Grad eines Morphismus < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | K algebraisch abgeschlossen, [mm] \phi [/mm] : E [mm] \to [/mm] E' nicht-konstante Isogenie. Dann gilt für alle P [mm] \in [/mm] E'(K):
[mm] |(\phi)^{-1}(P)| [/mm] = [mm] deg_{s}(\phi)
[/mm]
Insbesondere ist hat der Kern von [mm] \phi [/mm] die Ordnung [mm] deg_{s}(\phi) [/mm] |
Hallo,
Für das Verständnis der Aussage, müsste ich wissen, was der Grad eines Morphismus ist - und dazu habe ich trotz längerem Suchen nichts konkretes gefunden (- sondern immer nur Aussagen, die den Grad schon voraussetzen). Ich verstehe auch nicht, worauf sich das tiefgestellte s bezieht...
Es wäre ganz toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte - wenn auch nur durch Verweis auf anderswo vorhandene Definitionen/Hinweise/...
Vielen Dank schonmal im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 28.11.2010 | | Autor: | PeterB |
Hallo,
der grad einer Isogenie wird typischer Weise über die Abbildung der Funktionenkörper defiert: Falls $F$ der Funktionenkörper von $E$ und $F'$ der von $E'$ ist, dann enspricht [mm] $\phi$ [/mm] eine Abbildung [mm] $\phi^*:F'\rightarrow [/mm] F$ anschaulich der pull back. Da alle mophismen von Körpern injektiv sind, ist dies eine Körpererweiterung, und man kann zeigen, dass es eine endliche Körpererweiterung ist. Der Grad von [mm] $\phi$ [/mm] ist jetzt der grad der Erweiterung. [mm] $deg_s$ [/mm] bezeichnet den separablen grad, also den Grad der maximalen separaben Teilerweiterung.
Es gibt aber auch andere möglichkeiten den Separbilitätsgrad zu definieren. Ich würde vielleicht doch noch mal im Skript oder im Buch das ihr verwendet nachsehen.
Gruß
Peter
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