)). [/mm] Da -1 [mm] \in \IQ [/mm] folgt (-1)*(-1-i) und (-1)*(-1+i) [mm] \in \IQ((1+i),(1-i)), [/mm] also [mm] \IQ((1+i),(1-i)) [/mm] Zerfällungskörper.
[mm] [\IQ((1+i),(1-i)):\IQ]=[\IQ(1+i):\IQ]*[\IQ((1+i),(1-i):\IQ(1+i)]
[/mm]
[mm] dim_{\IQ}(\IQ(1+i))=2, [/mm] denn eine Basis ist [mm] \{1, i\}
[/mm]
[mm] dim_{\IQ(1+i)}(\IQ((1-i),(1+i))=1, [/mm] denn eine Basis ist [mm] \{i\}
[/mm]
Also Grad des Zerfällungskörpers über [mm] \IQ [/mm] gleich 2
Wäre Aufgabe i) erstmal so weit in Ordnung?
Viele Grüße
derriemann
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Hey,
> Bestimmen Sie für folgende Polynome in [mm]\IQ[x][/mm] jeweils den
> Grad ihres Zerfällungskörpers über [mm]\IQ:[/mm]
>
> i) [mm]x^{4}+4[/mm]
> ii) [mm]x^{8}-2[/mm]
> iii) [mm](x^{2}+4x+5)(x^{4}+1)[/mm]
> Hallo,
>
> bin mir leider hierbei ein wenig unsicher:
>
> i)
>
> Nullstellen sind: -1-i, -1+i, 1-i, 1+i
> [mm]\Rightarrow \IQ((-1-i),(-1+i),(1-i),(1+i)).[/mm] Da -1 [mm]\in \IQ[/mm]
> folgt (-1)*(-1-i) und (-1)*(-1+i) [mm]\in \IQ((1+i),(1-i)),[/mm]
> also [mm]\IQ((1+i),(1-i))[/mm] Zerfällungskörper.
>
> [mm][\IQ((1+i),(1-i)):\IQ]=[\IQ(1+i):\IQ]*[\IQ((1+i),(1-i):\IQ(1+i)][/mm]
> [mm]dim_{\IQ}(\IQ(1+i))=2,[/mm] denn eine Basis ist [mm]\{1, i\}[/mm]
>
> [mm]dim_{\IQ(1+i)}(\IQ((1-i),(1+i))=1,[/mm] denn eine Basis ist
> [mm]\{i\}[/mm]
Hmm, warum das?
Zeig mir doch mal, wie du zum Beispiel die 1 als Vielfaches dieses Basiselements schreibst. ;)
> Also Grad des Zerfällungskörpers über [mm]\IQ[/mm] gleich 2
>
> Wäre Aufgabe i) erstmal so weit in Ordnung?
Bis auf die eine Anmerkung siehts gut aus.
lg
Schadow
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Oh, stimmt. Also wäre die Basis von [mm] \IQ((1-i),(1+i)) [/mm] über [mm] \IQ(1+i) [/mm] = {1}
und zu ii)
Die Nullstellen sind ja schon einmal nicht sehr handlich.
Also Nullstellen sind [mm] \pm\wurzel[8]{2}, \pm i\wurzel[8]{2}, \pm \wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}, -(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2}
[/mm]
Also Zerfällungskörper = [mm] \IQ((\wurzel[8]{2}),( i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}),( -(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2}))
[/mm]
Grad des Zerfällungskörpers:
[mm] [\IQ(\wurzel[8]{2}):\IQ]=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{B}=\{1, \wurzel[8]{2}\} [/mm] eine Basis.
[mm] [\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2})):\IQ(\wurzel[8]{2})]=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{C}=\{1, i\} [/mm] eine Basis
[mm] [\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2})):\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}))]=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{D}=\{1, \wurzel[4]{-1}\} [/mm] eine Basis, sowie
[mm] [\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}),(-(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2})): \IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}))]=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{E}=\{1, (-1)^{3/4}\} [/mm] eine Basis.
Also Grad des Zerfällungskörpers = [mm] 2^{4}=16
[/mm]
Da bin ich mir jetzt total unsicher 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Sa 18.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh, stimmt. Also wäre die Basis von [mm]\IQ((1-i),(1+i))[/mm] über
> [mm]\IQ(1+i)[/mm] = {1}
>
> und zu ii)
>
> Die Nullstellen sind ja schon einmal nicht sehr handlich.
> Also Nullstellen sind [mm]\pm\wurzel[8]{2}, \pm i\wurzel[8]{2}, \pm \wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}, -(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2}[/mm]
Das wird wesentlich einfachre, wenn du alles durch [mm] $\xi [/mm] := [mm] \sqrt[8]{2}$ [/mm] und [mm] $\zeta [/mm] := [mm] \exp\frac{2\pi i}{8}$ [/mm] (was im Wesentlichen gleich [mm] $\sqrt[4]{-1}$ [/mm] ist) ausdrueckst: dann hast du naemlich die Nullstellen [mm] $\xi \zeta^i$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] i < 8$, und siehst gleich, dass [mm] $\IQ(\zeta, \xi)$ [/mm] der Zerfaellungskoerper ist.
> Grad des Zerfällungskörpers:
> [mm][\IQ(\wurzel[8]{2}):\IQ]=2,[/mm] denn [mm]\mathcal{B}=\{1, \wurzel[8]{2}\}[/mm]
> eine Basis.
Nein, das stimmt nicht. Z.B. ist [mm] $\sqrt[8]{2}^2$ [/mm] nicht durch diese Basis darstellbar!
Bestimme das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt[8]{2}$. [/mm] Dessen Grad ist der Grad dieser Koerpererweiterung.
> [mm][\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2})):\IQ(\wurzel[8]{2})]=2,[/mm]
> denn [mm]\mathcal{C}=\{1, i\}[/mm] eine Basis
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm][\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2})):\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}))]=2,[/mm]
> denn [mm]\mathcal{D}=\{1, \wurzel[4]{-1}\}[/mm] eine Basis,
Hier musst du allerdings noch argumentieren, warum es wirklich eine Basis ist, also warum sie linear unabhaengig sind. (Dass sie ein Erzeugendensystem sind bilden kann man schnell sehen.)
Oder anders gesagt: warum [mm] $\sqrt[4]{-1}$ [/mm] nicht bereits im Koerper drinnen ist.
> [mm][\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}),(-(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2})): \IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}))]=2,[/mm]
Nein, der Grad hier ist 1.
LG Felix
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Hi, danke für die Antwort
Also [mm] [\IQ(\wurzel[8]{2}):\IQ]
[/mm]
Minimalpolynom von [mm] \wurzel[8]{2} [/mm] = [mm] x^{8}-2, [/mm] also grad der Körpererweiterung = grad des Minimalpolynoms = 8
Ok, die anderen beiden Erweiterungen haben Grad 2
[mm] \wurzel[4]{-1} [/mm] ist nicht im Körper, da keine Möglichkeit besteht, aus a [mm] \in \IQ, \wurzel[8]{2} [/mm] oder [mm] i\wurzel[8]{2} [/mm] die [mm] \wurzel[4]{-1} [/mm] zu bilden ..
Warum ist denn bei der letzten Körpererweiterung der Grad 1? Ich dachte [mm] \{1, -(-1)^{3/4}\} [/mm] sei eine Basis
LG,
derriemann
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Di 21.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also [mm][\IQ(\wurzel[8]{2}):\IQ][/mm]
> Minimalpolynom von [mm]\wurzel[8]{2}[/mm] = [mm]x^{8}-2,[/mm] also grad der
> Körpererweiterung = grad des Minimalpolynoms = 8
Genau.
> Ok, die anderen beiden Erweiterungen haben Grad 2
>
> [mm]\wurzel[4]{-1}[/mm] ist nicht im Körper, da keine Möglichkeit
> besteht, aus a [mm]\in \IQ, \wurzel[8]{2}[/mm] oder [mm]i\wurzel[8]{2}[/mm]
> die [mm]\wurzel[4]{-1}[/mm] zu bilden ..
Und wieso? Das musst du noch beweisen. Nimm etwa $a + b i$ mit $a, b [mm] \in \IQ(\sqrt[8]{2}) \subseteq \IR$. [/mm] Warum kann $(a + b [mm] i)^2$ [/mm] nicht gleich $i$ sein?
> Warum ist denn bei der letzten Körpererweiterung der Grad
> 1? Ich dachte [mm]\{1, -(-1)^{3/4}\}[/mm] sei eine Basis
[mm] $-(-1)^{3/4} [/mm] = [mm] -\sqrt[4]{-1}^3$ [/mm] liegt bereits in [mm] $\IQ(\sqrt[4]{-1})$. [/mm] Das System ist also nicht linear unabhaengig und somit insbesondere keine Basis.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Fr 17.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow,
> > Bestimmen Sie für folgende Polynome in [mm]\IQ[x][/mm] jeweils den
> > Grad ihres Zerfällungskörpers über [mm]\IQ:[/mm]
> >
> > i) [mm]x^{4}+4[/mm]
> > ii) [mm]x^{8}-2[/mm]
> > iii) [mm](x^{2}+4x+5)(x^{4}+1)[/mm]
> > Hallo,
> >
> > bin mir leider hierbei ein wenig unsicher:
> >
> > i)
> >
> > Nullstellen sind: -1-i, -1+i, 1-i, 1+i
> > [mm]\Rightarrow \IQ((-1-i),(-1+i),(1-i),(1+i)).[/mm] Da -1 [mm]\in \IQ[/mm]
> > folgt (-1)*(-1-i) und (-1)*(-1+i) [mm]\in \IQ((1+i),(1-i)),[/mm]
> > also [mm]\IQ((1+i),(1-i))[/mm] Zerfällungskörper.
> >
> >
> [mm][\IQ((1+i),(1-i)):\IQ]=[\IQ(1+i):\IQ]*[\IQ((1+i),(1-i):\IQ(1+i)][/mm]
> > [mm]dim_{\IQ}(\IQ(1+i))=2,[/mm] denn eine Basis ist [mm]\{1, i\}[/mm]
> >
> > [mm]dim_{\IQ(1+i)}(\IQ((1-i),(1+i))=1,[/mm] denn eine Basis ist
> > [mm]\{i\}[/mm]
>
>
> Hmm, warum das?
> Zeig mir doch mal, wie du zum Beispiel die 1 als
> Vielfaches dieses Basiselements schreibst. ;)
Da $-i [mm] \in \IQ(1+i)$ [/mm] ist, kannst du $1 = i [mm] \cdot [/mm] (-i)$ schreiben
Jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ aus [mm] $\IQ(1 [/mm] + i) = [mm] \IQ(i)$ [/mm] ist eine [mm] $\IQ(i)$-Basis [/mm] von [mm] $\IQ(i)$.
[/mm]
LG Felix
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